Czworościan

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Czworościan
Siatka czworościanu

Czworościanostrosłup trójkątny, czyli wielościan o czterech trójkątnych ścianach. Każdy czworościan posiada 6 krawędzi i 4 wierzchołki. Czworościan jest trójwymiarowym sympleksem.

Jeśli wszystkie ściany czworościanu są trójkątami równobocznymi, czworościan nazywany jest czworościanem foremnym. Trzeba odróżniać czworościan foremny od ostrosłupu trójkątnego foremnego (czyli prawidłowego): dla tego drugiego tylko jedna ściana koniecznie musi być trójkątem równobocznym, pozostałe zaś są trójkątami równoramiennymi (zob. Ostrosłup prawidłowy). Czworościan foremny jest szczególnym przypadkiem ostrosłupa trójkątnego foremnego.

Animacja obrotu czworościanu w przestrzeni 3D

Objętość czworościanu (niekoniecznie foremnego) o wierzchołkach A_1,\ A_2,\ A_3,\ A_4 dana jest wzorem:

V = \sqrt{\frac{\Delta}{288}},

gdzie zmienna pomocnicza \Delta to wyznacznik

\Delta = \left| \begin{matrix}
0 & a_{12}^2 & a_{13}^2 & a_{14}^2 & 1\\
a_{12}^2 & 0 & a_{23}^2 & a_{24}^2 & 1\\
a_{13}^2 & a_{23}^2 & 0 & a_{34}^2 & 1\\
a_{14}^2 & a_{24}^2 & a_{34}^2 & 0 & 1\\
1 & 1 & 1 & 1 & 0
\end{matrix}\right|,

a_{ij} to długość krawędzi łączącej wierzchołek A_i z wierzchołkiem A_j.

Promień kuli opisanej na czworościanie:

R = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{\Gamma}{\Delta}},

gdzie zmienna pomocnicza \Gamma to

\Gamma = \left| \begin{matrix}
0        & a_{12}^2 & a_{13}^2 & a_{14}^2 \\
a_{12}^2 & 0        & a_{23}^2 & a_{24}^2 \\
a_{13}^2 & a_{23}^2 & 0        & a_{34}^2 \\
a_{14}^2 & a_{24}^2 & a_{34}^2 & 0        
\end{matrix}\right|.

Promień kuli wpisanej można wyznaczyć za pomocą wzoru:

r = \frac{3V}{S_{A_1} + S_{A_2} + S_{A_3} + S_{A_4}},

gdzie S_{A_i} to pole ściany nie zawierającej wierzchołka A_i.

Kąt trójścienny oraz długości wychodzących z niego krawędzi wyznaczają jednozacznie czworościan. Jeśli A_1 i A_2, B_1 i B_2 oraz C_1 i C_2 są punktami leżącymi parami na prostych zawierających ramiona kąta trójściennego o wierzchołku S, to objętości czworościanów SA_1B_1C_1 i SA_2B_2C_2 spełniają zależność:

\frac{V_1}{V_2} = \frac{SA_1}{SA_2} \frac{SB_1}{SB_2} \frac{SC_1}{SC_2} [1]

Dowód tego faktu można przeprowadzić bez zmniejszenia ogólności zakładając, że jedna z par punktów leży na tej samej półprostej (ewentualna symetria środkowa względem S jednego z czworościanów), a nawet że jeden punkt jest wspólny (jednokładność jednego z czworościanów zmienia objętość jak sześcian skali). Wówczas czworościany mają wspólną wysokość i stosunek pól podstaw wynikający ze wzoru: S = a b \sin{\alpha}.

Przypisy

  1. Henryk Pawłowski: Zadania z olimpiad matematycznych z całego świata. Trygonometria i geometria. Toruń: Oficyna Wydawnicza "Tutor", 2003. ISBN 83-86007-63-X.
Wikimedia Commons


Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]