Czworościan

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, szukaj
Czworościan
Siatka czworościanu

Czworościan to ostrosłup trójkątny, czyli wielościan o czterech trójkątnych ścianach. Każdy czworościan posiada 6 krawędzi i 4 wierzchołki. Czworościan jest trójwymiarowym sympleksem.

Jeśli wszystkie ściany czworościanu są trójkątami równobocznymi, czworościan nazywany jest czworościanem foremnym. Trzeba odróżniać czworościan foremny od ostrosłupu trójkątnego foremnego (czyli prawidłowego): dla tego drugiego tylko jedna ściana koniecznie musi być trójkątem równobocznym, pozostałe zaś są trójkątami równoramiennymi (zob. Ostrosłup prawidłowy). Oczywiście, czworościan foremny jest szczególnym przypadkiem ostrosłupu trójkątnego foremnego.

Objętość czworościanu (niekoniecznie foremnego) o wierzchołkach A_1,\ A_2,\ A_3,\ A_4 dana jest wzorem:

V = \sqrt{\frac{\Delta}{288}},

gdzie zmienna pomocnicza Δ to wyznacznik

\Delta = \left| \begin{matrix}
0 & a_{12}^2 & a_{13}^2 & a_{14}^2 & 1\\
a_{12}^2 & 0 & a_{23}^2 & a_{24}^2 & 1\\
a_{13}^2 & a_{23}^2 & 0 & a_{34}^2 & 1\\
a_{14}^2 & a_{24}^2 & a_{34}^2 & 0 & 1\\
1 & 1 & 1 & 1 & 0
\end{matrix}\right|,

aij to długość krawędzi łączącej wierzchołek Ai z wierzchołkiem Aj.

Promień kuli opisanej na czworościanie:

R = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{\Gamma}{\Delta}},

gdzie zmienna pomocnicza Γ to

\Gamma = \left| \begin{matrix}
0        & a_{12}^2 & a_{13}^2 & a_{14}^2 \\
a_{12}^2 & 0        & a_{23}^2 & a_{24}^2 \\
a_{13}^2 & a_{23}^2 & 0        & a_{34}^2 \\
a_{14}^2 & a_{24}^2 & a_{34}^2 & 0        
\end{matrix}\right|.

Promień kuli wpisanej można wyznaczyć za pomocą wzoru:

r = \frac{3V}{S_{A_1} + S_{A_2} + S_{A_3} + S_{A_4}},

gdzie S_{A_i} to pole ściany nie zawierającej wierzchołka Ai.

Kąt trójścienny oraz długości wychodzących z niego krawędzi wyznaczają jednozacznie czworościan. Jeśli A1 i A2, B1 i B2 oraz C1 i C2 są punktami leżącymi parami na prostych zawierających ramiona kąta trójściennego o wierzchołku S, to objętości czworościanów SA1B1C1 i SA2B2C2 spełniają zależność:

\frac{V_1}{V_2} = \frac{SA_1}{SA_2} \frac{SB_1}{SB_2} \frac{SC_1}{SC_2} [1]

Dowód tego faktu można przeprowadzić bez zmniejszenia ogólności zakładając, że jedna z par punktów leży na tej samej półprostej (ewentualna symetria środkowa względem S jednego z czworościanów), a nawet że jeden punkt jest wspólny (jednokładność jednego z czworościanów zmienia objętość jak sześcian skali). Wówczas czworościany mają wspólną wysokość i stosunek pól podstaw wynikający ze wzoru: S = absin α.

Przypisy

  1. Henryk Pawłowski: Zadania z olimpiad matematycznych z całego świata. Trygonometria i geometria. Toruń: Oficyna Wydawnicza "Tutor", 2003. ISBN 83-86007-63-X. 
Osobiste
Przestrzenie nazw
Warianty
Działania
Nawigacja
Dla czytelników
Dla wikipedystów
Drukuj lub eksportuj
Narzędzia
W innych językach