Czworościan

Czworościan

Siatka czworościanu

Czworościan – ostrosłup trójkątny, czyli wielościan o czterech trójkątnych ścianach. Każdy czworościan posiada 6 krawędzi i 4 wierzchołki. Czworościan jest trójwymiarowym sympleksem.

Jeśli wszystkie ściany czworościanu są trójkątami równobocznymi, czworościan nazywany jest czworościanem foremnym. Trzeba odróżniać czworościan foremny od ostrosłupu trójkątnego foremnego (czyli prawidłowego): dla tego drugiego tylko jedna ściana koniecznie musi być trójkątem równobocznym, pozostałe zaś są trójkątami równoramiennymi (zob. Ostrosłup prawidłowy). Czworościan foremny jest szczególnym przypadkiem ostrosłupa trójkątnego foremnego.

Objętość czworościanu (niekoniecznie foremnego) o wierzchołkach $A_1,\ A_2,\ A_3,\ A_4$ dana jest wzorem:

$V = \sqrt{\frac{\Delta}{288}},$

gdzie zmienna pomocnicza $\Delta$ to wyznacznik

$\Delta = \left| \begin{matrix} 0 & a_{12}^2 & a_{13}^2 & a_{14}^2 & 1\\ a_{12}^2 & 0 & a_{23}^2 & a_{24}^2 & 1\\ a_{13}^2 & a_{23}^2 & 0 & a_{34}^2 & 1\\ a_{14}^2 & a_{24}^2 & a_{34}^2 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \end{matrix}\right|,$

$a_{ij}$ to długość krawędzi łączącej wierzchołek $A_i$ z wierzchołkiem $A_j.$

Promień kuli opisanej na czworościanie:

$R = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{\Gamma}{\Delta}},$

gdzie zmienna pomocnicza $\Gamma$ to

$\Gamma = \left| \begin{matrix} 0 & a_{12}^2 & a_{13}^2 & a_{14}^2 \\ a_{12}^2 & 0 & a_{23}^2 & a_{24}^2 \\ a_{13}^2 & a_{23}^2 & 0 & a_{34}^2 \\ a_{14}^2 & a_{24}^2 & a_{34}^2 & 0 \end{matrix}\right|.$

Promień kuli wpisanej można wyznaczyć za pomocą wzoru:

$r = \frac{3V}{S_{A_1} + S_{A_2} + S_{A_3} + S_{A_4}},$

gdzie $S_{A_i}$ to pole ściany nie zawierającej wierzchołka $A_i$.

Kąt trójścienny oraz długości wychodzących z niego krawędzi wyznaczają jednozacznie czworościan. Jeśli $A_1$ i $A_2$, $B_1$ i $B_2$ oraz $C_1$ i $C_2$ są punktami leżącymi parami na prostych zawierających ramiona kąta trójściennego o wierzchołku S, to objętości czworościanów $SA_1B_1C_1$ i $SA_2B_2C_2$ spełniają zależność:

$\frac{V_1}{V_2} = \frac{SA_1}{SA_2} \frac{SB_1}{SB_2} \frac{SC_1}{SC_2}$

Dowód tego faktu można przeprowadzić bez zmniejszenia ogólności zakładając, że jedna z par punktów leży na tej samej półprostej (ewentualna symetria środkowa względem S jednego z czworościanów), a nawet że jeden punkt jest wspólny (jednokładność jednego z czworościanów zmienia objętość jak sześcian skali). Wówczas czworościany mają wspólną wysokość i stosunek pól podstaw wynikający ze wzoru: $S = a b \sin{\alpha}$.