Wielościan foremny

Wielościan foremny (bryła platońska) – wielościan spełniający następujące trzy warunki:

• ściany są przystającymi wielokątami foremnymi,
• w każdym wierzchołku zbiega się jednakowa liczba ścian,
• jest bryłą wypukłą.

Wielościany foremne są szczególnym przypadkiem wielościanów półforemnych (archimedesowskich), w których foremne ściany nie muszą być identyczne (tj. wzajemnie przystające).

Wielościany foremne w przestrzeni trójwymiarowej

Istnieje pięć wielościanów foremnych (z dokładnością do podobieństwa):

Nazwa	Nazwa grecka	Grafika	Ściana	Liczba ścian	Liczba krawędzi	Liczba wierzchołków
czworościan	tetraedr		trójkąt foremny (równoboczny)	4	6	4
sześcian	heksaedr		czworokąt foremny (kwadrat)	6	12	8
ośmiościan	oktaedr		trójkąt foremny (równoboczny)	8	12	6
dwunastościan	dodekaedr		pięciokąt foremny	12	30	20
dwudziestościan	ikosaedr		trójkąt foremny (równoboczny)	20	30	12

Dowody istnienia najwyżej pięciu wielościanów foremnych

Pierwszy z dowodów opiera się o analizę łącznej ilości kątów wewnętrznych ścian zbiegających się przy dowolnym wierzchołku.

ściana	kąt wewnętrzy ściany	liczba ścian przy wierzchołku ≥3	wielokrotność kąta <360°	nazwa	uwagi
trójkąt	60°	3	180°	czworościan foremny
		4	240°	ośmiościan foremny
		5	300°	dwudziestościan foremny	ostatni z tej serii, bo 6•60°≥360°
kwadrat	90°	3	270°	sześcian	jedyny z tej serii, bo 4•90°≥360°
pięciokąt	108°	3	324°	dwunastościan foremny	jedyny z tej serii, bo 4•108°≥360°
sześciokąt i następne	≥120°	3	≥360°	-	żaden z tej i następnych serii, bo 3•120°≥360°

Drugi mniej elementarny dowód powołuje się na twierdzenie Eulera o wielościanach:

$W+S=K+2,\,$

gdzie $W$ oznacza liczbę wierzchołków wielościanu, $S$ liczbę jego ścian, a $K$ liczbę krawędzi.

Ponieważ każda ściana jest n-kątem foremnym, a każda krawędź należy do dwóch ścian, mamy

$S\cdot n=2K.\,$

Z kolei z każdego wierzchołka wychodzi $l$ krawędzi, z których każda łączy dwa wierzchołki, a zatem

$W\cdot l=2K.\,$

Po wyznaczeniu z dwóch ostatnich zależności $W$ i $S$

$W = \frac{2K}{l}; S = \frac{2K}{n}\,$

i po podstawieniu ich do wzoru Eulera dostaniemy

$\frac{2K}{l}+\frac{2K}{n}=K+2.$

Przekształcając otrzymamy kolejno

$\frac{1}{l}+\frac{1}{n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{K} > \frac{1}{2},$

oraz

$(n-2)(l-2)<4.\,$

Ponieważ $l \geqslant 3$ oraz $n \geqslant 3,$ przez rozpatrzenie wszystkich przypadków otrzymuje się następujące możliwości:

$(n-2)\cdot(l-2)$	$n\,$	$l\,$	nazwa
1•1	3	3	czworościan foremny
2•1	4	3	sześcian
1•2	3	4	ośmiościan foremny
1•3	3	5	dwudziestościan foremny
3•1	5	3	dwunastościan foremny

Oczywiście znając $n,l$ można wyznaczyć $W,K,S,$ korzystając ze wzoru Eulera i zależności $S \cdot n = 2K$ oraz $W \cdot l = 2K.$

Widać też dualność wielościanów przy wzajemnej zamianie $n$ i $l.$

Historia

Wielościany foremne nazywane są także bryłami platońskimi, gdyż Platon jako pierwszy odnotował fakt istnienia ściśle określonej ich liczby. Do jego czasów znano jednak jedynie cztery z nich. Sam Platon, pisząc Timajosa, nie wspomina jeszcze o dwunastościanie. Ten ostatni został odkryty dopiero przez Teajtetosa (ucznia Platona).

Bryły platońskie poruszały wyobraźnię wielu myślicieli i filozofów. Były też wykorzystywane przez nich w rozważaniach kosmologicznych.

W dialogu Timajos Platon pisał, że każdy żywioł można utożsamić z jedną z doskonałych brył (ogień - czworościan, ziemia - sześcian, powietrze - ośmiościan, woda - dwudziestościan). Po odkryciu dwunastościanu foremnego włączył go do swojego systemu jako symbol całego wszechświata.

Niemal 2 tysiące lat później, w XVII wieku Kepler użył wielościanów foremnych do swojego modelu kosmologicznego. Jeśli bowiem na sferze o promieniu orbity Merkurego opisać ośmiościan a na nim opisać następną sferę, to jej promień odpowiadać będzie promieniowi orbity Wenus. Jeśli na tej drugiej sferze opisać dwudziestościan, a na nim kolejną trzecią sferę, to jej promień odpowiada promieniowi orbity Ziemi. I tak kolejno dla następnych wielościanów foremnych i planet: dwunastościan – Mars, czworościan – Jowisz, sześcian - Saturn. Było to pierwsze z odkrytych przez Keplera praw ruchu planet, nie uznane wszakże za prawo natury w dzisiejszym rozumieniu nauki. Odkryta prawidłowość utwierdziła Keplera w głębokim przekonaniu, że Bóg jest matematykiem.

Wielokomórki foremne w przestrzeni n-wymiarowej

foremna 5-komórka

foremna 8-komórka (Tesserakt)

foremna 16-komórka

foremna 24-komórka

Pojęcie wielościanu foremnego można w naturalny sposób uogólnić definiując wielokomórkę foremną w dowolnej przestrzeni n-wymiarowej euklidesowej (oznaczanej $\Bbb R^n$).

Dla n=4 udowodniono, że istnieje dokładnie 6 wielokomórek foremnych:

Nazwa	Liczba ścian trójwymiarowych (brył foremnych)	Liczba ścian dwuwymiarowych (wielokątów foremnych)	Liczba krawędzi	Liczba wierzchołków	Wielokomórka dualna
foremna 5-komórka (4-wymiarowy sympleks)	5 czworościanów	10 trójkątów	10	5	samodualna
foremna 8-komórka (4-wymiarowy hipersześcian)	8 sześcianów	24 kwadratów	32	16	16-komórka
foremna 16-komórka	16 czworościanów	32 trójkątów	24	8	8-komórka
foremna 24-komórka	24 ośmiościanów	96 trójkątów	96	24	samodualna
foremna 120-komórka	120 dwunastościanów	720 pięciokątów	1200	600	600-komórka
foremna 600-komórka	600 czworościanów	1200 trójkątów	720	120	120-komórka

Dla dowolnego naturalnego $n>4$ udowodniono, że w przestrzeni $\Bbb R^n$ istnieją dokładnie trzy wielokomórki foremne:

Nazwa	Liczba (n-1)-wymiarowych ścian	Liczba k-wymiarowych ścian, 0≤k≤n-1	Wielokomórka dualna
n-wymiarowy sympleks foremny	$n+1$ (n-1)-wymiarowych sympleksów	$n+1 \choose k+1$ k-wymiarowych sympleksów	samodualna
n-wymiarowy hipersześcian	$2n$ (n-1)-wymiarowych hipersześcianów	${n \choose k} 2^{n-k}$ k-wymiarowych hipersześcianów	2n-komórka
n-wymiarowa 2n-komórka foremna	$2^n$ (n-1)-wymiarowych sympleksów	${n \choose k+1} 2^{k+1}$ k-wymiarowych sympleksów	hipersześcian

Można też rozpatrywać przypadki $n<3.$ "Wielokomórka" w przestrzeni 2-wymiarowej to wielokąt foremny; istnieje ich nieskończenie wiele, gdyż dla każdego $\ell\geq 3$ istnieje $\ell$-kąt foremny. Z kolei "wielokomórka" w przestrzeni 1-wymiarowej zawsze ma jeden i ten sam kształt - to odcinek i można go traktować jako "foremny".