Wielościan foremny

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
WiktionaryPl nodesc.svg
Zobacz hasło bryła platońska w Wikisłowniku
Animowany 20-ścian foremny

Wielościan foremny (bryła platońska)wielościan spełniający następujące trzy warunki:

Wielościany foremne są szczególnym przypadkiem wielościanów półforemnych (archimedesowskich), w których foremne ściany nie muszą być identyczne (tj. wzajemnie przystające).

Wielościany foremne w przestrzeni trójwymiarowej[edytuj | edytuj kod]

Istnieje pięć wielościanów foremnych (z dokładnością do podobieństwa):

Nazwa Nazwa grecka Grafika Ściana Liczba
ścian
Liczba
krawędzi
Liczba
wierzchołków
czworościan tetraedr Czworościan foremny trójkąt foremny
(równoboczny)
   4    6    4
sześcian heksaedr Sześcian czworokąt foremny
(kwadrat)
   6    12    8
ośmiościan oktaedr Ośmiościan foremny trójkąt foremny
(równoboczny)
   8    12    6
dwunastościan dodekaedr Dwunastościan foremny pięciokąt foremny    12    30    20
dwudziestościan ikosaedr Dwudziestościan foremny trójkąt foremny
(równoboczny)
   20    30    12

Dowody istnienia najwyżej pięciu wielościanów foremnych[edytuj | edytuj kod]

Pierwszy z dowodów opiera się na analizie łącznej liczby kątów wewnętrznych ścian zbiegających się przy dowolnym wierzchołku.

ściana kąt
wewnętrzy
ściany
liczba ścian
przy
wierzchołku
≥3
wielokrotność kąta
<360°
nazwa uwagi
trójkąt 60° 3 180° czworościan foremny
4 240° ośmiościan foremny
5 300° dwudziestościan foremny ostatni z tej serii, bo 6•60°≥360°
kwadrat 90° 3 270° sześcian jedyny z tej serii, bo 4•90°≥360°
pięciokąt 108° 3 324° dwunastościan foremny jedyny z tej serii, bo 4•108°≥360°
sześciokąt i następne ≥120° 3 ≥360° - żaden z tej i następnych serii,
bo 3•120°≥360°


Drugi mniej elementarny dowód powołuje się na twierdzenie Eulera o wielościanach:

W+S=K+2,\,

gdzie  W oznacza liczbę wierzchołków wielościanu,  S liczbę jego ścian, a  K liczbę krawędzi.

Ponieważ każda ściana jest n-kątem foremnym, a każda krawędź należy do dwóch ścian, mamy

S\cdot n=2K.\,

Z kolei z każdego wierzchołka wychodzi  l krawędzi, z których każda łączy dwa wierzchołki, a zatem

W\cdot l=2K.\,

Po wyznaczeniu z dwóch ostatnich zależności  W i  S

W = \frac{2K}{l}; S = \frac{2K}{n}\,

i po podstawieniu ich do wzoru Eulera dostaniemy

\frac{2K}{l}+\frac{2K}{n}=K+2.

Przekształcając otrzymamy kolejno

\frac{1}{l}+\frac{1}{n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{K} > \frac{1}{2},

oraz

 (n-2)(l-2)<4.\,

Ponieważ  l \geqslant 3 oraz  n \geqslant 3, przez rozpatrzenie wszystkich przypadków otrzymuje się następujące możliwości:

(n-2)\cdot(l-2) n\, l\, nazwa
   1•1 3 3 czworościan foremny
   2•1 4 3 sześcian
   1•2 3 4 ośmiościan foremny
   1•3 3 5 dwudziestościan foremny
   3•1 5 3 dwunastościan foremny

Oczywiście znając  n,l można wyznaczyć  W,K,S, korzystając ze wzoru Eulera i zależności  S \cdot n = 2K oraz  W \cdot l = 2K.

Widać też dualność wielościanów przy wzajemnej zamianie  n i  l.

Historia[edytuj | edytuj kod]

Wielościany foremne nazywane są także bryłami platońskimi, gdyż Platon jako pierwszy odnotował fakt istnienia ściśle określonej ich liczby. Do jego czasów znano jednak jedynie cztery z nich. Sam Platon, pisząc Timajosa, nie wspomina jeszcze o dwunastościanie. Ten ostatni został odkryty dopiero przez Teajtetosa[2] (ucznia Platona).

Bryły platońskie poruszały wyobraźnię wielu myślicieli i filozofów. Były też wykorzystywane przez nich w rozważaniach kosmologicznych.

W dialogu Timajos Platon pisał, że każdy żywioł można utożsamić z jedną z doskonałych brył (ogień - czworościan, ziemia - sześcian, powietrze - ośmiościan, woda - dwudziestościan). Po odkryciu dwunastościanu foremnego włączył go do swojego systemu jako symbol całego wszechświata[3].

Niemal 2 tysiące lat później, w XVII wieku Kepler użył wielościanów foremnych do swojego modelu kosmologicznego. Jeśli bowiem na sferze o promieniu orbity Merkurego opisać ośmiościan a na nim opisać następną sferę, to jej promień odpowiadać będzie promieniowi orbity Wenus. Jeśli na tej drugiej sferze opisać dwudziestościan, a na nim kolejną trzecią sferę, to jej promień odpowiada promieniowi orbity Ziemi. I tak kolejno dla następnych wielościanów foremnych i planet: dwunastościan – Mars, czworościan – Jowisz, sześcian - Saturn[4]. Było to pierwsze z odkrytych przez Keplera praw ruchu planet, nie uznane wszakże za prawo natury w dzisiejszym rozumieniu nauki. Odkryta prawidłowość utwierdziła Keplera w głębokim przekonaniu, że Bóg jest matematykiem.

Wielokomórki foremne w przestrzeni n-wymiarowej[edytuj | edytuj kod]

foremna 5-komórka
foremna 8-komórka (Tesserakt)
foremna 16-komórka
foremna 24-komórka

Pojęcie wielościanu foremnego można w naturalny sposób uogólnić definiując wielokomórkę foremną w dowolnej przestrzeni n-wymiarowej euklidesowej (oznaczanej \Bbb R^n).

Dla n=4 udowodniono, że istnieje dokładnie 6 wielokomórek foremnych:

Nazwa Liczba ścian
trójwymiarowych
(brył foremnych)
Liczba ścian
dwuwymiarowych
(wielokątów
foremnych)
Liczba
krawędzi
Liczba
wierzchołków
Wielokomórka
dualna
foremna 5-komórka
(4-wymiarowy sympleks)
5 czworościanów 10 trójkątów 10 5 samodualna
foremna 8-komórka
(4-wymiarowy hipersześcian)
8 sześcianów 24 kwadratów 32 16 16-komórka
foremna 16-komórka 16 czworościanów 32 trójkątów 24 8 8-komórka
foremna 24-komórka 24 ośmiościanów 96 trójkątów 96 24 samodualna
foremna 120-komórka 120 dwunastościanów 720 pięciokątów 1200 600 600-komórka
foremna 600-komórka 600 czworościanów 1200 trójkątów 720 120 120-komórka

Dla dowolnego naturalnego  n>4 udowodniono, że w przestrzeni \Bbb R^n istnieją dokładnie trzy wielokomórki foremne[5]:

Nazwa Liczba (n-1)-wymiarowych ścian Liczba k-wymiarowych ścian, 0≤kn-1 Wielokomórka
dualna
n-wymiarowy sympleks foremny n+1 (n-1)-wymiarowych sympleksów n+1 \choose k+1 k-wymiarowych sympleksów samodualna
n-wymiarowy hipersześcian 2n (n-1)-wymiarowych hipersześcianów {n \choose k} 2^{n-k} k-wymiarowych hipersześcianów 2n-komórka
n-wymiarowa 2n-komórka foremna 2^n (n-1)-wymiarowych sympleksów {n \choose k+1} 2^{k+1} k-wymiarowych sympleksów hipersześcian

Można też rozpatrywać przypadki n<3. "Wielokomórka" w przestrzeni 2-wymiarowej to wielokąt foremny; istnieje ich nieskończenie wiele, gdyż dla każdego \ell\geq 3 istnieje \ell-kąt foremny. Z kolei "wielokomórka" w przestrzeni 1-wymiarowej zawsze ma jeden i ten sam kształt - to odcinek i można go traktować jako "foremny".

Przypisy

  1. niezbędność tego warunku pokazuje przykład bryły zwanej stella octangula
  2. Teajtet bardziej jest znany z odkrycia ułamków łańcuchowych
  3. Matematyka dla humanistów - Michał Szurek
  4. W czasach Keplera ostatnią znaną planetą był Saturn. Przyjmowane przez Keplera promienie orbit nie były zbyt dokładne.
  5. Mathematical puzzles and diversions - Martin Gardner