Otoczenie (matematyka)

Z Wikipedii

Skocz do: nawigacji, szukaj

Otoczenie punktu – w topologii oznacza dowolny zbiór, który zawiera zbiór otwarty zawierający dany punkt.

Dokładniej, jeśli x \in X , gdzie X jest przestrzenią topologiczną, to zbiór V jest otoczeniem punktu x, gdy istnieje zbiór otwarty U \subseteq V taki, że x \in U .

Zauważmy, że tak rozumiane otoczenie nie musi być zbiorem otwartym. Istotne jest tylko, by zawierało pewien zbiór otwarty zawierający dany punkt. W szczególności, otoczenie może być zbiorem domkniętym, zwartym, itd.

Uwaga: Należy zwracać uwagę na konwencje stosowane przez różnych autorów. Niektórzy pod pojęciem otoczenia punktu rozumieją wyłącznie zbiór otwarty zawierający dany punkt. W stosowanej tu terminologii otoczenie takie nazywałoby się otoczeniem otwartym.

Spis treści

Jeżeli S jest podzbiorem X, pod pojęciem otoczenia zbioru S rozumiemy zbiór zawierający zbiór otwarty, który zawiera S. W szczególności, otoczenie zbioru jest otoczeniem każdego punktu tego zbioru.

Rodzina wszystkich otoczeń danego punktu nazywana jest bazą otoczeń (punktu).

[edytuj] Przestrzeń metryczna

W przestrzeni metrycznej X z metryką d otoczenie punktu można równoważnie określić następująco: V jest otoczeniem punktu p jeśli istnieje kula otwarta o środku w punkcie p i promieniu r

B_r(p) = B(p;r) = \{ x \in X : d(x,p) < r \}

zawarta w zbiorze V.

Otoczeniem jednostajnym zbioru S w przestrzeni metrycznej nazwiemy zbiór V o tej własności, że istnieje liczba r > 0 taka, że dla każdego p \in S kula otwarta

B_r(p) = \{ x \in X : d(x,p) < r \}

zawarta jest w zbiorze V. Innymi słowy, jest to zbiór będący sumą wszystkich kul o ustalonym promieniu i środkach w punktach zbioru S.

[edytuj] System otoczeń a topologia

Jeżeli dla każdego punktu x zbioru X dana jest pewna rodzina B(x) podzbiorów zbioru X spełniająca poniższe warunki:

  1. x \in U dla dowolnego U \in B(x),
  2. dla dowolnego U \in B(x) istnieje V \in B(x) takie, że \bigwedge\limits_{y \in V} U \in B(y) ,

to fakt ten można wykorzystać do określenia topologii w zbiorze X. Wystarczy zdefiniować zbiór otwarty jako taki, który wraz z każdym swoim punktem x zawiera również pewien zbiór z rodziny B(x).

[edytuj] Otoczenie a sąsiedztwo

W klasycznej analizie matematycznej korzysta się czasem z pojęcia sąsiedztwa punktu, które oznacza otoczenie punktu z wyłączeniem jego samego. Zatem, jeżeli V jest otoczeniem punktu x, to zbiór V_x = V \setminus \{ x \} jest sąsiedztwem punktu x.

[edytuj] Przykłady

W zbiorze liczb rzeczywistych z topologią euklidesową otoczeniem otwartym punktu x jest dowolny przedział otwarty (a,b) taki, że a < x < b. Sąsiedztwem punktu x jest wówczas zbiór (a,b) \setminus \{ x \} = (a,x) \cup (x,b) .

Otoczenia otwartym punktu na płaszczyźnie euklidesowej jest koło bez brzegu o środku w tym punkcie, zaś sąsiedztwem tego punktu jest koło bez środka (czyli bez danego punktu).

Źródło „http://pl.wikipedia.org/wiki/Otoczenie_(matematyka)”