Liczba przeciwna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Liczba przeciwna do danej liczby a,\; to taka liczba -a,\; że zachodzi:

a+(-a)=0\;

gdzie 0\; jest elementem zerowym działania dodawania.

Przykład:

  • liczbą przeciwną do liczby 3 jest liczba -3

W szczególności:

  • liczbą przeciwną do zera jest zero.
  • liczbą przeciwną do przeciwnej do x jest liczba x.

W zbiorach liczb całkowitych, wymiernych, rzeczywistych i zespolonych dla każdej liczby istnieje liczba przeciwna. Zbiory te wraz z dodawaniem są bowiem w szczególnym przypadkiem tzw. grup – a jeden z aksjomatów grupy wymaga istnienia elementu odwrotnego do każdego elementu zbioru.

W zbiorach liczb naturalnych, oraz w klasach liczb kardynalnych i porządkowych nie jest to już prawda – liczby ujemne nie należą do zbioru liczb naturalnych, a dla nieskończonych liczb kardynalnych i porządkowych liczby przeciwne w ogóle nie są zdefiniowane, o ile nie wprowadzimy ich sztucznie, np. tak jak w liczbach nadrzeczywistych.

Uogólnienie na grupy uporządkowane[edytuj | edytuj kod]

Z punktu widzenia algebry jest to pojęcie elementu odwrotnego do danego wyrażone w terminologii addytywnej.

Jeżeli w grupie jest określony porządek liniowy \leqslant spełniający[1][2]

a \leqslant b \implies (a + c \leqslant b + c \and c + a \leqslant c + b)

to

  • elementy dla których a \leqslant 0, nazywamy niedodatnimi
  • elementy dla których 0 \leqslant a, nazywamy nieujemnymi
  • elementy niedodatnie niezerowe nazywamy ujemnymi
  • elementy nieujemne niezerowe nazywamy dodatnimi

Takimi grupami są wspomniane wyżej grupy liczb całkowitych, wymiernych i rzeczywistych (ale nie zespolonych).

Wówczas, jak łatwo sprawdzić:

  • element przeciwny do dodatniego jest ujemny
  • element przeciwny do ujemnego jest dodatni

Warto wspomnieć jeszcze, że np. grupach z dodawaniem modulo n gdzie n jest parzyste istnieją elementy niezerowe, które są przeciwne do samych siebie.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy