Własność lokalna

Własność lokalna – własność, która zachodzi intuicyjnie dla dostatecznie lub dowolnie małego otoczenia punktów.

Pojedyncze przestrzenie

O przestrzeni topologicznej mówi się, że spełnia daną własność lokalnie, jeśli własność ta spełniona jest „blisko” każdego z punktów w jednym z następujących, różnych znaczeń:

• każdy z punktów ma otoczenie, w którym spełniona jest ta własność;
• każdy z punktów ma bazę otoczeń zbiorów spełniających tę własność.

W ogólności drugie ze znaczeń jest silniejsze niż pierwsze, przez co należy z uwagą rozróżniać oba pojęcia. Przykładowo niektóre z wariantów definicji lokalnej zwartości powstają na podstawie różnych znaczeń terminu lokalnie.

Można wyróżnić m.in. przestrzenie topologiczne:

• lokalnie zwarte,
• lokalnie spójne i lokalnie drogowo spójna,
• lokalnie Hausdorffa, lokalnie regularna, lokalnie normalna itd.,
• lokalnie metryzowalne.

Pary przestrzeni

Mając pewne pojęcia równoważności (np. homeomorfizm, dyfeomorfizm, izometria) między przestrzeniami topologicznymi mówi się, że dwie przestrzenie są lokalnie równoważne, jeżeli każdy punkt pierwszej z nich ma otoczenie, które jest równoważne z pewnym otoczeniem drugiej przestrzeni.

Przykładowo okrąg i prosta bardzo się od siebie różnią: nie można rozciągnąć okręgu tak, by wyglądał jak prosta, ani ścisnąć prostej tak, by mieścił się na okręgu bez przerw, czy nałożeń. Mimo to można rozciągnąć i spłaszczyć małą część (łuk) okręgu, by wyglądał tak jak mała część (odcinek) prostej. Z tego powodu można powiedzieć, że okrąg i prosta są lokalnie równoważne.

Podobnie lokalnie równoważne są sfera i płaszczyzna. Dostatecznie mały obserwator stojący na powierzchni sfery (np. osoba na Ziemi) mógłby nie odróżnić jej od płaszczyzny.

Grupy nieskończone

Dla grup nieskończonych przyjmuje się, że „małe otoczenie” oznacza podgrupę skończenie generowaną. O grupie nieskończonej mówi się, że jest lokalnie W (spełnia lokalnie własność W), jeżeli dla każdej skończenie generowanej podgrupy jest W (spełnia własność W). Przykładowo grupa jest lokalnie skończona, jeżeli każda podgrupa skończenie generowana jest skończona. Grupa jest lokalnie rozwiązalna, jeżeli każda skończenie generowana podgrupa jest rozwiązalna.

Grupy skończone

Dla grup skończonych przez „małe otoczenie” rozumie się podgrupę zdefiniowaną w terminach liczby pierwszej $p,$ zwykle podgrupy lokalne, czyli normalizatory nietrywialnych p-podgrup. Dana własność jest lokalna, jeżeli może być wyodrębniona z podgrup lokalnych. Własności globalne i lokalne stanowiły znaczącą część wczesnych prac nad klasyfikacja skończonych grup prostych podczas lat 60. XX wieku.

Pierścienie przemienne

Dla pierścieni przemiennych idee geometrii algebraicznej czynią naturalnym rozumienie „małego otoczenia” pierścienia jako lokalizacji w ideale pierwszym. O danej własność mówi się, że jest spełniona lokalnie, jeśli może być wyodrębniona z pierścieni lokalnych. Przykładowo bycie modułem płaskim nad pierścieniem przemiennym jest własnością lokalną, ale bycie modułem wolnym już nie (zob. lokalizacja modułu).