Homomorfizm pierścieni
Homomorfizm pierścieni – przekształcenie z jednego pierścienia w drugi zachowujące strukturę.
Definicja formalna[edytuj | edytuj kod]
Niech oraz będą dowolnymi pierścieniami.
Homomorfizmem pierścieni i nazywamy dowolne odwzorowanie takie, że
- – zachowane jest dodawanie,
- – zachowane jest mnożenie.
Jeżeli i są pierścieniami z jedynką, to dodatkowo przyjmuje się
- – element neutralny mnożenia w jest odwzorowywany na element neutralny mnożenia w [a].
Własności[edytuj | edytuj kod]
- tzn. element neutralny dodawania w jest odwzorowywany na element neutralny dodawania w
- element przeciwny przechodzi w element przeciwny Wynika to z rozumowania:
Obraz[edytuj | edytuj kod]
Obrazem homomorfizmu nazywamy zbiór
czyli zbiór takich elementów które są wartościami odwzorowania na co najmniej jednym elemencie zbioru
Obraz homomorfizmu jest podpierścieniem pierścienia
Jądro[edytuj | edytuj kod]
Jądrem homomorfizmu nazywamy zbiór
gdzie oznacza zero pierścienia
Jądro homomorfizmu jest ideałem pierścienia
Morfizmy pierścieni[edytuj | edytuj kod]
Monomorfizm[edytuj | edytuj kod]
- Osobny artykuł:
Monomorfizmem pierścieni nazywamy różnowartościowy homomorfizm.
Homomorfizm jest monomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy gdzie oznacza zero pierścienia
Epimorfizm[edytuj | edytuj kod]
- Osobny artykuł:
Epimorfizmem pierścieni nazywamy homomorfizm który jest funkcją typu „na”, tzn.
Izomorfizm[edytuj | edytuj kod]
- Osobny artykuł:
Homomorfizm nazywamy izomorfizmem pierścieni wtedy i tylko wtedy, gdy jest wzajemnie jednoznaczny, to znaczy gdy jest jednocześnie monomorfizmem i epimorfizmem. Odwzorowanie istnieje (ponieważ jest wzajemnie jednoznaczne) i również jest izomorfizmem.
Mówimy, że pierścienie i są izomorficzne, gdy istnieje izomorfizm (równoważnie: izomorfizm ) i oznaczamy W dowolnym zbiorze pierścieni relacja izomorficzności jest relacją równoważności.
Homomorfizm kanoniczny[edytuj | edytuj kod]
Niech będzie dowolnym pierścieniem, zaś dowolnym jego ideałem. Odwzorowanie określone jest epimorfizmem. Takie odwzorowanie nazywamy homomorfizmem kanonicznym pierścienia na pierścień ilorazowy
Twierdzenie o homomorfizmie[edytuj | edytuj kod]
Jeśli jest epimorfizmem pierścieni to jest izomorficzny z pierścieniem ilorazowym (izomorfizmem jest odwzorowanie określone ) oraz gdzie jest homomorfizmem kanonicznym.
Zobacz też[edytuj | edytuj kod]
Uwagi[edytuj | edytuj kod]
- ↑ W ten sposób eliminuje się przypadek zdegenerowany, w którym wszystkie elementy pierścienia przechodzą na zero pierścienia