Homomorfizm pierścieni

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Homomorfizm pierścieni – przekształcenie z jednego pierścienia w drugi zachowujące strukturę.

Definicja formalna[edytuj]

Niech (R, +, \cdot) oraz (S, \oplus, \odot) będą dowolnymi pierścieniami.

Homomorfizmem pierścieni R i S nazywamy dowolne odwzorowanie h\colon R \to S takie, że

  • h(a + b) = h(a) \oplus h(b) - zachowane jest dodawanie
  • h(a \cdot b) = h(a) \odot h(b) - zachowane jest mnożenie

Jeżeli R i Spierścieniami z jedynką, to dodatkowo przyjmuje się

  • h(1_R)=1_S - element neutralny mnożenia w R jest odwzorowywany na element neutralny mnożenia w S[a]

Własności[edytuj]

  • h(0_R)=0_S tzn. element neutralny dodawania w R jest odwzorowywany na element neutralny dodawania w S
  • element przeciwny przechodzi w element przeciwny  -h(a)=h(-a). Wynika to z rozumowania: h(a)\oplus h(-a)=h(a+(-a))=h(0_R)=0_S.

Obraz[edytuj]

Obrazem homomorfizmu h nazywamy zbiór

\operatorname{Im}(h) = \{a \in S: \exists_{b \in R}\; a = h(b)\},

czyli zbiór takich elementów S, które są wartościami odwzorowania h na co najmniej jednym elemencie zbioru R.

Obraz homomorfizmu h jest podpierścieniem pierścienia S.

Jądro[edytuj]

Jądrem homomorfizmu h nazywamy zbiór

\ker h = \{a \in R: h(a) = 0_S\},

gdzie 0_S oznacza zero pierścienia S.

Jądro homomorfizmu h jest ideałem pierścienia R.

Morfizmy pierścieni[edytuj]

Monomorfizm[edytuj]

 Osobny artykuł: monomorfizm.

Monomorfizmem pierścieni nazywamy różnowartościowy homomorfizm.

Homomorfizm h\colon R \to S jest monomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy \ker h = \{0_R\}, gdzie 0_R oznacza zero pierścienia R.

Epimorfizm[edytuj]

 Osobny artykuł: epimorfizm.

Epimorfizmem pierścieni nazywamy homomorfizm h\colon R \to S, który jest funkcją typu "na" tzn. \operatorname{Im}(h) = S.

Izomorfizm[edytuj]

 Osobny artykuł: izomorfizm.

Homomorfizm h\colon R \to S nazywamy izomorfizmem pierścieni wtedy i tylko wtedy, gdy h jest wzajemnie jednoznaczny, to znaczy gdy jest jednocześnie monomorfizmem i epimorfizmem. Odwzorowanie h^{-1} istnieje (ponieważ h jest wzajemnie jednoznaczne) i również jest izomorfizmem.

Mówimy, że pierścienie R i Sizomorficzne, gdy istnieje izomorfizm h\colon R \to S (równoważnie: izomorfizm g\colon S \to R) i oznaczamy R \simeq S. W dowolnym zbiorze pierścieni relacja izomorficzności \simeq jest relacją równoważności.

Homomorfizm kanoniczny[edytuj]

Niech R będzie dowolnym pierścieniem, zaś I\subseteq R dowolnym jego ideałem. Odwzorowanie h\colon R \to R/I określone h(a) = [a] jest epimorfizmem. Takie odwzorowanie h nazywamy homomorfizmem kanonicznym pierścienia R na pierścień ilorazowy R/I.

Twierdzenie o homomorfizmie[edytuj]

Jeśli h\colon R \to S jest epimorfizmem pierścieni R, S, to S jest izomorficzny z pierścieniem ilorazowym R/\ker h (izomorfizmem jest odwzorowanie g\colon R/\ker h \to S określone g\left([a]\right) = h(a)) oraz h = g \circ f, gdzie f\colon R \to R/\ker h jest homomorfizmem kanonicznym.

Uwagi

  1. W ten sposób eliminuje się przypadek zdegenerowany, w którym wszystkie elementy pierścienia R przechodzą na zero pierścienia S.

Zobacz też[edytuj]