Homomorfizm pierścieni

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Homomorfizm pierścieni – przekształcenie z jednego pierścienia w drugi zachowujące strukturę.

Definicja formalna[edytuj]

Niech oraz będą dowolnymi pierścieniami.

Homomorfizmem pierścieni i nazywamy dowolne odwzorowanie takie, że

  • - zachowane jest dodawanie
  • - zachowane jest mnożenie

Jeżeli i pierścieniami z jedynką, to dodatkowo przyjmuje się

  • - element neutralny mnożenia w jest odwzorowywany na element neutralny mnożenia w [a]

Własności[edytuj]

  • tzn. element neutralny dodawania w jest odwzorowywany na element neutralny dodawania w
  • element przeciwny przechodzi w element przeciwny  . Wynika to z rozumowania:

Obraz[edytuj]

Obrazem homomorfizmu nazywamy zbiór

,

czyli zbiór takich elementów , które są wartościami odwzorowania na co najmniej jednym elemencie zbioru .

Obraz homomorfizmu jest podpierścieniem pierścienia .

Jądro[edytuj]

Jądrem homomorfizmu nazywamy zbiór

,

gdzie oznacza zero pierścienia .

Jądro homomorfizmu jest ideałem pierścienia .

Morfizmy pierścieni[edytuj]

Monomorfizm[edytuj]

 Osobny artykuł: monomorfizm.

Monomorfizmem pierścieni nazywamy różnowartościowy homomorfizm.

Homomorfizm jest monomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy , gdzie oznacza zero pierścienia .

Epimorfizm[edytuj]

 Osobny artykuł: epimorfizm.

Epimorfizmem pierścieni nazywamy homomorfizm , który jest funkcją typu "na" tzn. .

Izomorfizm[edytuj]

 Osobny artykuł: izomorfizm.

Homomorfizm nazywamy izomorfizmem pierścieni wtedy i tylko wtedy, gdy jest wzajemnie jednoznaczny, to znaczy gdy jest jednocześnie monomorfizmem i epimorfizmem. Odwzorowanie istnieje (ponieważ jest wzajemnie jednoznaczne) i również jest izomorfizmem.

Mówimy, że pierścienie i izomorficzne, gdy istnieje izomorfizm (równoważnie: izomorfizm ) i oznaczamy . W dowolnym zbiorze pierścieni relacja izomorficzności jest relacją równoważności.

Homomorfizm kanoniczny[edytuj]

Niech będzie dowolnym pierścieniem, zaś dowolnym jego ideałem. Odwzorowanie określone jest epimorfizmem. Takie odwzorowanie nazywamy homomorfizmem kanonicznym pierścienia na pierścień ilorazowy .

Twierdzenie o homomorfizmie[edytuj]

Jeśli jest epimorfizmem pierścieni , to jest izomorficzny z pierścieniem ilorazowym (izomorfizmem jest odwzorowanie określone ) oraz , gdzie jest homomorfizmem kanonicznym.

Uwagi

  1. W ten sposób eliminuje się przypadek zdegenerowany, w którym wszystkie elementy pierścienia R przechodzą na zero pierścienia S.

Zobacz też[edytuj]