Funkcja homograficzna

Funkcja homograficzna (homografia) – funkcja wymierna, na ogół określana w dziedzinie zespolonej $f\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C}$ postaci

$f(z)={\frac {az+b}{cz+d}},$

gdzie współczynniki $a,b,c,d\in \mathbb {C}$ spełniają warunek:

$ad-bc\neq 0$

gwarantujący, że funkcja $f(x)$ nie redukuje się do funkcji stałej.

Funkcję homograficzną można określić dla dowolnego ciała $K,$ jako funkcję $f\colon K\to K,$ gdzie $a,b,c,d\in K.$ W szczególności funkcja homograficzna może być określona dla podciał ciała liczb zespolonych (np. liczb rzeczywistych lub liczb wymiernych).

Niektóre źródła nie zaliczają do homografii funkcji liniowych poprzez dodanie warunku

$c\neq 0$.

Większość źródeł traktuje jednak funkcje liniowe jako szczególny przypadek homografii, co pozwala na bardziej spójny opis zbioru homografii.

Podstawowe własności

Dziedzina i zbiór wartości

Przypadek $c\neq 0.$

Funkcja homograficzna $f(x)={\frac {ax+b}{cx+d}}$

• jest określona dla $x\neq -{\frac {d}{c}},$ czyli poza miejscem zerowym mianownika, czyli dziedziną jest $K\setminus \{-{\tfrac {d}{c}}\},$
• nie przyjmuje wartości ${\frac {a}{c}},$ czyli zbiorem wartości jest $K\setminus \{{\tfrac {a}{c}}\},$ bo w przeciwnym razie spełniona byłaby równość

${\frac {ax+b}{cx+d}}-{\frac {a}{c}}={\frac {bc-ad}{c(cx+d)}}=0,$

która jest sprzeczna z tym, że $bc-ad\neq 0.$

Przypadek $c=0.$

Funkcja homograficzna $f(x)={\frac {ax+b}{cx+d}}$

• jest określona dla dowolnego $x\in K,$
• przyjmuje dowolne wartości ciała $K.$

Różnowartościowość homografii

Homografia jest funkcją różnowartościową niezależnie od ciała, w którym jest określona.

Istotnie, jeśli $f(x_{1})=f(x_{2}),$ czyli

${\frac {ax_{1}+b}{cx_{1}+d}}={\frac {ax_{2}+b}{cx_{2}+d}},$

to

$(ax_{1}+b)(cx_{2}+d)=(ax_{2}+b)(cx_{1}+d).$

Po rozpisaniu obu stron, redukcji i zwinięciu wyrażenia dostajemy

$(ad-bc)(x_{1}-x_{2})=0,$

a ponieważ $ad-bc\neq 0,$ więc

$x_{1}=x_{2}.$

Przedłużenie homografii

Jeśli powiększymy ciało $K$ o pewien element $\infty ,$ nazywany punktem w nieskończoności, to na zbiorze ${\hat {K}}=K\cup \{\infty \}$ można przedłużyć funkcję homograficzną $f$ następująco:

• dla $c=0\quad f(\infty )=\infty ,$
• dla $c\neq 0\quad f(\infty )={\frac {a}{c}},\quad f\left(-{\frac {d}{c}}\right)=\infty .$

Ponieważ jednocześnie

• dla $c=0\quad x\neq \infty \Rightarrow f(x)\neq \infty ,$
• dla $c\neq 0\quad x\neq \infty \Rightarrow f(x)\neq {\frac {a}{c}},\quad x\neq -{\frac {d}{c}}\Rightarrow f(x)\neq \infty ,$

to homografia $f\colon {\hat {K}}\to {\hat {K}}$ jest funkcją wzajemnie jednoznaczną.

Ciągłość homografii

Jeśli $K=\mathbb {R}$ lub $K=\mathbb {C} ,$ to homografia jako funkcja wymierna jest funkcją ciągłą w swojej dziedzinie.

Po uzwarceniu ciała liczb rzeczywistych $\mathbb {R}$ lub ciała liczb zespolonych $\mathbb {C}$ punktem $\infty$ i przedłużeniu homografii na zbiory odpowiednio ${\hat {\mathbb {R} }}$ i ${\hat {\mathbb {C} }},$ zachodzą następujące zależności:

• dla $c=0\quad f(\infty )=\lim _{x\to \infty }f(x)$
• dla $c\neq 0\quad f(\infty )=\lim _{x\to \infty }f(x),\;f(-{\tfrac {d}{c}})=\lim _{x\to -{\tfrac {d}{c}}}f(x)$

co oznacza, że homografia przedłużona jest także ciągła.

Oczywiście ${\hat {\mathbb {R} }}$ jest homeomorficzny z okręgiem, ${\hat {\mathbb {C} }}$ ze sferą.

Grupowe własności funkcji homograficznych

Zbiór wszystkich funkcji homograficznych określonych w danym ciele (włączając przypadek $c=0$) tworzy grupę ze względu na składanie.

Rzeczywiście, jeśli

$g(x)={\frac {a_{1}x+b_{1}}{c_{1}x+d_{1}}},\quad f(x)={\frac {ax+b}{cx+d}},$

gdzie $a_{1}d_{1}-b_{1}c_{1}\neq 0,\quad ad-bc\neq 0,$

to

$(g\circ f)(x)=g(f(x))={\frac {(a_{1}a+b_{1}c)x+a_{1}b+b_{1}d}{(c_{1}a+d_{1}c)x+c_{1}b+d_{1}d}},$

gdzie $(a_{1}a+b_{1}c)(c_{1}b+d_{1}d)-(a_{1}b+b_{1}d)(c_{1}a+d_{1}c)=(a_{1}d_{1}-b_{1}c_{1})(ad-bc)\neq 0.$

Czyli $g\circ f$ też jest homografią.

Homografia $f(x)=x$ jest jednością (elementem neutralnym) tej grupy.

Dla homografii $f(x)={\frac {ax+b}{cx+d}}$ elementem odwrotnym jest homografia $f^{-1}(x)={\frac {dx-b}{-cx+a}}.$

Oznaczmy przez $M_{f}={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$ macierz złożoną ze współczynników homografii $f(x)={\frac {ax+b}{cx+d}}.$

Zauważmy, że warunek dla współczynników $ad-bc\neq 0$ oznacza, iż $M_{f}$ jest macierzą nieosobliwą.

Zauważmy też, że współczynniki złożenia $g\circ f$ są elementami iloczynu macierzy $M_{g}\cdot M_{f}.$

Można to symbolicznie zapisać

$M_{g\circ f}=M_{g}\cdot M_{f}.$

Oznacza to, że grupę homografii nad pewnym ciałem można zanurzyć w grupie nieosobliwych macierzy $2\times 2$ nad tym samym ciałem.

Możliwość skracania/rozszerzania ułamka definiującego homografię utrudnia ustalenie izomorfizmu – jednej homografii odpowiada cała klasa macierzy „proporcjonalnych” do siebie. Dla niektórych ciał znalezienie izomorfizmu jest jednak dość proste – dla ciała R wystarczy ograniczyć się do grupy macierzy o wyznaczniku równym 1 lub −1, natomiast dla ciała C wystarczy grupa macierzy o wyznaczniku 1.

Rozkład homografii

Dla homografii, dla której $c\neq 0$ dostajemy

$f(z)={\frac {az+b}{cz+d}}={\frac {bc-ad}{c^{2}}}\cdot {\frac {1}{z+{\frac {d}{c}}}}+{\frac {a}{c}}.$

Jest więc ona złożeniem kolejno poniższych funkcji:

translacji: $f_{1}(z)=z+{\frac {d}{c}},$

inwersji: $f_{2}(z)={\frac {1}{z}},$

jednokładność: $f_{3}(z)={\frac {bc-ad}{c^{2}}}\cdot z,$

translacja: $f_{4}(z)=z+{\frac {a}{c}}.$

Jeśli zaś $c=0,$ to natychmiast widać, że homografia jako przekształcenie liniowe jest złożeniem dwóch funkcji:

jednokładności: $f_{1}(z)={\frac {a}{d}}\cdot z$

i translacji: $f_{2}(z)=z+{\frac {b}{d}}.$

W języku macierzowym oznacza to, że każda macierz $2\times 2$ może być przedstawiona jako iloczyn macierzy postaci

${\begin{pmatrix}1&a\\0&1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}a&0\\0&1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}.$

Weźmy dwie dowolne homografie:

$f(x)={\frac {ax+b}{cx+d}},\quad g(x)={\frac {a'x+b'}{c'x+d'}},$

gdzie $c,c'\neq 0.$

Wówczas oznaczając $D=ad-bc,\ D'=a'd'-b'c',$ dostaniemy:

$f(x)={\frac {ax+b}{cx+d}}={\frac {c'^{2}D}{c^{2}D'}}\cdot {\frac {a'(x+{\frac {d}{c}}-{\frac {d'}{c'}})+b'}{c'(x+{\frac {d}{c}}-{\frac {d'}{c'}})+d'}}-{\frac {a'c'D}{c^{2}D'}}+{\frac {a}{c}}={\frac {c'^{2}D}{c^{2}D'}}\cdot g(x+{\frac {d}{c}}-{\frac {d'}{c'}})-{\frac {a'c'D}{c^{2}D'}}+{\frac {a}{c}},$

czyli

$f(x)=(h_{2}\circ g\circ h_{1})(x),$

gdzie h₂, h₁ są liniowymi funkcjami:

$h_{2}(x)={\frac {c'^{2}D}{c^{2}D'}}\cdot x-{\frac {a'c'D}{c^{2}D'}}+{\frac {a}{c}},$

$h_{1}(x)=x+{\frac {d}{c}}-{\frac {d'}{c'}}.$

Jedną homografię można więc otrzymać z innej przemnażając (w sensie składania) lewostronnie i prawostronnie przez pewne funkcje liniowe. Przydaje się to przy budowaniu i analizowaniu wykresów.

Funkcja homograficzna jako przekształcenie rzutowe prostej

Dowolne niezdegenerowane przekształcenie liniowe przestrzeni 2-wymiarowej nad dowolnym ciałem ma postać:

$y_{1}=ax_{1}+bx_{2},$

$y_{2}=cx_{1}+dx_{2},$

gdzie $ad-bd\neq 0$ oraz $x_{i},y_{i}$ są współrzędnymi odpowiednich wektorów w ustalonej bazie.

Istnieje odpowiedniość wzajemnie jednoznaczna między zbiorem podprzestrzeni 1-wymiarowych w 2-wymiarowej przestrzeni liniowej a zbiorem punktów na prostej rzutowej (tak buduje się jeden z modeli dla geometrii rzutowej). Stąd wystarczy potraktować współrzędne wektorów w jakiejkolwiek bazie jako zapis współrzędnych punktów rzutowych w układzie współrzędnych jednorodnych.

Ponieważ

${\frac {y_{1}}{y_{2}}}={\frac {ax_{1}+bx_{2}}{cx_{1}+dx_{2}}}={\frac {a{\frac {x_{1}}{x_{2}}}+b}{c{\frac {x_{1}}{x_{2}}}+d}},$

więc przechodząc od współrzędnych jednorodnych do zwykłych (tj. rzutowych) $x:={\frac {x_{1}}{x_{2}}},\quad y:={\frac {y_{1}}{y_{2}}}$ dostaniemy:

$y={\frac {ax+b}{cx+d}}.$

Czyli dostaniemy funkcję homograficzną w pewnym układzie współrzędnych rzutowych. Oznacza to, że homografia jest analityczną postacią przekształcenia rzutowego prostej rzutowej na siebie. Zauważmy jeszcze, że jeśli w tym układzie współrzędnych przyjmiemy $c=0,$ to wyróżnimy grupę przekształceń afinicznych prostej rzutowej na siebie. Nie możemy jednak wyróżnić podobieństw i izometrii nie mając określonego iloczynu skalarnego.

Homografia jako funkcja zmiennej rzeczywistej

Rozważając homografie jako funkcje zmiennej rzeczywistej wymagamy, aby współczynniki $a,b,c,d$ były liczbami rzeczywistymi.

Wykres

Rysunek pokazuje wykres typowej homografii. Szare linie symbolizują asymptoty wykresu.

Wykres funkcji homograficznej jest przesunięciem równoległym pewnej hiperboli; posiada on dwie asymptoty:

pionową $x={\frac {-d}{c}}$  i   poziomą $y={\frac {a}{c}}.$

Punkt $S=\left({\frac {-d}{c}};{\frac {a}{c}}\right)$ to środek symetrii tego wykresu. Funkcja homograficzna jest monotoniczna na każdym z przedziałów $\left(-\infty ,-{\frac {d}{c}}\right)$ oraz $\left(-{\frac {d}{c}},\infty \right).$ Jest ona

• przedziałami malejąca gdy $ad-bc<0$ oraz
• przedziałami rosnąca $ad-bc>0.$

Przesunięcie wykresu hiperboli

Wykażmy, że wykres funkcji homograficznej $f(x)={\frac {ax+b}{cx+d}},$ gdzie $c\neq 0$ oraz $ad-bc\neq 0$ powstaje w wyniku przesunięcia równoległego wykresu pewnej hiperboli o pewien wektor. Zauważmy w tym celu, że dla wszystkich $x$ mamy

${\frac {ax+b}{cx+d}}={\frac {a}{c}}-{\frac {ad-bc}{c^{2}x+cd}}={\frac {bc-ad}{c^{2}(x+{\frac {d}{c}})}}+{\frac {a}{c}}.$

Zatem wykres funkcji $f$ powstaje w wyniku translacji hiperboli o równaniu

$y={\frac {bc-ad}{c^{2}x}}$

o wektor ${\vec {u}}=[-{\frac {d}{c}},{\frac {a}{c}}].$

Homografia jako funkcja zmiennej zespolonej

Homografia określona w ciele liczb zespolonych C jest funkcją holomorficzną.

Użycie ciała C do wprowadzenia układu współrzędnych na płaszczyźnie (w uproszczeniu: $C\equiv R^{2}$) dostarcza nowych faktów geometrycznych – homografia okazuje się być wówczas odwzorowaniem konforemnym, czyli równokątnym odwzorowaniem płaszczyzny na siebie (dotyczy to zresztą wszystkich funkcji holomorficznych w punktach, w których pochodna nie zeruje się).

Homografia wyróżnia się jeszcze jedną ciekawą własnością geometryczną – jest funkcją $C\cup \{\infty \}\to C\cup \{\infty \}$ zachowującą okręgi, tzn. obrazem okręgu jest okrąg (za okręgi uznajemy także proste). W szczególności taką własność ma inwersja zespolona $f(z)={\frac {1}{z}}.$ Geometrycznie zdefiniowaną inwersję otrzymujemy składając inwersję zespoloną ze sprzężeniem, czyli stosując funkcję $f(z)={\frac {1}{\bar {z}}}.$

Homografia określona w ciele C nazywana jest także odwzorowaniem Möbiusa.

Przykłady i zastosowania

• Suma nieskończonego szeregu geometrycznego jest homograficzną funkcją ilorazu ciągu.
• Ułamek łańcuchowy to złożenie wielu, nawet nieskończenie wielu homografii.
• W optyce geometrycznej, zarówno katoptryce, jak i dioptryce, używane jest równanie zwierciadła lub soczewki. Odległość przedmiotu, odległość obrazu oraz ogniskowa są funkcjami homograficznymi siebie nawzajem.
• Efekt Dopplera, m.in. w optyce falowej i akustyce: przy ruchu źródła fali względem ośrodka zmiana długości fali oraz odbieranej częstotliwości jest homograficzną funkcją prędkości źródła.
• W szczególnej teorii względności Einsteina używany jest inny wzór na składanie prędkości niż w mechanice klasycznej. Prędkość w jednym układzie inercjalnym jest homograficzną funkcją prędkości w innym układzie.

Linki zewnętrzne

• Douglas N. Arnold, Jonathan Rogness (University of Minnesota): Moebius Transformations Revealed (ang.). [dostęp 1 maja 2009]. – animacja pokazująca przekształcenie Möbiusa generowane przez funkcję homograficzną w dziedzinie zespolonej