Funkcja homograficzna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Funkcja homograficzna (homografia) – funkcja wymierna, na ogół określana w dziedzinie zespolonej postaci

gdzie współczynniki spełniają warunek:

[1][2]

gwarantujący, że funkcja nie redukuje się do funkcji stałej.

Funkcję homograficzną można określić dla dowolnego ciała jako funkcję gdzie W szczególności funkcja homograficzna może być określona dla podciał ciała liczb zespolonych (np. liczb rzeczywistych lub liczb wymiernych).

Niektóre źródła nie zaliczają do homografii funkcji liniowych poprzez dodanie warunku

[3][4].

Większość źródeł traktuje jednak funkcje liniowe jako szczególny przypadek homografii, co pozwala na bardziej spójny opis zbioru homografii.

Podstawowe własności[edytuj | edytuj kod]

Dziedzina i zbiór wartości[edytuj | edytuj kod]

Funkcja homograficzna określona na ciele gdzie

  • jest określona dla czyli poza miejscem zerowym mianownika,
  • nie przyjmuje wartości bo wtedy byłaby spełniona równość
która jest sprzeczna z tym, że

Funkcja homograficzna określona na ciele gdzie

  • jest określona dla dowolnego
  • przyjmuje wartości dowolne wartości.

Różnowartościowość homografii[edytuj | edytuj kod]

Homografia jest funkcją różnowartościową niezależnie od ciała, w którym jest określona.

Istotnie, jeśli czyli

to

Po rozpisaniu obu stron, redukcji i zwinięciu wyrażenia dostajemy

a ponieważ więc

Przedłużenie homografii[edytuj | edytuj kod]

Jeśli powiększymy ciało o pewien element nazywany punktem w nieskończoności, to na zbiorze można przedłużyć funkcję homograficzną następująco:

  • dla
  • dla

Ponieważ jednocześnie

  • dla
  • dla

to homografia jest funkcją wzajemnie jednoznaczną.

Dla ciała liczb rzeczywistych R i ciała liczb zespolonych C punkt uzwarca te zbiory; pierwszy po uzwarceniu jest homeomorficzny z okręgiem, drugi ze sferą. Wartości są wówczas odpowiednimi granicami funkcji.

Grupowe własności funkcji homograficznych[edytuj | edytuj kod]

Zbiór wszystkich funkcji homograficznych określonych w danym ciele (włączając przypadek ) tworzy grupę ze względu na składanie.

Rzeczywiście, jeśli

gdzie

to

gdzie

Czyli też jest homografią.

Homografia jest jednością (elementem neutralnym) tej grupy.

Dla homografii elementem odwrotnym jest homografia

Oznaczmy przez macierz złożoną ze współczynników homografii

Zauważmy, że warunek dla współczynników oznacza, iż jest macierzą nieosobliwą.

Zauważmy też, że współczynniki złożenia są elementami iloczynu macierzy

Można to symbolicznie zapisać

Oznacza to, że grupę homografii nad pewnym ciałem można zanurzyć w grupie nieosobliwych macierzy nad tym samym ciałem.

Możliwość skracania/rozszerzania ułamka definiującego homografię utrudnia ustalenie izomorfizmu – jednej homografii odpowiada cała klasa macierzy „proporcjonalnych” do siebie. Dla niektórych ciał znalezienie izomorfizmu jest jednak dość proste – dla ciała R wystarczy ograniczyć się do grupy macierzy o wyznaczniku równym 1 lub −1, natomiast dla ciała C wystarczy grupa macierzy o wyznaczniku 1.

Rozkład homografii[edytuj | edytuj kod]

Dla homografii, dla której dostajemy

Jest więc ona złożeniem kolejno poniższych funkcji:

translacji:

inwersji:

jednokładność:

translacja:

Jeśli zaś to natychmiast widać, że homografia jako przekształcenie liniowe jest złożeniem dwóch funkcji:

jednokładności:

i translacji:

W języku macierzowym oznacza to, że każda macierz może być przedstawiona jako iloczyn macierzy postaci

Weźmy dwie dowolne homografie:

gdzie

Wówczas oznaczając dostaniemy:

czyli

gdzie h2, h1 są liniowymi funkcjami:

Jedną homografię można więc otrzymać z innej przemnażając (w sensie składania) lewostronnie i prawostronnie przez pewne funkcje liniowe. Przydaje się to przy budowaniu i analizowaniu wykresów.

Funkcja homograficzna jako przekształcenie rzutowe prostej[edytuj | edytuj kod]

Dowolne niezdegenerowane przekształcenie liniowe przestrzeni 2-wymiarowej nad dowolnym ciałem ma postać:

gdzie oraz są współrzędnymi odpowiednich wektorów w ustalonej bazie.

Istnieje odpowiedniość wzajemnie jednoznaczna między zbiorem podprzestrzeni 1-wymiarowych w 2-wymiarowej przestrzeni liniowej a zbiorem punktów na prostej rzutowej (tak buduje się jeden z modeli dla geometrii rzutowej). Stąd wystarczy potraktować współrzędne wektorów w jakiejkolwiek bazie jako zapis współrzędnych punktów rzutowych w układzie współrzędnych jednorodnych.

Ponieważ

więc przechodząc od współrzędnych jednorodnych do zwykłych (tj. rzutowych) dostaniemy:

Czyli dostaniemy funkcję homograficzną w pewnym układzie współrzędnych rzutowych. Oznacza to, że homografia jest analityczną postacią przekształcenia rzutowego prostej rzutowej na siebie. Zauważmy jeszcze, że jeśli w tym układzie współrzędnych przyjmiemy to wyróżnimy grupę przekształceń afinicznych prostej rzutowej na siebie. Nie możemy jednak wyróżnić podobieństw i izometrii nie mając określonego iloczynu skalarnego.

Homografia jako funkcja zmiennej rzeczywistej[edytuj | edytuj kod]

Rozważając homografie jako funkcje zmiennej rzeczywistej wymagamy, aby współczynniki były liczbami rzeczywistymi.

Wykres[edytuj | edytuj kod]

Rysunek pokazuje wykres typowej homografii. Szare linie symbolizują asymptoty wykresu.

Wykres funkcji homograficznej jest przesunięciem równoległym pewnej hiperboli; posiada on dwie asymptoty:

pionową   i   poziomą

Punkt to środek symetrii tego wykresu. Funkcja homograficzna jest monotoniczna na każdym z przedziałów oraz Jest ona

  • przedziałami malejąca gdy oraz
  • przedziałami rosnąca

Przesunięcie wykresu hiperboli[edytuj | edytuj kod]

Wykażmy, że wykres funkcji homograficznej gdzie oraz powstaje w wyniku przesunięcia równoległego wykresu pewnej hiperboli o pewien wektor. Zauważmy w tym celu, że dla wszystkich mamy

Zatem wykres funkcji powstaje w wyniku translacji hiperboli o równaniu

o wektor

Homografia jako funkcja zmiennej zespolonej[edytuj | edytuj kod]

Homografia określona w ciele liczb zespolonych C jest funkcją holomorficzną.

Użycie ciała C do wprowadzenia układu współrzędnych na płaszczyźnie (w uproszczeniu: ) dostarcza nowych faktów geometrycznych – homografia okazuje się być wówczas odwzorowaniem konforemnym, czyli równokątnym odwzorowaniem płaszczyzny na siebie (dotyczy to zresztą wszystkich funkcji holomorficznych w punktach, w których pochodna nie zeruje się).

Homografia wyróżnia się jeszcze jedną ciekawą własnością geometryczną – jest funkcją zachowującą okręgi, tzn. obrazem okręgu jest okrąg (za okręgi uznajemy także proste). W szczególności taką własność ma inwersja zespolona Geometrycznie zdefiniowaną inwersję otrzymujemy składając inwersję zespoloną ze sprzężeniem, czyli stosując funkcję

Homografia określona w ciele C nazywana jest także odwzorowaniem Möbiusa.

Przykłady i zastosowania[edytuj | edytuj kod]

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. Uniwersalna Encyklopedia PWN, Wydawnictwo Naukowe PWN SA, wydanie elektroniczne 2008, wersja 1.
  2. Słownik encyklopedyczny – matematyka. Wrocław: Wydawnictwo Europa, 1998, s. 69. ISBN 83-85336-06-0.
  3. Witold Pogorzelski: Analiza matematyczna. T. I. Warszawa: PWN, 1953, s. 55.
  4. I.N. Bronsztejn, K.A. Siemiendiajew: Matematyka. Poradnik encyklopedyczny. Warszawa: PWN, 1976.

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]

  • Douglas N. Arnold, Jonathan Rogness (University of Minnesota): Moebius Transformations Revealed (ang.). [dostęp 1 maja 2009]. – animacja pokazująca przekształcenie Möbiusa generowane przez funkcję homograficzną w dziedzinie zespolonej