Funkcja homograficzna

Funkcja homograficzna (homografia) – funkcja wymierna, na ogół określana w dziedzinie zespolonej $f:\mathbb {C} \to \mathbb {C}$ postaci

$f(z)={\frac {az+b}{cz+d}}$,

gdzie współczynniki $a,b,c,d\in \mathbb {C}$ spełniają warunek:

$ad-bc\neq 0\;$(w przeciwnym wypadku $f(x)\;$ redukuje się do funkcji stałej).

Niektóre źródła podają warunek

$c\neq 0$

lub podają go jako warunek dodatkowy. Warunek ten jednak powoduje, że zbiór funkcji homograficznych ze składaniem funkcji jako działaniem przestaje być grupą ani nawet monoidem.

Funkcję homograficzną można określić dla dowolnego ciała $K\;$, jako funkcję $f:K\rightarrow K$. Wtedy $a,b,c,d\in K$ oraz zmienna przebiega to ciało. W szczególności funkcja homograficzna może być określona dla ciała liczb rzeczywistych lub ciała liczb wymiernych.

Przykłady i zastosowania

• Suma nieskończonego szeregu geometrycznego jest homograficzną funkcją ilorazu ciągu.
• Ułamek łańcuchowy to złożenie wielu, nawet nieskończenie wielu homografii.
• W optyce geometrycznej, zarówno katoptryce jak i dioptryce, używane jest równanie zwierciadła lub soczewki. Odległość przedmiotu, odległość obrazu oraz ogniskowa są funkcjami homograficznymi siebie nawzajem.
• Efekt Dopplera, m.in. w optyce falowej i akustyce: przy ruchu źródła fali względem ośrodka zmiana długości fali oraz odbieranej częstotliwości jest homograficzną funkcją prędkości źródła.
• W szczególnej teorii względności Einsteina używany jest inny wzór na składanie prędkości niż w mechanice klasycznej. Prędkość w jednym układzie inercjalnym jest homograficzną funkcją prędkości w innym układzie.

Dziedzina i zbiór wartości

Funkcja homograficzna $f(x)={\frac {ax+b}{cx+d}}$, określona na ciele $K\;$, gdzie $c\neq 0\,$:

• jest określona dla $x\neq -{\frac {d}{c}}$, czyli poza miejscem zerowym mianownika,
• nie przyjmuje wartości ${\frac {a}{c}}$, bo wtedy byłaby spełniona równość

${\frac {ax+b}{cx+d}}-{\frac {a}{c}}={\frac {bc-ad}{c(cx+d)}}=0$'

która jest sprzeczna z tym, że $bc-ad\neq 0$.

Jeśli rozszerzymy dziedzinę i przeciwdziedzinę o taki element $\infty$, nazywany punktem w nieskończoności, który :

• dla każdego $y\in K$ spełnia warunki

$y\pm \infty =\infty \cdot \infty =\infty +\infty ={\frac {\infty }{y}}=\infty ,$

${\frac {y}{\infty }}=0,$

• dla każdego niezerowego $y\in K$ spełnia warunek

$y\cdot \infty =\infty ,$

otrzymamy zbiór ${\hat {K}}=K\cup \{\infty \}$, na który można rozszerzyć funkcję homograficzną za pomocą warunków

• dla $c=0\quad f(\infty )=\infty ,\quad x\neq \infty \Rightarrow f(x)\neq \infty ,$
• dla $c\neq 0\quad f(\infty )={\frac {a}{c}},\quad f(-{\frac {d}{c}})=\infty .$

Homografia $f:{\hat {K}}\rightarrow {\hat {K}}$ jest wtedy funkcją wzajemnie jednoznaczną.

Topologia dwóch szczególnych ciał tj. ciała liczb rzeczywistych R i ciała liczb zespolonych C powoduje, że po dołączenie tego elementu pierwszy ze zbiorów domyka się do okręgu, drugi do sfery.

Różnowartościowość homografii

Homografia z warunkiem $ad-bc\neq 0$ jest funkcją różnowartościową niezależnie od ciała, w którym jest określona.

Istotnie, jeśli $f(x_{1})=f(x_{2})\,$ czyli ${\frac {ax_{1}+b}{cx_{1}+d}}={\frac {ax_{2}+b}{cx_{2}+d}}$

to $(ax_{1}+b)(cx_{2}+d)=(ax_{2}+b)(cx_{1}+d)\,$

Po rozpisaniu obu stron, redukcji i zwinięciu wyrażenia dostajemy

$(ad-bc)(x_{1}-x_{2})=0\,$

a ponieważ $ad-bc\neq 0$

więc $x_{1}=x_{2}\,$

Grupowe własności funkcji homograficznej

Zbiór wszystkich funkcji homograficznych określonych w danym ciele (włączając przypadek $c=0\;$) tworzy grupę ze względu na składanie.

Rzeczywiście, jeśli $g(x)={\frac {a_{1}x+b_{1}}{c_{1}x+d_{1}}},\quad f(x)={\frac {ax+b}{cx+d}}$

gdzie $a_{1}d_{1}-b_{1}c_{1}\neq 0,\quad ad-bc\neq 0$

to $(g\circ f)(x)=g(f(x))={\frac {(a_{1}a+b_{1}c)x+a_{1}b+b_{1}d}{(c_{1}a+d_{1}c)x+c_{1}b+d_{1}d}}$

gdzie $(a_{1}a+b_{1}c)(c_{1}b+d_{1}d)-(a_{1}b+b_{1}d)(c_{1}a+d_{1}c)=(a_{1}d_{1}-b_{1}c_{1})(ad-bc)\neq 0$.

Czyli $g\circ f$ też jest homografią.

Homografia $f(x)=x\,$ jest jednością (elementem neutralnym) tej grupy.

Dla homografii $f(x)={\frac {ax+b}{cx+d}}$ elementem odwrotnym jest homografia $f^{-1}(x)={\frac {dx-b}{-cx+a}}$.

Oznaczmy przez $M_{f}={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}$ macierz złożoną ze współczynników homografii $f(x)={\frac {ax+b}{cx+d}}$

Zauważmy, że warunek dla współczynników $ad-bc\neq 0$ oznacza, iż $M_{f}\,$ jest macierzą nieosobliwą.

Zauważmy też, że współczynniki złożenia $g\circ f$ są elementami iloczynu macierzy $M_{g}\cdot M_{f}$

Można to symbolicznie zapisać

$M_{g\circ f}=M_{g}\cdot M_{f}$

Oznacza to, że grupę homografii nad pewnym ciałem można zanurzyć w grupie nieosobliwych macierzy $2\times 2$ nad tym samym ciałem.

Możliwość skracania/rozszerzania ułamka definiującego homografię utrudnia ustalenie izomorfizmu - jednej homografii odpowiada cała klasa macierzy "proporcjonalnych" do siebie. Dla niektórych ciał znalezienie izomorfizmu jest jednak dość proste - dla ciała R wystarczy ograniczyć się do grupy macierzy o wyznaczniku równym 1 lub -1, natomiast dla ciała C wystarczy grupa macierzy o wyznaczniku 1.

Rozkład homografii

Dla homografii, dla której $c\neq 0$ dostajemy

$f(z)={\frac {az+b}{cz+d}}={\frac {bc-ad}{c^{2}}}\cdot {\frac {1}{z+{\frac {d}{c}}}}+{\frac {a}{c}}$

Jest więc ona złożeniem kolejno następujących funkcji:

Translacja: $f(z)=z+{\frac {d}{c}}$

Inwersja: $f(z)={\frac {1}{z}}$

Jednokładność: $f(z)={\frac {bc-ad}{c^{2}}}\cdot z$

Translacja: $f(z)=z+{\frac {a}{c}}$

Jeśli zaś c=0 to natychmiast widać, że homografia jako przekształcenie liniowe jest złożeniem dwóch funkcji:

Jednokładność: $f(z)={\frac {a}{d}}\cdot z$

Translacja: $f(z)=z+{\frac {b}{d}}$

W języku macierzowym oznacza to, że każda macierz $2\times 2$ może być przedstawiona jako iloczyn macierzy postaci

${\begin{pmatrix}1&a\\0&1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}a&0\\0&1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}$

Weźmy dwie dowolne homografie:

$f(x)={\frac {ax+b}{cx+d}},\quad g(x)={\frac {a'x+b'}{c'x+d'}}$

gdzie c,c' ≠ 0.

Wówczas oznaczając D = ad-bc, D' = a'd'-b'c' dostaniemy:

$f(x)={\frac {ax+b}{cx+d}}={\frac {c'^{2}D}{c^{2}D'}}\cdot {\frac {a'(x+{\frac {d}{c}}-{\frac {d'}{c'}})+b'}{c'(x+{\frac {d}{c}}-{\frac {d'}{c'}})+d'}}-{\frac {a'c'D}{c^{2}D'}}+{\frac {a}{c}}={\frac {c'^{2}D}{c^{2}D'}}\cdot g(x+{\frac {d}{c}}-{\frac {d'}{c'}})-{\frac {a'c'D}{c^{2}D'}}+{\frac {a}{c}}$

czyli

$f(x)=(h_{2}\circ g\circ h_{1})(x)$

gdzie h₂, h₁ są liniowymi funkcjami:

$h_{2}(x)={\frac {c'^{2}D}{c^{2}D'}}\cdot x-{\frac {a'c'D}{c^{2}D'}}+{\frac {a}{c}}$

$h_{1}(x)=x+{\frac {d}{c}}-{\frac {d'}{c'}}$

Jedną homografię można więc otrzymać z innej przemnażając (w sensie składania) lewostronnie i prawostronnie przez pewne funkcje liniowe. Przydaje się to przy budowaniu i analizowaniu wykresów.

Funkcja homograficzna jako przekształcenie rzutowe prostej

Dowolne niezdegenerowane przekształcenie liniowe przestrzeni 2–wymiarowej nad dowolnym ciałem ma postać:

$y_{1}=ax_{1}+bx_{2}\,$

$y_{2}=cx_{1}+dx_{2}\,$

Gdzie $ad-bd\neq 0\,$ oraz $x_{i},y_{i}\,$ są współrzędnymi odpowiednich wektorów w ustalonej bazie.

Istnieje odpowiedniość wzajemnie jednoznaczna między zbiorem podprzestrzeni 1-wymiarowych w 2-wymiarowej przestrzeni liniowej a zbiorem punktów na prostej rzutowej (tak buduje się jeden z modeli dla geometrii rzutowej). Stąd wystarczy potraktować współrzędne wektorów w jakiejkolwiek bazie jako zapis współrzędnych punktów rzutowych w układzie współrzędnych jednorodnych.

Ponieważ

${\frac {y_{1}}{y_{2}}}={\frac {ax_{1}+bx_{2}}{cx_{1}+dx_{2}}}={\frac {a{\frac {x_{1}}{x_{2}}}+b}{c{\frac {x_{1}}{x_{2}}}+d}}$

więc przechodząc od współrzędnych jednorodnych do zwykłych (tj. rzutowych) $x:={\frac {x_{1}}{x_{2}}},\quad y:={\frac {y_{1}}{y_{2}}}$ dostaniemy:

$y={\frac {ax+b}{cx+d}}$

Czyli dostaniemy funkcję homograficzną w pewnym układzie współrzędnych rzutowych. Oznacza to, że homografia jest analityczną postacią przekształcenia rzutowego prostej rzutowej na siebie. Zauważmy jeszcze, że jeśli w tym układzie współrzędnych przyjmiemy c=0, to wyróżnimy grupę przekształceń afinicznych prostej rzutowej na siebie. Nie możemy jednak wyróżnić podobieństw i izometrii nie mając określonego iloczynu skalarnego.

Homografia jako funkcja zmiennej rzeczywistej

Rozważając homografie jako funkcje zmiennej rzeczywistej wymagamy, aby współczynniki $a,b,c,d$ były liczbami rzeczywistymi.

Wykres

Rysunek pokazuje wykres typowej homografii. Szare linie symbolizują asymptoty wykresu.

Wykres funkcji homograficznej jest przesunięciem równoległym pewnej hiperboli; posiada on dwie asymptoty:

pionową $x={\frac {-d}{c}}$  i   poziomą $y={\frac {a}{c}}$.

Punkt $S=\left({\frac {-d}{c}};{\frac {a}{c}}\right)$ to środek symetrii tego wykresu. Funkcja homograficzna jest monotoniczna na każdym z przedziałów $(-\infty ,-{\frac {d}{c}})$ oraz $(-{\frac {d}{c}},\infty )$. Jest ona

• przedziałami malejąca gdy $ad-bc<0$ oraz
• przedziałami rosnąca $ad-bc>0$.

Przesunięcie wykresu hiperboli

Wykażmy, że wykres funkcji homograficznej $f(x)={\frac {ax+b}{cx+d}}$, gdzie $c\neq 0$ oraz $ad-bc\neq 0$ powstaje w wyniku przesunięcia równoległego wykresu pewnej hiperboli o pewien wektor. Zauważmy w tym celu, że dla wszystkich $x$ mamy

${\frac {ax+b}{cx+d}}={\frac {a}{c}}-{\frac {ad-bc}{c^{2}x+cd}}={\frac {bc-ad}{c^{2}(x+{\frac {d}{c}})}}+{\frac {a}{c}}$.

Zatem wykres funkcji $f$ powstaje w wyniku translacji hiperboli o równaniu

$y={\frac {bc-ad}{c^{2}x}}$

o wektor ${\vec {u}}=[-{\frac {d}{c}},{\frac {a}{c}}]$

Homografia jako funkcja zmiennej zespolonej

Homografia określona w ciele liczb zespolonych C jest funkcją holomorficzną.

Użycie ciała C do wprowadzenia układu współrzędnych na płaszczyźnie (w uproszczeniu: $C\equiv R^{2}$) dostarcza nowych faktów geometrycznych – homografia okazuje się być wówczas odwzorowaniem konforemnym czyli równokątnym odwzorowaniem płaszczyzny na siebie (dotyczy to zresztą wszystkich funkcji holomorficznych w punktach, w których pochodna nie zeruje się).

Homografia wyróżnia się jeszcze jedną ciekawą własnością geometryczną - jest funkcją $C\cup \{\infty \}\rightarrow C\cup \{\infty \}$ zachowującą okręgi tzn. obrazem okręgu jest okrąg (za okręgi uznajemy także proste). W szczególności taką własność ma inwersja zespolona $f(z)={\frac {1}{z}}$. Geometrycznie zdefiniowaną inwersję otrzymujemy składając inwersję zespoloną ze sprzężeniem, czyli stosując funkcję $f(z)={\frac {1}{\bar {z}}}$.

Homografia określona w ciele C nazywana jest także odwzorowaniem Möbiusa.

Linki zewnętrzne

• Douglas N. Arnold, Jonathan Rogness (University of Minnesota): Moebius Transformations Revealed (ang.). [dostęp 1 maja 2009]. – animacja pokazująca przekształcenie Möbiusa generowane przez funkcję homograficzną w dziedzinie zespolonej