Funkcja homograficzna

Funkcja homograficzna (homografia) – funkcja wymierna, na ogół określana w dziedzinie zespolonej $f: \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ postaci

$f(z)=\frac{az+b}{cz+d}$,

gdzie współczynniki $a,b,c,d \in \mathbb{C}$ spełniają warunek:

$ad-bc\ne 0\;$(w przeciwnym wypadku $f(x)\;$ redukuje się do funkcji stałej).

Niektóre źródła podają warunek

$c\ne 0$

lub podają go jako warunek dodatkowy. Warunek ten jednak powoduje, że zbiór funkcji homograficznych ze składaniem funkcji jako działaniem przestaje być grupą

Funkcję homograficzną można określić dla dowolnego ciała $K \;$, jako funkcję $f: K \rightarrow K$. Wtedy $a, b, c, d \in K$ oraz zmienna przebiega to ciało. W szczególności funkcja homograficzna może być określona dla ciała liczb rzeczywistych lub ciała liczb wymiernych.

Dziedzina i zbiór wartości

Funkcja homograficzna $f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$, określona na ciele $K\;$, gdzie $c \ne 0 \,$:

• jest określona dla $x\ne -\frac{d}{c}$, czyli poza miejscem zerowym mianownika,
• nie przyjmuje wartości $\frac{a}{c}$, bo wtedy byłaby spełniona równość

$\frac{ax + b}{cx + d} - \frac{a}{c} = \frac{bc - ad}{c(cz + d)} = 0$'

która jest sprzeczna z tym, że $bc - ad \ne 0$.

Jeśli rozszerzymy dziedzinę i przeciwdziedzinę o taki element $\infty$, nazywany punktem w nieskończoności, który :

• dla każdego $y \in K$ spełnia warunki

$y \pm \infty = \infty \cdot \infty = \infty + \infty = \frac{\infty}{y} = \infty,$

$\frac{y}{\infty} = 0,$

• dla każdego niezerowego $y \in K$ spełnia warunek

$y \cdot \infty = \infty,$

otrzymamy zbiór $\hat K = K \cup \{\infty\}$, na który można rozszerzyć funkcję homograficzną za pomocą warunków

• dla $c=0 \quad f(\infty) = \infty,\quad x\ne \infty\Rightarrow f(x)\ne \infty,$
• dla $c\ne0 \quad f(\infty) = \frac{a}{c}, \quad f(-\frac{d}{c})=\infty.$

Homografia $f: \hat{K} \rightarrow \hat{K}$ jest wtedy funkcją wzajemnie jednoznaczną.

Topologia dwóch szczególnych ciał tj. ciała liczb rzeczywistych R i ciała liczb zespolonych C powoduje, że po dołączenie tego elementu pierwszy ze zbiorów domyka się do okręgu, drugi do sfery.

Różnowartościowość homografii

Homografia z warunkiem $ad - bc \ne 0$ jest funkcją różnowartościową niezależnie od ciała, w którym jest określona.

Istotnie, jeśli $f(x_1)=f(x_2)\,$ czyli $\frac{ax_1+b}{cx_1+d} = \frac{ax_2+b}{cx_2+d}$

to $(ax_1+b)(cx_2+d) = (ax_2+b)(cx_1+d)\,$

Po rozpisaniu obu stron, redukcji i zwinięciu wyrażenia dostajemy

$(ad-bc)(x_1-x_2) = 0 \,$

a ponieważ $ad - bc \ne 0$

więc $x_1=x_2\,$

Grupowe własności funkcji homograficznej

Zbiór wszystkich funkcji homograficznych określonych w danym ciele (włączając przypadek $c=0\;$) tworzy grupę ze względu na składanie.

Rzeczywiście, jeśli $g(x)=\frac{a_1x+b_1}{c_1x+d_1},\quad f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$

gdzie $a_1d_1-b_1c_1 \ne 0,\quad ad-bc \ne 0$

to $(g\circ f)(x)=g(f(x))=\frac{(a_1a+b_1c)x+a_1b+b_1d}{(c_1a+d_1c)x+c_1b+d_1d}$

gdzie $(a_1a+b_1c) (c_1b+d_1d) - (a_1b+b_1d)(c_1a+d_1c) = (a_1d_1-b_1c_1)(ad-bc) \ne 0$.

Czyli $g\circ f$ też jest homografią.

Homografia $f(x)=x\,$ jest jednością (elementem neutralnym) tej grupy.

Dla homografii $f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$ elementem odwrotnym jest homografia $f^{-1}(x)=\frac{dx-b}{-cx+a}$.

Oznaczmy przez $M_f = \begin{pmatrix} a&b\\ c&d\\ \end{pmatrix}$ macierz złożoną ze współczynników homografii $f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$

Zauważmy, że warunek dla współczynników $ad-bc \ne 0$ oznacza, iż $M_f \,$ jest macierzą nieosobliwą.

Zauważmy też, że współczynniki złożenia $g\circ f$ są elementami iloczynu macierzy $M_g\cdot M_f$

Można to symbolicznie zapisać

$M_{g\circ f} = M_g\cdot M_f$

Oznacza to, że grupę homografii nad pewnym ciałem można zanurzyć w grupie nieosobliwych macierzy $2\times 2$ nad tym samym ciałem.

Możliwość skracania/rozszerzania ułamka definiującego homografię utrudnia ustalenie izomorfizmu - jednej homografii odpowiada cała klasa macierzy "proporcjonalnych" do siebie. Dla niektórych ciał znalezienie izomorfizmu jest jednak dość proste - dla ciała R wystarczy ograniczyć się do grupy macierzy o wyznaczniku równym 1 lub -1, natomiast dla ciała C wystarczy grupa macierzy o wyznaczniku 1.

Rozkład homografii

Dla homografii, dla której $c\ne 0$ dostajemy

$f(z)=\frac{az+b}{cz+d}= \frac{bc-ad}{c^2}\cdot\frac{1}{z+\frac{d}{c}}+\frac{a}{c}$

Jest więc ona złożeniem kolejno następujących funkcji:

Translacja: $f(z)=z+\frac{d}{c}$

Inwersja: $f(z)=\frac{1}{z}$

Jednokładność: $f(z)=\frac{bc-ad}{c^2}\cdot z$

Translacja: $f(z)=z+\frac{a}{c}$

Jeśli zaś c=0 to natychmiast widać, że homografia jako przekształcenie liniowe jest złożeniem dwóch funkcji:

Jednokładność: $f(z)=\frac{a}{d}\cdot z$

Translacja: $f(z)=z+\frac{b}{d}$

W języku macierzowym oznacza to, że każda macierz $2 \times 2$ może być przedstawiona jako iloczyn macierzy postaci

$\begin{pmatrix} 1&a\\0&1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} a&0\\0&1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0&1\\1&0 \end{pmatrix}$

Weźmy dwie dowolne homografie:

$f(x)=\frac{ax+b}{cx+d},\quad g(x)=\frac{a'x+b'}{c'x+d'}$

gdzie c,c' ≠ 0.

Wówczas oznaczając D = ad-bc, D' = a'd'-b'c' dostaniemy:

$f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}= \frac{c'^2D}{c^2D'}\cdot\frac{a'(x+\frac{d}{c}-\frac{d'}{c'})+b'}{c'(x+\frac{d}{c}-\frac{d'}{c'})+d'}-\frac{a'c'D}{c^2D'}+\frac{a}{c} = \frac{c'^2D}{c^2D'}\cdot g(x+\frac{d}{c}-\frac{d'}{c'})-\frac{a'c'D}{c^2D'}+\frac{a}{c}$

czyli

$f(x) = (h_2\circ g \circ h_1) (x)$

gdzie h₂, h₁ są liniowymi funkcjami:

$h_2(x)=\frac{c'^2D}{c^2D'}\cdot x-\frac{a'c'D}{c^2D'}+\frac{a}{c}$

$h_1(x)=x+\frac{d}{c}-\frac{d'}{c'}$

Jedną homografię można więc otrzymać z innej przemnażając (w sensie składania) lewostronnie i prawostronnie przez pewne funkcje liniowe. Przydaje się to przy budowaniu i analizowaniu wykresów.

Funkcja homograficzna jako przekształcenie rzutowe prostej

Dowolne niezdegenerowane przekształcenie liniowe przestrzeni 2–wymiarowej nad dowolnym ciałem ma postać:

$y_1 = ax_1 +bx_2\,$

$y_2 = cx_1+dx_2\,$

Gdzie $ad-bd\ne 0\,$ oraz $x_i, y_i\,$ są współrzędnymi odpowiednich wektorów w ustalonej bazie.

Istnieje odpowiedniość wzajemnie jednoznaczna między zbiorem podprzestrzeni 1-wymiarowych w 2-wymiarowej przestrzeni liniowej a zbiorem punktów na prostej rzutowej (tak buduje się jeden z modeli dla geometrii rzutowej). Stąd wystarczy potraktować współrzędne wektorów w jakiejkolwiek bazie jako zapis współrzędnych punktów rzutowych w układzie współrzędnych jednorodnych.

Ponieważ

$\frac {y_1}{y_2} = \frac{ax_1+bx_2}{cx_1+dx_2} = \frac {a\frac{x_1}{x_2}+b}{c\frac{x_1}{x_2}+d}$

więc przechodząc od współrzędnych jednorodnych do zwykłych (tj. rzutowych) $x:=\frac{x_1}{x_2},\quad y:=\frac{y_1}{y_2}$ dostaniemy:

$y = \frac {ax+b}{cx+d}$

Czyli dostaniemy funkcję homograficzną w pewnym układzie współrzędnych rzutowych. Oznacza to, że homografia jest analityczną postacią przekształcenia rzutowego prostej rzutowej na siebie. Zauważmy jeszcze, że jeśli w tym układzie współrzędnych przyjmiemy c=0, to wyróżnimy grupę przekształceń afinicznych prostej rzutowej na siebie. Nie możemy jednak wyróżnić podobieństw i izometrii nie mając określonego iloczynu skalarnego.

Homografia jako funkcja zmiennej rzeczywistej

Rozważając homografie jako funkcje zmiennej rzeczywistej wymagamy, aby współczynniki $a,b,c,d$ były liczbami rzeczywistymi.

Wykres

Rysunek pokazuje wykres typowej homografii. Szare linie symbolizują asymptoty wykresu.

Wykres funkcji homograficznej jest przesunięciem równoległym pewnej hiperboli; posiada on dwie asymptoty:

pionową $x= \frac{- d}{c}$  i   poziomą $y= \frac{a}{c}$.

Punkt $S= \left(\frac{-d}{c} ; \frac{a}{c}\right)$ to środek symetrii tego wykresu. Funkcja homograficzna jest monotoniczna na każdym z przedziałów $(-\infty,-\frac{d}{c})$ oraz $(-\frac{d}{c},\infty)$. Jest ona

• przedziałami malejąca gdy $ad - bc < 0$ oraz
• przedziałami rosnąca $ad - bc > 0$.

Przesunięcie wykresu hiperboli

Wykażmy, że wykres funkcji homograficznej $f(x) = \frac{ax+b}{cx+d}$, gdzie $c \neq 0$ oraz $ad - bc \neq 0$ powstaje w wyniku przesunięcia równoległego wykresu pewnej hiperboli o pewien wektor. Zauważmy w tym celu, że dla wszystkich $x$ mamy

$\frac{ax+b}{cx+d} =\frac{a}{c}-\frac{ad-bc}{c^2x+cd} = \frac{bc-ad}{c^2(x+\frac{d}{c})}+\frac{a}{c}$.

Zatem wykres funkcji $f$ powstaje w wyniku translacji hiperboli o równaniu

$y=\frac{bc-ad}{c^2x}$

o wektor $\vec{u}=[-\frac{d}{c}, \frac{a}{c}]$

Homografia jako funkcja zmiennej zespolonej

Homografia określona w ciele liczb zespolonych C jest funkcją holomorficzną.

Użycie ciała C do wprowadzenia układu współrzędnych na płaszczyźnie (w uproszczeniu: $C \equiv R^2$) dostarcza nowych faktów geometrycznych – homografia okazuje się być wówczas odwzorowaniem konforemnym czyli równokątnym odwzorowaniem płaszczyzny na siebie (dotyczy to zresztą wszystkich funkcji holomorficznych w punktach, w których pochodna nie zeruje się).

Homografia wyróżnia się jeszcze jedną ciekawą własnością geometryczną - jest funkcją $C\cup\{\infty\}\rightarrow C\cup\{\infty\}$ zachowującą okręgi tzn. obrazem okręgu jest okrąg (za okręgi uznajemy także proste). W szczególności taką własność ma inwersja zespolona $f(z)=\frac {1}{z}$. Geometrycznie zdefiniowaną inwersję otrzymujemy składając inwersję zespoloną ze sprzężeniem, czyli stosując funkcję $f(z)=\frac {1}{\bar z}$.

Homografia określona w ciele C nazywana jest także odwzorowaniem Möbiusa.

Linki zewnętrzne

• Douglas N. Arnold, Jonathan Rogness (University of Minnesota): Moebius Transformations Revealed (ang.). [dostęp 1 maja 2009]. – animacja pokazująca przekształcenie Möbiusa generowane przez funkcję homograficzną w dziedzinie zespolonej