Funkcja homograficzna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Funkcja homograficzna (homografia) – funkcja wymierna, na ogół określana w dziedzinie zespolonej postaci

,

gdzie współczynniki spełniają warunek:

[1][2](w przeciwnym wypadku redukuje się do funkcji stałej).

Niektóre źródła podają warunek[3]

lub podają go jako warunek dodatkowy[4]. Warunek ten jednak powoduje, że zbiór funkcji homograficznych ze składaniem funkcji jako działaniem przestaje być grupą.

Funkcję homograficzną można określić dla dowolnego ciała , jako funkcję . Wtedy oraz zmienna przebiega to ciało. W szczególności funkcja homograficzna może być określona dla ciała liczb rzeczywistych lub ciała liczb wymiernych.

Dziedzina i zbiór wartości[edytuj]

Funkcja homograficzna , określona na ciele , gdzie :

  • jest określona dla , czyli poza miejscem zerowym mianownika,
  • nie przyjmuje wartości , bo wtedy byłaby spełniona równość
'

która jest sprzeczna z tym, że .

Jeśli rozszerzymy dziedzinę i przeciwdziedzinę o taki element , nazywany punktem w nieskończoności, który :

  • dla każdego spełnia warunki
  • dla każdego niezerowego spełnia warunek

otrzymamy zbiór , na który można rozszerzyć funkcję homograficzną za pomocą warunków

  • dla
  • dla

Homografia jest wtedy funkcją wzajemnie jednoznaczną.

Topologia dwóch szczególnych ciał tj. ciała liczb rzeczywistych R i ciała liczb zespolonych C powoduje, że po dołączenie tego elementu pierwszy ze zbiorów domyka się do okręgu, drugi do sfery.

Różnowartościowość homografii[edytuj]

Homografia z warunkiem jest funkcją różnowartościową niezależnie od ciała, w którym jest określona.

Istotnie, jeśli czyli

to

Po rozpisaniu obu stron, redukcji i zwinięciu wyrażenia dostajemy

a ponieważ

więc

Grupowe własności funkcji homograficznej[edytuj]

Zbiór wszystkich funkcji homograficznych określonych w danym ciele (włączając przypadek ) tworzy grupę ze względu na składanie.

Rzeczywiście, jeśli

gdzie

to

gdzie .

Czyli też jest homografią.

Homografia jest jednością (elementem neutralnym) tej grupy.

Dla homografii elementem odwrotnym jest homografia .

Oznaczmy przez macierz złożoną ze współczynników homografii

Zauważmy, że warunek dla współczynników oznacza, iż jest macierzą nieosobliwą.

Zauważmy też, że współczynniki złożenia są elementami iloczynu macierzy

Można to symbolicznie zapisać

Oznacza to, że grupę homografii nad pewnym ciałem można zanurzyć w grupie nieosobliwych macierzy nad tym samym ciałem.

Możliwość skracania/rozszerzania ułamka definiującego homografię utrudnia ustalenie izomorfizmu - jednej homografii odpowiada cała klasa macierzy "proporcjonalnych" do siebie. Dla niektórych ciał znalezienie izomorfizmu jest jednak dość proste - dla ciała R wystarczy ograniczyć się do grupy macierzy o wyznaczniku równym 1 lub -1, natomiast dla ciała C wystarczy grupa macierzy o wyznaczniku 1.

Rozkład homografii[edytuj]

Dla homografii, dla której dostajemy

Jest więc ona złożeniem kolejno następujących funkcji:

Translacja:

Inwersja:

Jednokładność:

Translacja:

Jeśli zaś c=0 to natychmiast widać, że homografia jako przekształcenie liniowe jest złożeniem dwóch funkcji:

Jednokładność:

Translacja:

W języku macierzowym oznacza to, że każda macierz może być przedstawiona jako iloczyn macierzy postaci

Weźmy dwie dowolne homografie:

gdzie c,c' ≠ 0.

Wówczas oznaczając D = ad-bc, D' = a'd'-b'c' dostaniemy:

czyli

gdzie h2, h1 są liniowymi funkcjami:

Jedną homografię można więc otrzymać z innej przemnażając (w sensie składania) lewostronnie i prawostronnie przez pewne funkcje liniowe. Przydaje się to przy budowaniu i analizowaniu wykresów.

Funkcja homograficzna jako przekształcenie rzutowe prostej[edytuj]

Dowolne niezdegenerowane przekształcenie liniowe przestrzeni 2–wymiarowej nad dowolnym ciałem ma postać:

Gdzie oraz są współrzędnymi odpowiednich wektorów w ustalonej bazie.

Istnieje odpowiedniość wzajemnie jednoznaczna między zbiorem podprzestrzeni 1-wymiarowych w 2-wymiarowej przestrzeni liniowej a zbiorem punktów na prostej rzutowej (tak buduje się jeden z modeli dla geometrii rzutowej). Stąd wystarczy potraktować współrzędne wektorów w jakiejkolwiek bazie jako zapis współrzędnych punktów rzutowych w układzie współrzędnych jednorodnych.

Ponieważ

więc przechodząc od współrzędnych jednorodnych do zwykłych (tj. rzutowych) dostaniemy:

Czyli dostaniemy funkcję homograficzną w pewnym układzie współrzędnych rzutowych. Oznacza to, że homografia jest analityczną postacią przekształcenia rzutowego prostej rzutowej na siebie. Zauważmy jeszcze, że jeśli w tym układzie współrzędnych przyjmiemy c=0, to wyróżnimy grupę przekształceń afinicznych prostej rzutowej na siebie. Nie możemy jednak wyróżnić podobieństw i izometrii nie mając określonego iloczynu skalarnego.

Homografia jako funkcja zmiennej rzeczywistej[edytuj]

Rozważając homografie jako funkcje zmiennej rzeczywistej wymagamy, aby współczynniki były liczbami rzeczywistymi.

Wykres[edytuj]

Rysunek pokazuje wykres typowej homografii. Szare linie symbolizują asymptoty wykresu.

Wykres funkcji homograficznej jest przesunięciem równoległym pewnej hiperboli; posiada on dwie asymptoty:

pionową   i   poziomą .

Punkt to środek symetrii tego wykresu. Funkcja homograficzna jest monotoniczna na każdym z przedziałów oraz . Jest ona

  • przedziałami malejąca gdy oraz
  • przedziałami rosnąca .

Przesunięcie wykresu hiperboli[edytuj]

Wykażmy, że wykres funkcji homograficznej , gdzie oraz powstaje w wyniku przesunięcia równoległego wykresu pewnej hiperboli o pewien wektor. Zauważmy w tym celu, że dla wszystkich mamy

.

Zatem wykres funkcji powstaje w wyniku translacji hiperboli o równaniu

o wektor

Homografia jako funkcja zmiennej zespolonej[edytuj]

Homografia określona w ciele liczb zespolonych C jest funkcją holomorficzną.

Użycie ciała C do wprowadzenia układu współrzędnych na płaszczyźnie (w uproszczeniu: ) dostarcza nowych faktów geometrycznych – homografia okazuje się być wówczas odwzorowaniem konforemnym czyli równokątnym odwzorowaniem płaszczyzny na siebie (dotyczy to zresztą wszystkich funkcji holomorficznych w punktach, w których pochodna nie zeruje się).

Homografia wyróżnia się jeszcze jedną ciekawą własnością geometryczną - jest funkcją zachowującą okręgi tzn. obrazem okręgu jest okrąg (za okręgi uznajemy także proste). W szczególności taką własność ma inwersja zespolona . Geometrycznie zdefiniowaną inwersję otrzymujemy składając inwersję zespoloną ze sprzężeniem, czyli stosując funkcję .

Homografia określona w ciele C nazywana jest także odwzorowaniem Möbiusa.

Przypisy

  1. Uniwersalna Encyklopedia PWN, Wydawnictwo Naukowe PWN SA, wydanie elektroniczne 2008, wersja 1
  2. Słownik encyklopedyczny – matematyka. Wrocław: Wydawnictwo Europa, 1998, s. 69. ISBN 83-85336-06-0.
  3. Witold Pogorzelski: Analiza matematyczna. T. I. Warszawa: PWN, 1953, s. 55.
  4. I.N. Bronsztejn, K.A. Siemiendiajew: Matematyka. Poradnik encyklopedyczny. Warszawa: PWN, 1976.

Linki zewnętrzne[edytuj]

  • Douglas N. Arnold, Jonathan Rogness (University of Minnesota): Moebius Transformations Revealed (ang.). [dostęp 1 maja 2009]. – animacja pokazująca przekształcenie Möbiusa generowane przez funkcję homograficzną w dziedzinie zespolonej