Pierścień topologiczny

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Pierścień topologicznypierścień R w którym określona jest topologia o tej własności, że

dodawanie jest ciągłe jako funkcja ,
mnożenie jest ciągłe jako funkcja ,
działanie jest ciągłe jako funkcja .

Z definicji pierścienia topologicznego wynika, że grupa addytywna pierścienia jest grupą topologiczną. Jeżeli pierścień topologiczny jest ciałem, to używa się w odniesieniu do niego nazwy ciało topologiczne.

Przykłady[edytuj]

Naturalnymi przykładami pierścieni topologicznych są pierścienie (ciała) liczb rzeczywistych, zespolonych czy p-adycznych (z topologiami wprowadzonymi przez ich naturalne metryki). Pierścienie topologiczne pojawiają się w naturalny sposób w analizie. Do klasycznych przykładów można zaliczyć:

  • pierścień wszystkich rzeczywistych (bądź zespolonych) funkcji ograniczonych określonych na pewnym zbiorze X (z działaniami określonymi punktowo),
  • pierścień wszystkich rzeczywistych funkcji ciągłych znikających w nieskończoności, określonych na przestrzeni lokalnie zwartej X z topologią zbieżności niemal jednostajnej,
  • pierścień wszystkich funkcji analitycznych określonych na pewnym obszarze płaszczyzny zespolonej z topologią zbieżności niemal jednostajnej.

W szczególności, każda algebra topologiczna (a więc każda algebra Banacha) jest pierścieniem topologicznym.

Własności[edytuj]

  • Produkt dowolnej rodziny pierścieni topologicznych jest pierścieniem topologicznym (z topologią Tichonowa). Ogólniej: Niech będzie rodziną pierścieni topologicznych oraz niech R będzie dowolnym pierścieniem. Jeżeli jest taką rodziną funkcji, że dla każdego funkcja jest homomorfizmem , to pierścień R wyposażony w topologię wprowadzoną przez rodzinę przekształceń jest pierścieniem topologicznym.
  • Składowa spójności C zera pierścienia topologicznego R jest domkniętym ideałem w R oraz zbiór jest składową spójności elementu x tego pierścienia. Wynika z powyższego, że topologia pierścienia topologicznego, który nie ma właściwych domkniętych ideałów jest albo Hausdorffa i spójna albo Hausdorffa i totalnie niespójna albo antydyskretna. W szczególności, własność tę mają topologie pierścieni topologicznych z dzieleniem.
  • W lokalnie zwartym i totalnie niespójnym pierścieniu topologicznym wszystkie zwarte i otwarte podpierścienie tworzą układ fundamentalny otoczeń zera.

Bibliografia[edytuj]

  1. Seth Warner: Topological Rings. North-Holland Mathematics Studies, 1993. ISBN 0444894462.