Pierścień topologiczny

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Pierścień topologicznypierścień R w którym określona jest topologia o tej własności, że

dodawanie (x, y)\mapsto x+y jest ciągłe jako funkcja R\times R\to R,
mnożenie (x, y)\mapsto x\cdot y jest ciągłe jako funkcja R\times R\to R,
działanie x\mapsto -x jest ciągłe jako funkcja R\to R.

Z definicji pierścienia topologicznego wynika, że grupa addytywna pierścienia (R,+) jest grupą topologiczną. Jeżeli pierścień topologiczny jest ciałem, to używa się w odniesieniu do niego nazwy ciało topologiczne.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Naturalnymi przykładami pierścieni topologicznych są pierścienie (ciała) liczb rzeczywistych, zespolonych czy p-adycznych (z topologiami wprowadzonymi przez ich naturalne metryki). Pierścienie topologiczne pojawiają się w naturalny sposób w analizie. Do klasycznych przykładów można zaliczyć:

  • pierścień wszystkich rzeczywistych (bądź zespolonych) funkcji ograniczonych określonych na pewnym zbiorze X (z działaniami określonymi punktowo),
  • pierścień C_0(X) wszystkich rzeczywistych funkcji ciągłych znikających w nieskończoności, określonych na przestrzeni lokalnie zwartej X z topologią zbieżności niemal jednostajnej,
  • pierścień wszystkich funkcji analitycznych określonych na pewnym obszarze płaszczyzny zespolonej z topologią zbieżności niemal jednostajnej.

W szczególności, każda algebra topologiczna (a więc każda algebra Banacha) jest pierścieniem topologicznym.

Własności[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  1. Seth Warner: Topological Rings. North-Holland Mathematics Studies, 1993. ISBN 0444894462.