Ułamek: Różnice pomiędzy wersjami
[wersja nieprzejrzana] | [wersja przejrzana] |
m Wycofano edycje użytkownika 109.231.35.247 (dyskusja). Autor przywróconej wersji to Paweł Ziemian. Znacznik: Wycofanie zmian |
|||
Linia 11: | Linia 11: | ||
Ułamek będący liczbą wymierną nazywa się '''właściwym''', gdy jego [[wartość bezwzględna]] jest mniejsza od jedności, a '''niewłaściwym''', gdy jest ona od niej większa lub równa. Ułamek o dodatnim liczniku i mianowniku jest właściwy, gdy jego licznik jest mniejszy od mianownika, niewłaściwy – gdy jest większy lub równy. Ułamek niewłaściwy można przedstawić w postaci ''liczby mieszanej'', tj. sumy liczby całkowitej i ułamka właściwego; aby tego dokonać należy wykonać dzielenie z resztą licznika przez mianownik. Zwyczajowo sumę zapisuje się już bez [[Plus i minus|znaku dodawania]], np. <math>1 + \tfrac{2}{3}</math> staje się <math>1\tfrac{2}{3}</math> |
Ułamek będący liczbą wymierną nazywa się '''właściwym''', gdy jego [[wartość bezwzględna]] jest mniejsza od jedności, a '''niewłaściwym''', gdy jest ona od niej większa lub równa. Ułamek o dodatnim liczniku i mianowniku jest właściwy, gdy jego licznik jest mniejszy od mianownika, niewłaściwy – gdy jest większy lub równy. Ułamek niewłaściwy można przedstawić w postaci ''liczby mieszanej'', tj. sumy liczby całkowitej i ułamka właściwego; aby tego dokonać należy wykonać dzielenie z resztą licznika przez mianownik. Zwyczajowo sumę zapisuje się już bez [[Plus i minus|znaku dodawania]], np. <math>1 + \tfrac{2}{3}</math> staje się <math>1\tfrac{2}{3}</math> |
||
=== |
=== Działania na ułamkach === |
||
Dla każdego <math>c \ne 0\;</math> ułamek <math>\tfrac{a}{b}</math> jest równy <math>\tfrac{ac}{bc}</math>. Operację zamiany <math>\tfrac{a}{b}</math> na <math>\tfrac{ac}{bc}</math> nazywamy '''rozszerzeniem ułamka''', odwrotną zaś nazywa się '''skróceniem ułamka'''. |
|||
[[Mnożenie]] i [[dzielenie]] wykonuje się wg wzorów: |
[[Mnożenie]] i [[dzielenie]] wykonuje się wg wzorów: |
||
: <math>\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}</math>, na przykład: <math>\frac{2}{9} \cdot \frac{4}{5}=\frac{8}{45}</math> |
: <math>\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}</math>, na przykład: <math>\frac{2}{9} \cdot \frac{4}{5}=\frac{8}{45}</math> |
Wersja z 17:45, 8 paź 2018
Ułamek – wyrażenie postaci , gdzie , nazywane licznikiem, oraz , nazywane mianownikiem, są dowolnymi wyrażeniami algebraicznymi. Linię oddzielającą licznik od mianownika nazywa się kreską ułamkową.
Wartością ułamka jest wartość jego licznika podzielona przez wartość mianownika, dlatego ułamek jest ilorazem. Z tego też powodu o mianowniku ułamka zakłada się, że jest różny od zera, bowiem iloraz jest nieokreślony.
Liczby wymierne
Jeżeli licznikiem i mianownikiem ułamka są liczby całkowite, wówczas wartością ułamka jest liczba wymierna.
Ułamek będący liczbą wymierną nazywa się właściwym, gdy jego wartość bezwzględna jest mniejsza od jedności, a niewłaściwym, gdy jest ona od niej większa lub równa. Ułamek o dodatnim liczniku i mianowniku jest właściwy, gdy jego licznik jest mniejszy od mianownika, niewłaściwy – gdy jest większy lub równy. Ułamek niewłaściwy można przedstawić w postaci liczby mieszanej, tj. sumy liczby całkowitej i ułamka właściwego; aby tego dokonać należy wykonać dzielenie z resztą licznika przez mianownik. Zwyczajowo sumę zapisuje się już bez znaku dodawania, np. staje się
Działania na ułamkach
Dla każdego ułamek jest równy . Operację zamiany na nazywamy rozszerzeniem ułamka, odwrotną zaś nazywa się skróceniem ułamka.
Mnożenie i dzielenie wykonuje się wg wzorów:
- , na przykład:
- .
Przedstawienie liczby w postaci ułamka prowadzi do wzorów:
- ,
- .
Aby dodać lub odjąć od siebie ułamki o identycznych mianownikach należy skorzystać z następujących wzorów:
- .
Jeżeli mianowniki są różne, należy uprzednio sprowadzić je do wspólnego mianownika, co polega na takim rozszerzeniu ułamków, aby ich mianowniki zrównały się. Prawdziwe są wzory:
- .
Liczba może zawsze pełnić rolę wspólnego mianownika, jednak często warto jest poszukać mniejszych wartości, najmniejszą możliwą jest najmniejsza wspólna wielokrotność liczb i .
Aby sprowadzić ułamek do postaci nieskracalnej, należy podzielić zarówno licznik, jak i mianownik ułamka przez jak najwyższą możliwą liczbę (musi być taka sama!), np.:
Wzór:
lub można skrócić na , gdzie , , , oraz .
Ułamek jest w postaci nieskracalnej, jeżeli licznik i mianownik nie mają wspólnych liczb, przez które można podzielić zarówno licznik, jak i mianownik bez reszty (nie licząc 0) lub ma postać , gdzie .
Przykład: Ułamek jest nieskracalny, ponieważ 9 jest podzielne przez 1, 3, 9, a mianownika nie można bez reszty podzielić przez ani 3, ani 9, a dzielenie przez 1 nie zmienia ułamka.
Wyrażenia wymierne
Jeżeli licznik i mianownik danego ułamka są wielomianami, to nazywa się go wyrażeniem wymiernym; reprezentuje ono wówczas w naturalny sposób funkcję wymierną. Jeżeli stopień licznika jest większy lub równy stopniowi mianownika, to można wykonać dzielenie wielomianowe i otrzymać, podobnie jak w przypadku dzielenia liczb, wynik jako sumę wielomianu oraz funkcji wymiernej.
Ciało ułamków
- Osobny artykuł:
Dla każdego pierścienia całkowitego (zatem i struktur takich jak pierścień liczb całkowitych czy pierścień wielomianów o współczynnikach całkowitych) można zdefiniować ciało nazywane ciałem ułamków.
Istotność założenia całkowitości pierścienia
Jeżeli pierścień przemienny ma dzielniki zera, to nie można skonstruować na nim ciała ułamków: jeśli dla niezerowych , to
- ,
czyli
- ,
stąd zaś dla dowolnego
- ,
więc jest tylko jedna klasa abstrakcji – klasa , a z definicji ciało ma przynajmniej dwa różne elementy.
Dla pierścieni nieprzemiennych tworzenie ułamków bardzo się komplikuje.
Typografia
Szablon:Oznaczenia matematyczne Licznik i mianownik zwykle oddziela się linią; jeżeli jest ona pochyła, to nazywa się ją ukośnikiem, np. ; jeśli linia ta jest pozioma, to nazywa się ją kreską ułamkową, np. .
W Unicode niektóre ułamki kodowane są za pomocą jednego znaku. Są to:
Nazwa | Znak | Unicode | Kod HTML |
---|---|---|---|
Jedna czwarta | ¼ | U+00BC | ¼ lub ¼
|
Jedna druga | ½ | U+00BD | ½ lub ½
|
Trzy czwarte | ¾ | U+00BE | ¾ lub ¾
|
Jedna siódma | ⅐ | U+2150 | ⅐ lub ⅐
|
Jedna dziewiąta | ⅑ | U+2151 | ⅑ lub ⅑
|
Jedna dziesiąta | ⅒ | U+2152 | ⅒ lub ⅒
|
Jedna trzecia | ⅓ | U+2153 | ⅓ lub ⅓
|
Dwie trzecie | ⅔ | U+2154 | ⅔ lub ⅔
|
Jedna piąta | ⅕ | U+2155 | ⅕ lub ⅕
|
Dwie piąte | ⅖ | U+2156 | ⅖ lub ⅖
|
Trzy piąte | ⅗ | U+2157 | ⅗ lub ⅗
|
Cztery piąte | ⅘ | U+2158 | ⅘ lub ⅘
|
Jedna szósta | ⅙ | U+2159 | ⅙ lub ⅙
|
Pięć szóstych | ⅚ | U+215A | ⅚ lub ⅚
|
Jedna ósma | ⅛ | U+215B | ⅛ lub ⅛
|
Trzy ósme | ⅜ | U+215C | ⅜ lub ⅜
|
Pięć ósmych | ⅝ | U+215D | ⅝ lub ⅝
|
Siedem ósmych | ⅞ | U+215E | ⅞ lub ⅞
|
Jedna ... | ⅟ | U+215F | ⅟ lub ⅟
|