Algebra Banacha

Algebra Banacha – w analizie funkcjonalnej, unormowana algebra nad ciałem liczb zespolonych, w której metryka dyktowana przez normę jest zupełna. Swoją nazwę zawdzięczają polskiemu matematykowi, Stefanowi Banachowi, który badał je jako pierwszy.

Algebra zespolona

Algebrą nad ciałem liczb zespolonych ($\mathbb {C}$-algebrą lub algebrą zespoloną) nazywamy przestrzeń unormowaną $A$, z określonym łącznym i obustronnie rozdzielnym względem skalarów działaniem dwuargumentowym

$A\times A\ni (x,y)\mapsto xy\in A$,

czyli takim które dla dowolnych $\alpha ,\beta \in \mathbb {C} ,\;x,y,z\in A$ spełnia warunki:

$(\alpha x+\beta y)z=\alpha xz+\beta yz$,

$x(\alpha y+\beta z)=\alpha xy+\beta xz$,

$x(yz)=(xy)z$.

Jeżeli dodatkowo działanie jest przemienne, $\forall _{x,y\in A}\;xy=yx$, to $A$ nazywamy algebrą przemienną. Algebra zespolona może nie mieć jedynki. Skrajnym przykładem jest dowolna przestrzeń liniowa $A$ z określonym działaniem mnożenia $xy=0$ dla wszelkich $x,y\in A$.

Definicja

Algebrę zespoloną $A$ nazywamy unormowaną, jeśli $(A,\|\cdot \|)$ jest przestrzenią unormowaną, której norma jest podmultyplikatywna, tj. dla dowolnych $x,y\in A$:

$\|xy\|\leqslant \|x\|\|y\|$. Jeżeli ponadto norma ta jest zupełna, tj. metryka przez nią dyktowana jest zupełna, to $A$ nazywamy algebrą Banacha.

Przykłady

• Niech $E$ będzie przestrzenią Banacha i niech $B(E)$ oznacza algebrę wszystkich ograniczonych operatorów przestrzeni $E$ ze składnianiem jako działaniem mnożenia. $E$ jest algebrą Banacha z jedynką oraz $\|\mathbf {1} \|=1$.
• Niech $X$ będzie zwartą przestrzenią Hausdorffa oraz niech ${\mathcal {C}}(X)$ oznacza przestrzeń wszystkich funkcji ciągłych $X\to \mathbb {C}$ z działaniami dodawania i mnożenia określonymi punktowo, tj. dla dowolnych funkcji $f,g\in {\mathcal {C}}$ zachodzi

  $(f+g)(x)=f(x)+g(x),\;x\in X$,

  $(fg)(x)=f(x)g(x),\;x\in X$,

z normą supremum. ${\mathcal {C}}(X)$ jest algebrą Banacha z jedynką.

• Niech ${\mathcal {L}}(\mathbb {R} )$ oznacza przestrzeń Banacha funkcji całkowalnych w sensie Lebesgue'a na prostej z działaniem mnożenia określonym przez splot, tj.

  $(f*g)(x)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)g(x-t)dt,\;f,g\in {\mathcal {L}}(\mathbb {R} )$.

Jest to przykład algebry Banacha bez jedynki, którą jednak można aproksymować w takim sensie, że istnieje ciąg funkcji ortonormalnych $\{e_{n}\colon \;n\in \mathbb {N} \}\subset {\mathcal {L}}(\mathbb {R} )$ spełniających warunek:

• $\lim _{n\to \infty }~\|e_{n}*f-f\|=\lim _{n\to \infty }~\|f*e_{n}-f\|=0$.

• Przykładem skończeniewymiarowej algebry Banacha jest przestrzeń macierzy $\mathbb {C} _{n}^{n}$ z działaniem zwykłego mnożenia macierzy i normą np. daną wzorem

  $\|(a_{ij})\|=\sum _{i,j=1}^{n}|a_{ij}|$.

• Kwaterniony tworzą 4-wymiarową algebrę Banacha z normą daną przez ich moduł.
• Każda C*-algebra jest algebrą Banacha.
• Niech $G$ będzie lokalnie zwartą, hausdorffowską grupą topologiczną oraz $\mu$ określoną na niej miarą Haara. Przestrzeń ${\mathcal {L}}(G)$ funkcji $\mu$-całkowalnych na $G$ z działaniem mnożenia, określonym jak niżej, jest algebrą Banacha.

  $(xy)(g)=\int \limits _{G}x(h)y(h^{-1}g)d\mu (h)$ dla $x,y\in {\mathcal {L}}(G)$

Źródła

1. William Arveson: A Short Course on Spectral Theory. Nowy Jork: Springer-Verlag, 2001.brak strony w książce