Analiza funkcjonalna: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja nieprzejrzana] | [wersja nieprzejrzana] |
| Linia 13: | Linia 13: | ||
* [[Twierdzenie Banacha-Steinhausa]] (znane również jako zasada jednostajnej ograniczoności) dotyczy ograniczonych zbiorów operatorów. |
* [[Twierdzenie Banacha-Steinhausa]] (znane również jako zasada jednostajnej ograniczoności) dotyczy ograniczonych zbiorów operatorów. |
||
* [[Twierdzenie spektralne]] podaje reprezentację [[operator samosprzężony|operatorów samosprzężonych]] na przestrzeni Hilberta poprzez [[całka względem miary wektorowej|całki]] względem specjalnych [[miara spektralna|miar spektralnych]]. Ma ono centralne znaczenie w matematycznym sformułowaniu mechaniki kwantowej. |
* [[Twierdzenie spektralne]] podaje reprezentację [[operator samosprzężony|operatorów samosprzężonych]] na przestrzeni Hilberta poprzez [[całka względem miary wektorowej|całki]] względem specjalnych [[miara spektralna|miar spektralnych]]. Ma ono centralne znaczenie w matematycznym sformułowaniu [[mechanika kwantowa|mechaniki kwantowej]]. |
||
*[[Twierdzenie Hahna-Banacha]] mówi o rozszerzaniu funkcjonałów z podprzestrzeni na całą przestrzeń, z zachowaniem normy. Jednym z wniosków jest nietrywialność [[przestrzeń dualna|chprzestrzeni dualnych]]. |
*[[Twierdzenie Hahna-Banacha]] mówi o rozszerzaniu funkcjonałów z [[podprzestrzeń|podprzestrzeni]] na całą przestrzeń, z zachowaniem normy. Jednym z wniosków jest nietrywialność [[przestrzeń dualna|chprzestrzeni dualnych]]. |
||
*[[Twierdzenie Banacha o odwzorowaniu otwartym]] oraz [[twierdzenie o wykresie domkniętym]]. |
*[[Twierdzenie Banacha o odwzorowaniu otwartym]] oraz [[twierdzenie o wykresie domkniętym]]. |
||
Wersja z 22:28, 6 maj 2008
Analiza funkcjonalna – dział analizy matematycznej zajmujący się badaniem własności przestrzeni funkcyjnych. Rozwinął się w trakcie studiów nad odwzorowaniami zwanymi transformatami (przede wszystkim nad transformatą Fouriera) oraz równaniami różniczkowymi i całkowymi.
Słowo funkcjonał pochodzi z rachunku wariacyjnego, gdzie oznacza funkcję, której argument jest funkcją. Upowszechnienie zawdzięcza się matematykowi i fizykowi Vito Volterrze, a stworzenie jej podstaw przypisuje się Stefanowi Banachowi, aczkolwiek część wyników uzyskał niezależnie na początku drugiej połowy XIX wieku węgierski matematyk József Szoboszló, jego prace zaginęły jednak podczas rewizji żandarmerii cesarskiej i odkryto je dopiero w latach 90. XX wieku.
Przestrzenie unormowane
Obecnie na analizę funkcjonalną patrzy się zazwyczaj jako na badanie przestrzeni liniowych unormowanych zupełnych nad ciałem liczb rzeczywistych lub zespolonych. Takie przestrzenie noszą nazwę przestrzeni Banacha. Ważnym przykładem jest przestrzeń Hilberta, w której norma pochodzi od iloczynu skalarnego. Przestrzenie Hilberta mają podstawowe znaczenie w matematycznym sformułowaniu mechaniki kwantowej. W ogólności analiza funkcjonalna zajmuje się również badaniem przestrzeni Frécheta i innych przestrzeni liniowo-topologicznych, w których nie ma normy.
Ważnym obiektem badań analizy funkcjonalnej są ciągłe przekształcenia (funkcjonały) liniowe na przestrzeniach Banacha i Hilberta. Własności przestrzeni takich funkcjonałów uogólniają się do pojęć C*-algebr i innych algebr operatorów.
Najważniejsze wyniki
Poniżej są wymienione główne i podstawowe wyniki z dziedziny analizy funkcjonalnej.
- Twierdzenie Banacha-Steinhausa (znane również jako zasada jednostajnej ograniczoności) dotyczy ograniczonych zbiorów operatorów.
- Twierdzenie spektralne podaje reprezentację operatorów samosprzężonych na przestrzeni Hilberta poprzez całki względem specjalnych miar spektralnych. Ma ono centralne znaczenie w matematycznym sformułowaniu mechaniki kwantowej.
- Twierdzenie Hahna-Banacha mówi o rozszerzaniu funkcjonałów z podprzestrzeni na całą przestrzeń, z zachowaniem normy. Jednym z wniosków jest nietrywialność chprzestrzeni dualnych.
- Twierdzenie Banacha o odwzorowaniu otwartym oraz twierdzenie o wykresie domkniętym.