Miara borelowska: Różnice pomiędzy wersjami

[wersja nieprzejrzana]

Usunięta treść Dodana treść

Jednokolumnowy

Wersja z 21:08, 14 kwi 2010

Miara borelowska – w teorii miary, dziale matematyki, miara określona na najmniejszej σ-algebrze na zbiorze liczb rzeczywistych zawierającej przedziały, która przedziałowi $[a,b]$ przypisuje miarę równą $b-a.$ Miara borelowska nie jest zupełna, dlatego też preferuje się zupełną miarę Lebesgue'a: każdy mierzalny w sensie Borela jest także mierzalny w sensie Lebesgue'a, przy czym dla ich miary są równe.

Ogólniej, jeżeli $X$ jest lokalnie zwartą przestrzenią topologiczną Hausdorffa, to miarą borelowską nazywa się każdą miarę $\mu$ na σ-algebrze ${\mathfrak {B}}(X)$ zbiorów borelowskich, nazywaną σ-algebrą borelowską na $X.$ Jeżeli $\mu$ jest zarazem wewnętrznie jak i zewnętrznie regularna na wszystkich zbiorach borelowskich, to jest ona nazywana miarą borelowską regularną. Jeśli $\mu$ jest wewnętrznie regularna i lokalnie skończona, to nazywa się ją miarą Radona.

Należy zwrócić uwagę na różnice w wynikające z przyjętych definicji zbiorów borelowskich, przykładowo Halmos (2001) określa je jako elementy σ-pierścienia ${\mathfrak {B}}^{*}(X)$ generowanego przez zwarte podzbiory $X.$ Dodatkowo zakłada on, że $\mu (K)<\infty$ dla każdego podzbioru zwartego $K$ przestrzeni $X.$ Niektórzy autorzy^{[potrzebny przypis]} przyjmują podobną definicję zastępując jednak σ-pierścień ${\mathfrak {B}}^{*}(X)$ σ-algebrą ${\mathfrak {B}}^{+}(X)$ generowaną przez podzbiory zwarte przestrzeni $X.$ Inni z kolei, np. König (1997), korzystają z σ-algebry ${\mathfrak {B}}(X)$ generowanej przez otwarte podzbiory $X.$

Jeśli jednak przestrzeń $X$ jest lokalnie zwartą przestrzenią Lindelöfa, to domknięte podzbiory $X$ są przeliczalnymi sumami zbiorów zwartych, co daje ${\mathfrak {B}}(X)={\mathfrak {B}}^{*}(X)={\mathfrak {B}}^{+}(X)$ w większości niepatologicznych przypadków: gdy $X$ jest lokalnie zwarta i σ-zwarta (można ją przedstawić jako przeliczalną sumę zbiorów zwartych); w szczególności wspomniane trzy rodziny zbiorów są równe dla przestrzeni euklidesowych.

Źródła

J.D. Pryce: Basic methods of linear functional analysis. Hutchinson, 1973, seria: Hutchinson University Library. ISBN 0-09-113411-0.
Alan J. Weir: General integration and measure. Cambridge University Press, 1974, s. 158–184. ISBN 0-521-29715-X.
Paul R. Halmos: Measure Theory. Berlin Heidelberg: Springer-Verlag, 2001, s. 219, seria: Graduate Texts in Mathematics Vol. 18. ISBN 3-540-90088-8.
Heinz König: Measure and integration. An advanced course in basic procedures and applications. Berlin: Springer-Verlag, 1997. ISBN 3-540-61858-9.

@@ Linia 1: / Linia 1: @@
+'''Miara borelowska''' – w [[teoria miary|teorii miary]], dziale [[matematyka|matematyki]], [[miara (matematyka)|miara]] określona na najmniejszej [[przestrzeń mierzalna|σ-algebrze]] na zbiorze [[liczby rzeczywiste|liczb rzeczywistych]] zawierającej [[przedział (matematyka)|przedziały]], która przedziałowi <math>[a, b]</math> przypisuje miarę równą <math>b - a.</math> Miara borelowska nie jest [[miara zupełna|zupełna]], dlatego też preferuje się zupełną [[miara Lebesgue'a|miarę Lebesgue'a]]: każdy [[zbiór mierzalny|mierzalny]] [[zbiór borelowski|w sensie Borela]] jest także mierzalny w sensie Lebesgue'a, przy czym dla ich miary są równe.
-'''Miara borelowska''' - przeliczalnie addytywna [[miara (matematyka)|miara]] określona na borelowskich podzbiorach danej [[przestrzeń topologiczna|przestrzeni topologicznej]].
+Ogólniej, jeżeli <math>X</math> jest [[przestrzeń lokalnie zwarta|lokalnie zwartą]] [[przestrzeń topologiczna|przestrzenią topologiczną]] [[przestrzeń Hausdorffa|Hausdorffa]], to miarą borelowską nazywa się każdą miarę <math>\mu</math> na [[przestrzeń mierzalna|σ-algebrze]] <math>\mathfrak B(X) </math> [[zbiór borelowski|zbiorów borelowskich]], nazywaną σ-algebrą borelowską na <math>X.</math> Jeżeli <math>\mu</math> jest zarazem [[miara wewnętrznie regularna|wewnętrznie]] jak i [[miara zewnętrznie regularna|zewnętrznie regularna]] na wszystkich zbiorach borelowskich, to jest ona nazywana '''miarą borelowską regularną'''. Jeśli <math>\mu</math> jest wewnętrznie regularna i lokalnie skończona, to nazywa się ją [[miara Radona|miarą Radona]].
-== Definicje ==
-W literaturze istnieją pewne niekonsekwencje w definiowaniu miar borelowskich spowodowane głównie różnymi interpretacjami borelowskich podzbiorów danej przestrzeni topologicznej.
-* [[Paul Halmos]] w swoim klasycznym podręczniku teorii miary<ref>Halmos, Paul R.: ''Measure Theory'', Graduate Texts in Mathematics Vol. 18, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2001, s 219. ISBN 3-540-90088-8</ref> rozważa tylko [[Przestrzeń lokalnie zwarta|lokalnie zwarte]] przestrzenie [[przestrzeń Hausdorffa|Hausdorffa]] i wprowadza następujące definicje.
-:: '''Borelowskie podzbiory''' przestrzeni ''X'' to elementy σ-pierścienia zbiorów <math>{\mathcal B}^*(X)</math> generowanego przez [[zbiór zwarty|zwarte]] podzbiory ''X''.
-:: '''Miara borelowska''' na przestrzeni ''X'' to funkcja <math>\mu:{\mathcal B}^*(X)\longrightarrow [0,\infty]</math> taka, że
-::: (i) <math>\mu\left(\bigcup\limits_{n=1}^\infty E_n\right)=\sum\limits_{n=1}^\infty\mu(E_n)</math> ilekroć <math>\{E_1,E_2,E_3,\ldots\}</math> jest [[rodzina zbiorów|rodziną]] parami [[zbiory rozłączne|rozłącznych]] zbiorów z <math>{\mathcal B}^*(X)</math>, oraz
-::: (ii) <math>\mu(C)<\infty</math> dla każdego zwartego zbioru <math>C\subseteq X</math>.
+Należy zwrócić uwagę na różnice w wynikające z przyjętych definicji [[zbiór borelowski|zbiorów borelowskich]], przykładowo Halmos (2001) określa je jako elementy [[σ-pierścień|σ-pierścienia]] <math>\mathfrak B^*(X)</math> generowanego przez [[zbiór zwarty|zwarte]] podzbiory <math>X.</math> Dodatkowo zakłada on, że <math>\mu(K) < \infty</math> dla każdego podzbioru zwartego <math>K</math> przestrzeni <math>X.</math> Niektórzy autorzy{{fakt}} przyjmują podobną definicję zastępując jednak σ-pierścień <math>\mathfrak B^*(X)</math> [[przestrzeń mierzalna|σ-algebrą]] <math>\mathfrak B^+(X)</math> generowaną przez podzbiory zwarte przestrzeni <math>X.</math> Inni z kolei, np. König (1997), korzystają z σ-algebry <math>\mathfrak B(X)</math> generowanej przez [[zbiór otwarty|otwarte]] podzbiory <math>X.</math><!-- pytanie: jak definiują zbiory borelowskie Pryce (1973) i Weir (1974) -->
-* Wielu innych autorów przyjmuje bardzo podobną definicję, zastępując jednak σ-pierścień zbiorów <math>{\mathcal B}^*(X)</math> przez [[przestrzeń mierzalna|σ-algebrę]] zbiorów <math>{\mathcal B}^+(X)</math> generowaną przez zwarte podzbiory przestrzeni ''X''.
+Jeśli jednak przestrzeń <math>X</math> jest [[przestrzeń lokalnie zwarta|lokalnie zwartą]] [[przestrzeń Lindelöfa|przestrzenią Lindelöfa]], to [[zbiór domknięty|domknięte]] podzbiory <math>X</math> są [[zbiór przeliczalny|przeliczalnymi]] [[suma zbiorów|sumami]] [[zbiór zwarty|zbiorów zwartych]], co daje <math>\mathfrak B(X) = \mathfrak B^*(X) = \mathfrak B^+(X)</math> w większości ''niepatologicznych'' przypadków: gdy <math>X</math> jest lokalnie zwarta i [[przestrzeń σ-zwarta|σ-zwarta]] (można ją przedstawić jako przeliczalną sumę zbiorów zwartych); w szczególności wspomniane trzy rodziny zbiorów są równe dla [[przestrzeń euklidesowa|przestrzeni euklidesowych]].
-* Jeszcze inni autorzy, np Heinz<ref>König, Heinz: ''Measure and integration. An advanced course in basic procedures and applications''. Springer-Verlag, Berlin, 1997. ISBN 3-540-61858-9</ref>, zastępują użycie <math>{\mathcal B}^*(X)</math> przez σ-algebrę <math>{\mathcal B}(X)</math> generowaną przez [[zbiór otwarty|otwarte]] podzbiory ''X''.
+== Źródła ==
-Należy jednak zauważyć, że jeśli przestrzeń ''X'' jest lokalnie zwartą [[Przestrzeń Lindelöfa|przestrzenią Lindelöfa]], to [[zbiór domknięty|domknięte]] podzbiory ''X'' są [[zbiór przeliczalny|przeliczalnymi]] [[suma zbiorów|sumami]] zbiorów zwartych, więc <math>{\mathcal B}(X)={\mathcal B}^*(X)={\mathcal B}^+(X)</math>. Zatem jeśli ''X'' jest lokalnie zwarta i [[przestrzeń sigma-zwarta|σ-zwarta]] (czyli może być przedstawiona jako suma przeliczalnie wielu zbiorów zwartych), to <math>{\mathcal B}(X)={\mathcal B}^*(X)={\mathcal B}^+(X)</math>, więc w szczególności dla [[przestrzeń euklidesowa|przestrzeni euklidesowych]] te trzy rodziny zbiorów są równe.
+* {{cytuj książkę|autor=J.D. Pryce|tytuł=Basic methods of linear functional analysis|seria=Hutchinson University Library|wydawca=[[Hutchinson (wydawca)|Hutchinson]]|rok=1973|isbn=0-09-113411-0|strona=217}}
+* {{cytuj książkę|autor=Alan J. Weir|tytuł=General integration and measure|wydawca=[[Cambridge University Press]]|rok=1974|isbn=0-521-29715-X|strony=158–184}}
-== Bibliografia ==
+* {{cytuj książkę|autor=Paul R. Halmos|autor link=Paul Halmos|tytuł=Measure Theory|seria=Graduate Texts in Mathematics Vol. 18|wydawca=Springer-Verlag|miejsce=Berlin Heidelberg|rok=2001|isbn=3-540-90088-8|strony=219}}
-<references/>
+* {{cytuj książkę|autor=Heinz König|tytuł=Measure and integration. An advanced course in basic procedures and applications|wydawca=Springer-Verlag|miejsce=Berlin|rok=1997|isbn=3-540-61858-9}}
-== Zobacz też ==
-* [[Wikipedia:Skarbnica Wikipedii/Przegląd zagadnień z zakresu matematyki|przegląd zagadnień z zakresu matematyki]],
-* [[zbiór borelowski]],
-* [[miara Haara]],
-* [[miara Radona]],
-* [[miara Lebesgue'a]],
-* [[miara zupełna]],
-* [[teoria miary]].
 [[Kategoria:Miary (teoria miary)|Borelowska]]