Podgrupa charakterystyczna

Podgrupa charakterystyczna – podgrupa niezmiennicza ze względu na działanie automorfizmów.

Definicja formalna

Niech $G$ będzie grupą. Podgrupę $H\leqslant G$ nazywa się charakterystyczną, jeżeli dla każdego automorfizmu (bijektywnego homomorfizmu) $\varphi$ grupy $G$ i dla każdego elementu $h\in H$ zachodzi $\varphi (h)\in H$ lub równoważnie $\varphi (H)\subseteq H.$

Ta właściwość podgrupy $H$ grupy $G$ oznaczana jest symbolem $H\blacktriangleleft G$ lub $H\;\operatorname {char} \;G.$

Uwagi

• Podgrupy charakterystyczne są w szczególności niezmiennicze ze względu na automorfizmy wewnętrzne, zatem są one podgrupami normalnymi. Sformułowanie odwrotne nie jest prawdziwe, w czwórkowej grupie Kleina $V_{4}$ każda podgrupa jest normalna, ale wszystkie sześć permutacji trzech nieneutralnych elementów jest automorfizmami, stąd trzy podgrupy rzędu 2 nie są charakterystyczne.
• Jednakże jeśli $H\vartriangleleft G$ i grupa $G$ nie zawiera innych podgrup o tym samym rzędzie, to $H$ musi być charakterystyczna, ponieważ automorfizmy zachowują rząd.

Podgrupa ściśle charakterystyczna

Podgrupa $H$ nazwana zostanie ściśle charakterystyczną w $G,$ jeśli jest niezmiennicza ze względu na suriektywne endomorfizmy. Ponieważ w grupach skończonych suriektywność implikuje iniektywność, to pojęcie jest wówczas równoważne pojęciu podgrupy charakterystycznej, jednak w grupach nieskończonych suriektywny endomorfizm nie musi być automorfizmem.

Podgrupa całkowicie charakterystyczna

Jeżeli $H\leqslant G$ jest podgrupą niezmienniczą ze względu na dowolny endomorfizm grupy $G,$ to nazywa się ją podgrupą całkowicie charakterystyczną (CC-podgupą, również całkowicie niezmienniczą albo w pełni charakterystyczną bądź w pełni niezmienniczą). Innymi słowy, jeżeli $\varphi \colon G\to G$ jest dowolnym homomorfizmem, to $\varphi (H)\leqslant H.$

W każdej grupie zawierają się dwie całkowicie charakterystyczne grupy niewłaściwe: cała grupa oraz podgrupa trywialna. Każda całkowicie charakterystyczna grupa jest grupą ściśle charakterystyczną, a więc podgrupą charakterystyczną. Komutant grupy zawsze jest grupą całkowicie charakterystyczną. Ogólniej, każda podgrupa werbalna jest zawsze całkowicie charakterystyczna. Dla dowolnej zredukowanej grupy wolnej, a w szczególności dla każdej grupy wolnej, zachodzi też twierdzenie odwrotne – każda podgrupa całkowicie charakterystyczna jest werbalna.

Grupa elementarna

Grupę, której jedynymi podgrupami normalnymi są podgrupa trywialna i cała grupa nazywa się grupą prostą. Analogicznie grupę, której jedynymi podgrupami charakterystycznymi są podgrupa trywialna i cała grupa nazywa się grupą elementarną bądź grupą charakterystycznie prostą.

Własności

• Każda podgrupa charakterystyczna jest normalna.
• Każda podgrupa całkowicie charakterystyczna jest ściśle charakterystyczna, więc i charakterystyczna. Łatwo sprawdzić, że centrum jest zawsze podgrupą ściśle charakterystyczną, jednak nie zawsze całkowicie charakterystyczną.
• Jeśli $G$ jest grupą skończoną, $H$ jest jej podgrupą normalną oraz $\operatorname {NWD} (|H|,|G/H|)=1,$ to $H\blacktriangleleft G.$

Przechodniość

Własności charakterystyczności lub całkowitej charakterystyczności podgrupy są przechodnie. Otóż jeśli $H$ jest (całkowicie) charakterystyczną podgrupą $G,$ a $G$ (całkowicie) charakterystyczną podgrupą $E,$ to $H$ jest (całkowicie) charakterystyczną podgrupą $E.$

Co więcej, choć nie jest prawdą, że każda podgrupa normalna podgrupy normalnej danej grupy jest normalna w tej grupie, to jest prawdą, iż każda charakterystyczna podgrupa podgrupy normalnej jest w niej normalna, czyli:

$H\blacktriangleleft G\vartriangleleft E\implies H\vartriangleleft E,$ w szczególności zaś $H\vartriangleleft G.$

Podobnie nie jest prawdą, iż każda ściśle charakterystyczna podgrupa podgrupy ściśle charakterystycznej danej grupy jest w niej ściśle charakterystyczna, to jest prawdą, że każda całkowicie charakterystyczna podgrupa ściśle charakterystycznej jest ściśle charakterystyczna w całej grupie.

Relacja między tymi własnościami może być zobrazowana za pomocą następującego diagramu:

podgrupa ← podgrupa normalna ← podgrupa charakterystyczna ← podgrupa ściśle charakterystyczna ← podgrupa całkowicie charakterystyczna.

Przykłady

• Każda podgrupa grupy cyklicznej jest charakterystyczna.
• Jeżeli $G$ jest grupą, wówczas grupy generowane odpowiednio przez zbiory: $G_{k}=\{a\in G\colon a^{k}=1\}$ oraz $G^{k}=\{a^{k}\in G\colon a\in G\},\;k\in \mathbb {N}$ są podgrupami charakterystycznymi grupy $G.$
• Niech dana będzie grupa $G=S_{3}\times \mathbb {Z} _{2}$ (rzędu 12 będącą produktem prostym grupy symetrycznej rzędu 6 i grupy cyklicznej rzędu 2). Centrum $G$ jest jej drugi czynnik, $\mathbb {Z} _{2}.$ Pierwszy czynnik $S_{3}$ zawiera podgrupę izomorficzną z $\mathbb {Z} _{2},$ np. $\{\operatorname {id} ,(12)\}.$ Niech $\varphi \colon \mathbb {Z} _{2}\to S_{3}$ będzie homomorfizmem we wskazaną podgrupę. Wówczas złożenie rzutu $G$ na jej drugi współczynnik $\mathbb {Z} _{2}$ z $\varphi$ oraz włożeniem $S_{3}$ w $G$ (jako pierwszy współczynnik) daje endomorfizm $G$ w którym obraz centrum $\mathbb {Z} _{2}$ nie zawiera się w centrum, a zatem centrum nie jest całkowicie charakterystyczną podgrupą grupy $G.$
• Komutant dowolnej grupy $G$ jest jej podgrupą całkowicie charakterystyczną, gdyż jest on podgrupą werbalną (generowaną przez wszystkie wyrażenia określonej postaci – komutatory). Dla każdego automorfizmu $\sigma \in \operatorname {Aut} (G)$ i dla każdego $x,y\in G$ zachodzi $\sigma ([x,y])=[\sigma (x),\sigma (y)].$
• Część torsyjna (największa podgrupa torsyjna) grupy abelowej jest podgrupą całkowicie charakterystyczną.
• Przykładami grup elementarnych są grupy addytywne przestrzeni wektorowych nad ciałami skończonymi.

Przekształcenia grupy auto- i endomorfizmów

Jeżeli $H\blacktriangleleft G,$ to każdy automorfizm $G$ indukuje automorfizm na grupie ilorazowej $G/H,$ istnieje stąd przekształcenie $\operatorname {Aut} \,G\to \operatorname {Aut} \,G/H.$

Jeżeli $H$ jest podgrupą całkowicie charakterystyczną w $G,$ to analogicznie: każdy endomorfizm $G$ indukuje endomorfizm $G/H,$ który daje przekształcenie $\operatorname {End} \,G\to \operatorname {End} \,G/H.$

Zobacz też

• automorfizm
• grupa
• grupa charakterystycznie prosta
• podgrupa normalna

Bibliografia

• A. Bojanowska, P. Traczyk: Algebra I. skrypt WMIM, 2005.brak strony w książce
• Cz. Bagiński: Wstęp do teorii grup. SCRIPT, 2005. ISBN 83-904564-9-4.brak strony w książce
• M.I. Kargapołow, J.I. Mierzliakow: Podstawy teorii grup. PWN, 1976.brak strony w książce
• W.R. Scott: Group Theory. Dover, 1987, s. 45–46. ISBN 0-486-65377-3.
• W. Magnus, A. Karrass, D. Solitar: Combinatorial Group Theory. Dover, 2004, s. 74–85. ISBN 0-486-43830-9.