Twierdzenie Schaudera o operatorze sprzężonym

Twierdzenie Schaudera – twierdzenie analizy funkcjonalnej udowodnione w 1930 przez Juliusza Schaudera i mówiące, że operator liniowy między przestrzeniami Banacha jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jego operator sprzężony również jest zwarty. W 1951 Shizuo Kakutani udowodnił twierdzenie Schaudera w oparciu o twierdzenie Arzeli-Ascolego.

Odpowiednikiem twierdzenia Schaudera dla operatorów słabo zwartych jest twierdzenie Gantmachier.

Wersja dowodu Kakutaniego w oparciu o twierdzenie Arzeli-Ascolego

Niech $E$ i $F$ będą przestrzeniami Banacha oraz niech $T\colon E\to F$ będzie operatorem liniowym. Twierdzenie Schaudera mówi, że $T\colon E\to F$ jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy operator $T^{*}\colon F^{*}\to E^{*}$ jest zwarty.

• Przypadek, gdy $T$ jest operatorem zwartym, tj. z każdego ciągu $(x_{n})$ elementów kuli jednostkowej $B$ przestrzeni $E$ można z ciągu wartości $(Tx_{n})$ wybrać podciąg zbieżny w $F.$ By wykazać zwartość operatora sprzężonego $T^{*}$ należy ustalić ciąg elementów $(f_{n})$ kuli jednostkowej przestrzeni sprzężonej $F^{*}$ i wykazać, że ciąg $(T^{*}f_{n})$ ma podciąg zbieżny. Ze zwartości operatora $T$ wynika zwartość domknięcia obrazu $T(B).$ Niech zatem $K$ oznacza domknięcie zbioru $T(B).$ Dla wszystkich liczb naturalnych $n$ restrykcja $f_{n}^{*}$ do $K$ jest ciągła. Z liniowości i wspólnej ograniczności przez 1 funkcjonałów $f_{n}$ wynika równociągłość ich restrykcji do $K.$ Rzeczywiście,

$\|f_{n}(x)-f_{n}(y)\|=\|f_{n}(x-y)\|\leqslant \|x-y\|\quad (x,y\in K,n\in \mathbb {N} ).$

Z twierdzenia Arzeli-Ascolego wynika istnienie podciągu $(f_{n_{k}})$ ciągu $(f_{n}),$ który jest zbieżny jednostajnie na $K.$ Ostatecznie,

$\|T^{\ast }f_{n_{i}}-T^{\ast }f_{n_{j}}\|=\sup _{x\in B}\|f_{n_{i}}(Tx)-f_{n_{j}}(Tx)\|=\sup _{z\in K}|f_{n_{i}}(z)-f_{n_{j}}(z)|\quad (i,j\in \mathbb {N} ).$

Ze zbieżności ciągu $(f_{n_{k}}|_{K})$ wynika, że ciąg $(T^{*}f_{n_{k}})$ jest ciągiem Cauchy’ego w $E^{*},$ a więc z zupełności przestrzeni sprzężonych, jest on zbieżny.

• Przypadek, gdy $T^{*}$ jest operatorem zwartym. Z udowodnionej wyżej implikacji wynika, że operator $T^{**}\colon E^{**}\to F^{**}$ jest zwarty. Wówczas

$T=\kappa _{F}^{-1}T^{**}|_{\kappa _{E}(E)},$

gdzie $\kappa _{X}\colon X\to X^{**}$ oznacza kanoniczne włożenie przestrzeni Banacha $X$ w swoją drugą przestrzeń sprzężoną. Ostatecznie operator $T$ jest zwarty jako złożenie z restrykcją operatora zwartego (która sama wówczas jest zwarta).

Dowód w oparciu o twierdzenie Banacha-Alaoglu

Niech $E$ i $F$ będą przestrzeniami Banacha oraz niech $T\colon E\to F$ będzie operatorem zwartym. By wykazać zwartość operatora sprzężonego $T^{*},$ bez straty ogólności można przyjąć, że przestrzeń $F$ jest ośrodkowa, ponieważ obraz operatora zwartego jest ośrodkowy. Z twierdzenia Banacha-Alaoglu wynika, że kule domknięte w przestrzeni $F^{*}$ są zwarte w topologii *-słabej. Z ośrodkowości przestrzeni $F$ wynika metryzowalność topologii *-słabej na kulach domkniętych w $F^{*}.$ Niech $(f_{n})$ będzie ciągiem z kuli jednostkowej w $F^{*},$ która jest zwarta i metryzowalna w *-słabej topologii. Ponieważ metryzowalne przestrzenie zwarte są ciągowo zwarte $(f_{n})$ ma podciąg $(f_{n_{k}})$ *-słabo zbieżny do pewnego elementu $f\in F^{*}$ (który również należy do kuli jednostkowej $F^{*}$). By udowodnić zwartość operatora $T^{*}$ wystarczy wykazać, że ciąg $(T^{*}f_{n_{k}})$ jest zbieżny (w normie).

Niech $B$ będzie kulą jednostkową w $E$ oraz niech $\varepsilon >0.$ Z całkowitej ograniczoności obrazu $T(B)$ wynika istnienie takich elementów $y_{1},\dots ,y_{m}\in F,$ że

$T(B)\subseteq \bigcup _{j=1}^{m}\{y\in F\colon \|y-y_{j}\|<{\frac {\varepsilon }{3}}\}.$

Z *-słabej zbieżności ciągu $(f_{n_{k}})$ do $f$ wynika istnienie takiego $N\geqslant 1,$ że dla $n_{k}\geqslant N$ zachodzą nierówności

$|f(y)-f_{n_{k}}(y_{j})|<{\frac {\varepsilon }{3}}\quad (1\leqslant j\leqslant m).$

Niech $x\in B.$ Istnieje wówczas takie $1\leqslant j\leqslant m,$ że

$\|Tx-y_{j}\|<{\frac {\varepsilon }{3}},$

stąd

${\begin{array}{lcl}|T^{*}f(x)-T^{*}f_{n_{k}}(x)|&=&|f(Tx)-f_{n_{k}}(Tx)|\\&\leqslant &|(f-f_{n_{k}})(Tx-y_{j})|+|(f-f_{n_{k}})(y_{j})|\\&\leqslant &2\|Tx-y_{j}\|+{\frac {\varepsilon }{3}}\leqslant \varepsilon .\end{array}}$

Ostatecznie

$\|T^{*}f-T^{*}f_{n_{k}}\|=\sup _{x\in B}|T^{*}f(x)-T^{*}f_{n_{k}}(x)|\leqslant \varepsilon$

dla $n_{k}\geqslant N.$ Oznacza to, że ciąg $(T^{*}f_{n_{k}})$ jest zbieżny do $T^{*}f$.

Przypadek gdy $T^{*}$ jest operatorem zwartym nie ma odrębnego dowodu i dowodzony jest jak w poprzednim ustępie.

Dowód w szczególnym przypadku przestrzeni Hilberta

Twierdzenie Schaudera zachodzi także dla operatorów na przestrzeniach Hilberta w sensie sprzężenia operatorów na przestrzeni Hilberta. Jako takie jest ono wnioskiem z udowodnionej wyżej wersji twierdzenia Schaudera. Rzeczywiście, jeżeli $T^{\star }$ oznacza sprzężenie operatora na przestrzeni Hilberta $H,$ to

$T^{\star }=U^{-1}T^{*}U$,

gdzie $U\colon H\to H^{*}$ jest antyliniowym izomorfizmem przestrzeni Hilberta $H$ i $H^{*}$ (zob. twierdzenie Riesza). Korzystając z refleksywności przestrzeni Hilberta, można podać jednak krótszy dowód.

• Niech $T\colon H\to H$ będzie operatorem zwartym oraz niech $(x_{n})$ będzie ciągiem w kuli jednostkowej $B$ przestrzeni $H.$ Wówczas, z refleksywności przestrzeni $H,$ ciąg ten ma podciąg $(x_{n_{k}})$ słabo zbieżny do pewnego $x\in H.$ Wystarczy wykazać, że ciąg $(T^{\star }x_{n})$ ma zbieżny podciąg.

Zachodzą następujące oszacowania:

${\begin{aligned}\|T^{\star }(x_{n_{k}}-x)\|^{2}&=\langle T^{\star }(x_{n_{k}}-x),T^{\star }(x_{n_{k}}-x)\rangle \\&=\langle x_{n_{k}}-x,TT^{\star }(x_{n_{k}}-x)\rangle \\&\leqslant \|x_{n_{k}}-x\|\cdot \|TT^{\star }(x_{n_{k}}-x)\|\\&\leqslant 2\cdot \|TT^{\star }(x_{n_{k}}-x)\|.\end{aligned}}$

Ponieważ ciągłe operatory liniowe zachowują słabą zbieżność ciągów, ciąg $(TT^{\star }(x_{n_{k}}-x))$ jest słabo zbieżny do 0. Ze zwartości operatora $T$ wynika, że ciąg ten ma podciąg zbieżny do 0 w $H.$ Z powyższej nierówności wynika, że i sam ciąg $(T^{\star }(x_{n_{k}}-x))$ ma podciąg zbieżny do 0 w normie, a więc z liniowości, ostatecznie sam ciąg $(T^{\star }x_{n})$ ma podciąg zbieżny.

Zobacz też

• alternatywa Fredholma
• twierdzenie Pitta

Bibliografia

• John B. Conway: A Course in Functional Analysis. Wyd. Second Edition. New York: Springer-Verlag, 2010, seria: Graduate Texts in Mathematics 96. ISBN 1-4419-3092-2.
• Erwin Kreyszig: Introductory functional analysis with applications. New York: John Wiley & Sons Inc., 1989.
• Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. New York: Springer-Verlag, 1998, seria: Graduate Texts in Mathematics 183.
• Terry J. Morrison: Functional Analysis: An Introduction to Banach Space Theory. New York: John Wiley & Sons, Inc., 2001. ISBN 978-0-471-37214-1.