Twierdzenie o bezwładności form kwadratowych

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Twierdzenie o bezwładności form kwadratowych (zwane czasem twierdzeniem Sylvestera-Jacobiego) opisuje niezmienniczość liczby współczynników dodatnich i ujemnych formy kwadratowej ze względu na sprowadzanie jej do różnych postaci kanonicznych.

Twierdzenie[edytuj | edytuj kod]

Jeśli sprowadza się rzeczywistą formę kwadratową do dwóch różnych postaci kanonicznych za pomocą nieosobliwych przekształceń rzeczywistych, to obie formy kanoniczne mają te same liczby współczynników dodatnich i współczynników ujemnych.

Przestrzenie ortogonalne[edytuj | edytuj kod]

Twierdzenie o bezwładności form kwadratowych można wypowiedzieć w języku przestrzeni ortogonalnych.

Załóżmy, że (V, ξ) jest przestrzenią ortogonalną nad ciałem liczb rzeczywistych oraz

(\alpha_1, \ldots, \alpha_n), (\beta_1, \ldots, \beta_n)

są dwiema bazami prostopadłymi przestrzeni (V, ξ). Wówczas,

\begin{array}{lcl}r_+(\alpha_1, \ldots, \alpha_n)&=&r_+(\beta_1, \ldots, \beta_n)\\
r_-(\alpha_1, \ldots, \alpha_n)&=&r_-(\beta_1, \ldots, \beta_n)\\
r_0(\alpha_1, \ldots, \alpha_n)&=&r_0(\beta_1, \ldots, \beta_n),\end{array}

gdzie:

\begin{array}{lcl}r_+(\alpha_1, \ldots, \alpha_n)&=&\operatorname{card}\{1\leqslant i\leqslant n\colon q_{\xi}(\alpha_i)>0\}\\
r_-(\alpha_1, \ldots, \alpha_n)&=&\operatorname{card}\{1\leqslant i\leqslant n\colon q_{\xi}(\alpha_i)<0\}\\
r_0(\alpha_1, \ldots, \alpha_n)&=&\operatorname{card}\{1\leqslant i\leqslant n\colon q_{\xi}(\alpha_i)=0\}\end{array}
q_{\xi} - forma kwadratowa funkcjonału dwuliniowego \xi.

Sygnatura funkcjonału[edytuj | edytuj kod]

Liczbę

s(\xi):=r_+(\alpha_1, \ldots, \alpha_n)-r_-(\alpha_1, \ldots, \alpha_n)

nazywa się sygnaturą funkcjonału ξ (bądź przestrzeni V - oznacza się zwykle ją wówczas symbolem s(V)).

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]