Moduł dualny

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Moduł dualny – w algebrze moduł form liniowych określonych na danym module. W przypadku przestrzeni liniowych skończonego wymiaru (zob. osobną sekcję), czy nawet skończenie generowanych modułów wolnych[1], elementy modułu dualnego do niego można uważać za „potencjalne funkcje współrzędnych” na tym module (wraz z funkcją zerową w celu uzyskania struktury modułu, por. przestrzeń funkcyjna); w ogólności spojrzenie to jest zbyt daleko idącym uproszczeniem.

Struktury te pojawiają się w różnych działach matematyki: w algebrze liniowej jako funkcje współrzędnych przestrzeni współrzędnych (tzw. rzuty na współrzędne), w analizie podczas całkowania na przestrzeni funkcji ciągłych, w geometrii przy definicji przestrzeni stycznej (pochodne kierunkowe), w teorii liczb jako różne ideały ciała liczbowego.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech \scriptstyle M, N będą (lewostronnymi) modułami nad pierścieniem przemiennym \scriptstyle R. Zbiór \scriptstyle \mathrm{Hom}_R(M, N) wszystkich homomorfizmów liniowych (tj. przekształceń liniowych) \scriptstyle M \to N sam ma strukturę modułu nazywanego modułem dualnym do \scriptstyle M względem \scriptstyle N[2]. Jeśli \scriptstyle N = R, to \scriptstyle \mathrm{Hom}_R(M, R) nazywa się po prostu modułem dualnym do \scriptstyle M, bądź przestrzenią dualną lub sprzężoną (w przypadku przestrzeni liniowej \scriptstyle M, czyli modułu nad ciałem \scriptstyle R; zob. Przestrzenie liniowe i przestrzeń funkcyjna), i oznacza symbolem \scriptstyle M^\star[3].

Przypadek modułów dualnych względem siebie omówiono w artykule o parze dualnej koncentrując się w tym na modułach form liniowych nad pierścieniem \scriptstyle R (przemiennym z jedynką), o ile nie zaznaczono inaczej. Dalej \scriptstyle \mathrm{Hom}_R(X, Y) będzie zapisywane po prostu \scriptstyle \mathrm{Hom}(X, Y).

Sumy i produkty proste[edytuj | edytuj kod]

Konstrukcja modułu dualnego jest przemienna (z dokładnością do izomorfizmu) z konstrukcją sumy prostej modułów: \scriptstyle (M \oplus N)^\star \simeq M^\star \oplus N^\star[4]. Ponieważ suma prosta modułów jest łączna (z dokładnością do izomorfizmu), to powyższa uwaga rozciąga się poprzez indukcję na sumy proste dowolnej skończonej liczbie składników: moduł dualny do sumy prostej modułów jest izomorficzny z sumą prostą modułów dualnych. Nie jest to jednak prawdą dla modułu dualnego do sumy prostej nieskończenie wielu modułów, który jest izomorficzny z produktem prostym modułów dualnych: jeśli \scriptstyle (M_i) jest rodziną modułów, to istnieje izomorfizm \scriptstyle \left(\bigoplus M_i\right)^\star \simeq \prod M_i^\star[5][6]. Wynika stąd, że dualizacja przekształca sumy proste w produkty proste; z drugiej strony istnieje zanurzenie sumy prostej modułów dualnych w module dualnym do produktu prostego modułów, lecz w ogólności brak izomorfizmu między tymi strukturami; nie mniej istnieje przekształcenie \scriptstyle \left(\bigoplus M_i\right)^\star \to \prod M_i^\star będące iniekcją[7], które zwykle nie jest bijekcją (zob. ostatni przykład).

Dowolny skończenie generowany moduł wolny \scriptstyle M nad \scriptstyle R rangi \scriptstyle n > 0 ma postać \scriptstyle M \simeq R^n. Moduł \scriptstyle M^\star dualny do niego również jest tej postaci[8][9]; jeśli \scriptstyle M jest modułem wolnym nieskończonej rangi (tj. nieskończenie generowanym), to \scriptstyle M^\star nie musi być wolny[10].

Bazy dualne[edytuj | edytuj kod]

Niech \scriptstyle M \simeq R^n, wtedy też \scriptstyle M^\star \simeq R^n (zob. poprzednią sekcję). Wybranie bazy \scriptstyle (\mathsf e_i) w \scriptstyle M sprawia, że każda forma liniowa \scriptstyle \varphi \in M^\star jest całkowicie wyznaczona za pomocą wartości przyjmowanych na każdym elemencie bazy \scriptstyle M odwzorowując \scriptstyle \varphi \in M^\star w element (\scriptstyle \varphi(\mathsf e_1), \dots, \varphi(\mathsf e_n)\displaystyle)\scriptstyle \in R^n – jest to zanurzenie \scriptstyle M^\star \to R^n, które jest również suriekcją (w ten sposób powstaje każdy element \scriptstyle R^n): jeśli \scriptstyle \varphi_i(c_1 \mathsf e_1 + \dots + c_n \mathsf e_n) są rzutami względem bazy \scriptstyle (\mathsf e_i) na każdą ze współrzędnych, to w danym zanurzeniu ta forma liniowa przechodzi na element bazowy \scriptstyle \mathsf e_i; oznacza to, że \scriptstyle M^\star \to R^n jest izomorfizmem, a stąd wspomniane rzuty tworzą bazę \scriptstyle M^\star.

Bazą dualną do bazy \scriptstyle \mathsf e_1, \dots, \mathsf e_n modułu \scriptstyle M nazywa się rzuty na poszczególne współrzędne wskazywane przez tę bazę, oznacza się je symbolami \scriptstyle \mathsf e_1^\star, \dots, \mathsf e_n^\star (wyżej: \scriptstyle \varphi_1, \dots, \varphi_n). Wspomniane formy liniowe \scriptstyle M \to R wyznaczone są za pomocą warunków:

\mathsf e_i^\star(\mathsf e_j) = \delta_{ij} = \begin{cases} 1 & \mbox{dla } i = j, \\ 0 & \mbox{dla } i \ne j, \end{cases}

gdzie \scriptstyle \delta_{ij} jest tzw. deltą albo symbolem Kroneckera.

Dwukrotna dualność[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Zobacz też: transformacja naturalna.

W powyższym przypadku izomorfizm między \scriptstyle M^\star a \scriptstyle M zależał od wyboru bazy – nie był on więc kanoniczny, gdyż moduł wolny nie ma wyróżnionej bazy. Jednakże istnieje wtedy naturalnie określony (tzn. niewymagający arbitralnych wyborów) izomorfizm między modułem \scriptstyle M a modułem modułem \scriptstyle M^{\star\star} = \left(M^\star\right)^\star, nazywanym modułem dwukrotnie dualnym do modułu \scriptstyle M.

Element \scriptstyle M^{\star\star} jest przekształceniem liniowym \scriptstyle M^\star \to R. Obliczenie wartości dla dowolnego elementu \scriptstyle \mathsf m \in M jest przekształceniem \scriptstyle M^\star \to R, które jest liniowe,

(\varphi + \psi)(\mathsf m) = \varphi(\mathsf m) + \psi(\mathsf m) \quad \mbox{oraz} \quad (r\varphi)(\mathsf m) = r \varphi(\mathsf m),

wprost z definicji. Niech \scriptstyle \mathrm{ev}_\mathsf m\colon \varphi \mapsto \varphi(\mathsf m) będzie wspomnianym przekształceniem obliczania wartości, tzw. ewaluacji, wtedy \scriptstyle \mathrm{ev}_\mathsf m \in M^{\star\star}. Przekształcenie \scriptstyle M \to M^{\star\star} dane wzorem \scriptstyle \mathsf m \mapsto \mathrm{ev}_\mathsf m jest addytywne, gdyż

\mathrm{ev}_{\mathsf m + \mathsf m'}(\varphi) = \varphi(\mathsf m + \mathsf m') = \varphi(\mathsf m) + \varphi(\mathsf m') = \mathrm{ev}_\mathsf m(\varphi) + \mathrm{ev}_{\mathsf m'}(\varphi) = (\mathrm{ev}_\mathsf m + \mathrm{ev}_{\mathsf m'})(\varphi),

czyli \scriptstyle \mathrm{ev}_{\mathsf m + \mathsf m'} = \mathrm{ev}_\mathsf m + \mathrm{ev}_{\mathsf m'} (kluczowe jest, iż elementy \scriptstyle M^\star są addytywne!); podobnie \scriptstyle \mathrm{ev}_{c\mathsf m} = c\mathrm{ev}_\mathsf m, co oznacza, że odwzorowanie \scriptstyle \mathsf m \mapsto \mathrm{ev}_\mathsf m jest przekształceniem liniowym \scriptstyle M \to M^{\star\star} dla dowolnego modułu \scriptstyle M – bywa ono nazywane przekształceniem naturalnym.

Jeśli \scriptstyle M jest skończenie generowany i wolny, to przekształcenie naturalne \scriptstyle M \to M^{\star\star} jest izomorfizmem[11], które nazywa się izomorfizmem naturalnym między modułem a modułem dwukrotnie do niego dualnym. W izomorfizmie tym bazą \scriptstyle M^{\star\star} dualną do bazy dualnej \scriptstyle (\mathsf e_i^\star) modułu dualnego \scriptstyle M^\star jest baza \scriptstyle (\mathsf e_i), istotnie:

\mathrm{ev}_{\mathsf e_i}(\mathsf e_j^\star) = \mathsf e_j^\star(\mathsf e_i) = \delta_{ij} = \begin{cases} 1 & \mbox{dla } i = j, \\ 0 & \mbox{dla } i \ne j. \end{cases}

Moduły \scriptstyle M, dla których istnieje izomorfizm \scriptstyle M \to M^{\star\star} (niekoniecznie naturalny!) nazywa się refleksywnymi.

Przekształcenia dualne[edytuj | edytuj kod]

Niech \scriptstyle \mathrm L\colon M \to N będzie odwzorowaniem liniowym między dwoma modułami. Można je wykorzystać do przekształcenia form liniowych na \scriptstyle M w formy liniowe na \scriptstyle N, mianowicie: jeśli \scriptstyle \varphi \in N^\star, to \scriptstyle \varphi \circ \mathrm L \in M^\star. Odwzorowanie \scriptstyle \mathrm L^\star\colon N^\star \to M^\star dane wzorem

\mathrm L^\star(\varphi) = \varphi \circ \mathrm L

jest liniowe[12] – nazywa się je przekształceniem dualnym albo sprzężonym do \scriptstyle \mathrm L[13].

Przekształcenie \scriptstyle (\cdot)^\star\colon \mathrm{Hom}(M, N) \to \mathrm{Hom}\left(N^\star, M^\star\right), nazywane tutaj dualizacją, dane wzorem \scriptstyle \mathrm L \mapsto \mathrm L^\star również jest liniowe[14], a ponadto funktorialne, tj. zachowuje identyczność[15] oraz oddziałuje w określony sposób ze złożeniem (w tym wypadku odwraca jego porządek), mianowicie: jeśli \scriptstyle \mathrm L_1\colon M \to N oraz \scriptstyle \mathrm L_2\colon N \to P są przekształceniami liniowymi między modułami, to przekształcenie dualne \scriptstyle P^\star \to M^\star do złożenia \scriptstyle \mathrm L_2 \circ \mathrm L_1\colon M \to P dane jest wzorem \scriptstyle (\mathrm L_2 \circ \mathrm L_1)^\star = \mathrm L_1^\star \circ \mathrm L_2^\star[16]. Wynika stąd, że jeżeli \scriptstyle \mathrm L\colon M \to N jest izomorfizmem modułów, to \scriptstyle \mathrm L^\star\colon N^\star \to M^\star jest izomorfizmem ich modułów dualnych, a ponadto \scriptstyle \left(\mathrm L^\star\right)^{-1} = \left(\mathrm L^{-1}\right)^\star[17].

Jeśli \scriptstyle M, N są skończenie generowanymi modułami wolnymi, to przekształcenie \scriptstyle (\cdot)^\star jest izomorfizmem[18][19], a każde przekształcenie liniowe \scriptstyle \mathrm L\colon M \to N można utożsamiać z \scriptstyle \mathrm L^{\star\star}\colon N^{\star\star} \to M^{\star\star} poprzez izomorfizm naturalny[20][21]. Jeśli moduły te mają bazy odpowiednio \scriptstyle E = (\mathsf e_1, \dots, \mathsf e_m) oraz \scriptstyle F = (\mathsf f_1, \dots, \mathsf f_n), przy czym ich bazy dualne oznaczane będą kolejno \scriptstyle E^\star = (\mathsf e_1^\star, \dots, \mathsf e_m^\star) oraz \scriptstyle F^\star = (\mathsf f_1^\star, \dots, \mathsf f_m^\star), to macierze \scriptstyle \mathbf L = \scriptstyle \mathrm M(\mathrm L)_E^F typu \scriptstyle n \times m oraz \scriptstyle \mathbf L^\star = \mathrm M(\mathrm L^\star)_{F^\star}^{E^\star} typu \scriptstyle m \times n reprezentujące \scriptstyle \mathrm L i \scriptstyle \mathrm L^\star w odpowiednich bazach (zob. macierz przekształcenia liniowego) są transponowane jedna względem drugiej[22].

Twierdzenia z przedostatniego akapitu stanowią uogólnienie własności transpozycji macierzy nad pierścieniem \scriptstyle R, kolejno \scriptstyle (c\mathbf A + d\mathbf B)^\mathrm T = c\mathbf A^\mathrm T + d\mathbf B^\mathrm T, \scriptstyle (\mathbf{AB})^\mathrm T = \mathbf B^\mathrm T \mathbf A^\mathrm T, \scriptstyle (c\mathbf I)^\mathrm T = c\mathbf I^\mathrm T oraz \scriptstyle (\mathbf A^{-1})^\mathrm T = (\mathbf A^\mathrm T)^{-1} dla dowolnych macierzy \scriptstyle \mathbf A, \mathbf B, dla których wspomniane działania mają sens. Mają one tę zasadniczą przewagę nad odpowiadającymi im twierdzeniami macierzowymi (które można by chcieć uzyskać na mocy twierdzenia z poprzedniego akapitu), iż zachodzą one dla modułów, które nie muszą być wolne i skończenie generowane. Tłumaczą one koncepcyjnie z jakiego powodu transpozycja macierzy odwraca porządek mnożenia, podobnie jak interpretacja mnożenia macierzy jako złożenia przekształceń tłumaczy łączność i nieprzemienność mnożenia macierzy poprzez łączność i nieprzemienność składania funkcji – w ten sposób transpozycja macierzy jest przypadkiem szczególnym konstrukcji przekształcenia dualnego dla skończenie generowanych modułów wolnych.

Dualizacja przekształca suriektywność w iniektywność: jeżeli \scriptstyle \mathrm L jest „na”, to \scriptstyle \mathrm L^\star jest „1-1”[23]. Jeśli \scriptstyle \mathrm L jest różnowartościowe, to \scriptstyle M można postrzegać jako podmoduł \scriptstyle N, tzn. \scriptstyle M \simeq \mathrm L(M) \subseteq N; dla \scriptstyle \varphi \in N^\star przekształcenie \scriptstyle \mathrm L^\star(\varphi) = \varphi \circ \mathrm L jest z tego punktu widzenia zawężeniem \scriptstyle \varphi do podmodułu \scriptstyle \mathrm L(M) \subseteq N. Fakt, iż odwzorowanie \scriptstyle \mathrm L^\star jest „na” oznacza, że każda forma liniowa \scriptstyle \psi\colon M \to R jest postaci \scriptstyle \varphi \circ \mathrm L, co jest równoważne stwierdzeniu, iż każde przekształcenie liniowe \scriptstyle \mathrm L(M) \to R można przedłużyć do przekształcenia liniowego \scriptstyle N \to R, a więc \scriptstyle N ma taką własność, że wszystkie elementy modułu dualnego do podmodułu \scriptstyle \mathrm L(M) \subseteq N przedłużają się do elementów modułu dualnego do \scriptstyle N. W ogólności własność ta nie zachodzi[24]; istnieje jednak ważny przypadek, w którym dualizacja przekształca iniektywne przekształcenia liniowe w suriektywne – \scriptstyle R jest ciałem: niech \scriptstyle M, N będą przestrzeniami liniowymi nad ciałem \scriptstyle K, wtedy jeśli przekształcenie \scriptstyle \mathrm L\colon M \to N jest „1-1”, to \scriptstyle \mathrm L^\star jest „na”[25] – twierdzenie to obowiązuje nie tylko dla przestrzeni liniowych skończonego wymiaru, lecz wszystkich przestrzeni liniowych: dowolna niezerowa przestrzeń liniowa ma bazę (twierdzenie Hamela), a bazę podprzestrzeni liniowej można rozszerzyć do bazy całej przestrzeni (twierdzenie Steinitza). Przypadek nieskończeniewymiarowy wymaga lematu Kuratowskiego-Zorna, a więc z pewnością nie jest konstruktywny. Z powyższego wynika także, że jeśli \scriptstyle \mathrm L\colon M \to N dla modułów \scriptstyle M, N jest „1-1”, a \scriptstyle \mathrm L(M) jest składnikiem prostym \scriptstyle N, to \scriptstyle \mathrm L^\star jest „na”[26][27].

Przestrzenie liniowe[edytuj | edytuj kod]

Ponieważ przestrzeń liniowa skończonego wymiaru nad danym ciałem ma formalnie strukturę modułu wolnego skończonej rangi (tj. skończenie generowanego, nad tym ciałem) – wolność oznacza istnienie bazy, a skończona ranga odpowiada skończonemu wymiarowi – to wszystkie wymienione wyżej własności modułów dualnych (do skończenie generowanych modułów wolnych) przenoszą się wprost na przestrzenie dualne (do przestrzeni liniowych).

Jeśli przestrzeń liniowa \scriptstyle V jest nieskończonego wymiaru, to za pomocą lematu Kuratowskiego-Zorna można wykazać, iż

\dim_K V < \dim_K V^\star < \dim_K V^{\star\star},

co oznacza, że w ogólności \scriptstyle V nie jest izomorficzna, z przestrzenią dwukrotnie do niej dualną \scriptstyle V^{\star\star} (zob. ostatni przykład). W wielu jednak wypadkach przekształcenie naturalne \scriptstyle V \to V^{\star\star} jest izomorfizmem zupełnie jak w przypadku skończeniewymiarowym.

W analizie często rozpatruje się nieskończeniewymiarowe przestrzenie liniowe \scriptstyle V nad ciałami liczb rzeczywistych \scriptstyle \mathbb R lub zespolonych \scriptstyle \mathbb C. Zwykle jest na niej określona pewna topologia; chcąc ją uwzględnić (zachować) przestrzeń dualną \scriptstyle V' definiuje się jako przestrzeń tylko tych form liniowych na \scriptstyle V, które są ciągłe (w tej topologii, nie zaś wszystkich). Ta „topologiczna” przestrzeń dualna \scriptstyle V' jest znacznie mniejsza niż wyłącznie „algebraiczna” przestrzeń dualna \scriptstyle V^\star i sama może być wyposażona w dogodną topologię – dla odróżnienia nazywa się je też przestrzeniami sprzężonymi algebraicznie oraz topologicznie. W przypadku skończeniewymiarowym zachodzi \scriptstyle V' = V^\star, gdyż nie istnieją wtedy nieciągłe formy liniowe określone na \scriptstyle V.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Przykładami funkcjonałów na przestrzeni euklidesowej \scriptstyle \mathbb R^n są rzuty na współrzędne standardowe:

c_1 \mathbf e_1 + \dots + c_n \mathbf e_n \mapsto c_i.

Ogólniej, branie iloczynu skalarnego przez ustalony wektor \scriptstyle \mathbb R^n daje element przestrzeni dualnej: niech dla każdego \scriptstyle \mathbf v \in \mathbb R^n dana będzie forma \scriptstyle \varphi_\mathbf v\colon \mathbb R^n \to \mathbb R wzorem

\varphi_\mathbf v(\mathbf w) = \mathbf v \cdot \mathbf w = v_1 w_1 + \dots + v_n w_n.

Rzuty na współrzędne standardowe uzyskuje się biorąc \scriptstyle \mathbf v będące wektorami bazy standardowej \scriptstyle \mathbf e_1, \dots, \mathbf e_n. Izomorfizm \scriptstyle \mathbb R^n \simeq \left(\mathbb R^n\right)^\star ustala przekształcenie \scriptstyle \mathbf v \mapsto \varphi_\mathbf v, tj. wyżej wskazane elementy przestrzeni dualnej są już wszystkimi możliwymi[28]. Analogicznie ma się rzecz z dowolnym modułem \scriptstyle R^n (wystarczy wyżej zamienić „wektor” \scriptstyle \mathbf u na „element” \scriptstyle \mathsf u oraz „przestrzeń dualna” na „moduł dualny”). W szczególności \scriptstyle R^\star = \mathrm{Hom}(R, R) jest izomorficzny z \scriptstyle R w tym sensie, iż każde przekształcenie liniowe \scriptstyle R \to R jest postaci \scriptstyle \varphi_a(r) = ar dla danego \scriptstyle a \in R[29].

Niech \scriptstyle R = \mathbb Z, tj. rozważane \scriptstyle R-moduły będą grupami abelowymi; dla danej grupy abelowej \scriptstyle A jej \scriptstyle \mathbb Z-dualną do niej jest \scriptstyle A^\star = \mathrm{Hom}(A, \mathbb Z). Jeśli \scriptstyle A = \mathbb Z^n, to \scriptstyle A^\star można utożsamiać z \scriptstyle A za pomocą iloczynu skalarnego zupełnie jak wyżej. Z drugiej strony jednak, jeśli \scriptstyle A = \mathbb Q będzie traktowana jako \scriptstyle \mathbb Z-moduł, to \scriptstyle \mathbb Q^\star = \mathrm{Hom}(\mathbb Q, \mathbb Z) jest trywialny[30]; traktując z kolei \scriptstyle \mathbb Q jako przestrzeń \scriptstyle \mathbb Q-liniową otrzymuje się nietrywialną \scriptstyle \mathbb Q^\star = \mathrm{Hom}(\mathbb Q, \mathbb Q)[31] – uzmysławia to istotność uwzględniania pierścienia, nad którym rozpatruje się moduł dualny do danego. Jeżeli \scriptstyle A jest skończoną grupą abelową, to jej \scriptstyle \mathbb Z-dualna jest zerowa[32][33]; przykładowo: jeśli \scriptstyle A = \mathbb Z \oplus (\mathbb Z/2\mathbb Z), to \scriptstyle A^\star \simeq \mathbb Z^\star \oplus (\mathbb Z/2\mathbb Z)^\star = \mathbb Z^\star, a ponieważ \scriptstyle \mathbb Z^\star \simeq \mathbb Z z pierwszego przykładu, to \scriptstyle A składa się z funkcji \scriptstyle f_k(x, y) = kx dla różnych \scriptstyle k \in \mathbb Z (por. podgrupa torsyjna i ranga grupy abelowej).

Niech \scriptstyle R będzie dziedziną całkowitości z ciałem ułamków \scriptstyle K, a \scriptstyle I będzie ideałem w \scriptstyle R. Wówczas \scriptstyle I^\star = \mathrm{Hom}(I, R) można interpretować jako \scriptstyle \{c \in K\colon cI \subseteq R\}[34]. Jeżeli \scriptstyle R = \mathbb Z[X], zaś \scriptstyle I = (2, X) jest ideałem maksymalnym tej dziedziny z jednoznacznością rozkładu, to ponieważ \scriptstyle 2, X są w niej względnie pierwsze, to

I^\star = \bigl\{f \in \mathbb Q(X)\colon fI \subseteq R\bigr\} = \bigl\{f \in \mathbb Q(X)\colon 2f \in \mathbb Z[X] \mbox{ i } Xf \in \mathbb Z[X]\bigr\} = \mathbb Z[X],

tj. jedynymi przekształceniami \scriptstyle \mathbb Z[X]-liniowymi \scriptstyle (2, X) \to \mathbb Z[X] są mnożenia \scriptstyle h \mapsto gh dla \scriptstyle g \in \mathbb Z[X].

Niech \scriptstyle R = \mathbb R, a \scriptstyle M = N = \mathbb C; baza dualna \scriptstyle \{f_1, f_2\} przestrzeni liniowej \scriptstyle \mathbb C^\star do bazy standardowej \scriptstyle \{1, i\} przestrzeni \scriptstyle \mathbb R-liniowej \scriptstyle \mathbb C jest postaci \scriptstyle \{\mathrm{Re}, \mathrm{Im}\}[35]. Niech odwzorowanie \scriptstyle \mathrm L\colon \mathbb C \to \mathbb C dane będzie wzorem \scriptstyle \mathrm L(z) = (2 + i)z + \overline z; jest ono \scriptstyle \mathbb R-liniowe, przy czym \scriptstyle \mathrm L(1) = 3 + i oraz \scriptstyle \mathrm L(i) = -1 + i. W bazie standardowej (dla dziedziny i przeciwdziedziny) \scriptstyle \mathbb C przekształcenie \scriptstyle \mathrm L reprezentowane jest za pomocą macierzy \scriptstyle \left[\begin{smallmatrix} 3 & -1 \\ 1 & \ 1 \end{smallmatrix}\right]. Macierzą \scriptstyle \mathrm L^\star w bazie \scriptstyle \{\mathrm{Re}, \mathrm{Im}\} przestrzeni \scriptstyle \mathbb C^\star jest macierz \scriptstyle \left[\begin{smallmatrix} \ 3 & 1 \\ -1 & 1 \end{smallmatrix}\right] transponowana do macierzy odwzorowania \scriptstyle \mathrm L[36] (zob. macierz przekształcenia liniowego).

Jeśli \scriptstyle R = \mathbb R, zaś \scriptstyle M = \mathbb R[X] oraz \scriptstyle N = \mathbb R^2, a ponadto \scriptstyle \mathrm L\colon M \to N dane jest wzorem \scriptstyle \mathrm L\displaystyle(\scriptstyle f(X)\displaystyle) = \displaystyle(\scriptstyle f(0), f(1)\displaystyle), to odwzorowanie \scriptstyle \varphi\colon \mathbb R^2 \to \mathbb R dane wzorem \scriptstyle \varphi(x, y) = 2x + 3y należy do przestrzeni dualnej do \scriptstyle \mathbb R^2, a złożenie \scriptstyle \varphi \circ \mathrm L, które przeprowadza \scriptstyle f(X) na \scriptstyle 2f(0) + 3f(1) należy do przestrzeni dualnej do \scriptstyle \mathbb R[X] – złożeniem tym jest \scriptstyle \mathrm L^\star(\varphi).

Niech \scriptstyle K będzie ciałem skończonym (np. \scriptstyle \mathbb Z/p\mathbb Z dla liczby pierwszej \scriptstyle p), a zbiór \scriptstyle V = \bigoplus K będzie sumą prostą przeliczalnie wielu egzemplarzy \scriptstyle K. Zbiór ten jest przeliczalny, z kolei zbiór \scriptstyle V^\star \simeq \prod (K^\star) jest nieprzeliczalny (zob. Sumy i produkty proste). Przekształcenie dualne do włożenia \scriptstyle \bigoplus K \hookrightarrow \prod K jest suriekcją (zob. Przekształcenia dualne) przestrzeni dualnych w odwrotnym porządku: \scriptstyle \left(\prod K\right)^\star \to\!\!\!\!\!\to \left(\bigoplus K\right)^\star = V^\star; w ten sposób \scriptstyle \left(\prod K\right)^\star jest zbiorem nieprzeliczalnym jako dziedzina suriekcji na zbiór nieprzeliczalny. Ponieważ \scriptstyle K^\star \simeq K jako przestrzenie liniowe (wymiaru jeden) oraz \scriptstyle V^{\star\star} \simeq \left(\prod K^\star\right)^\star \simeq \left(\prod K\right)^\star, to \scriptstyle V^{\star\star} jest nieprzeliczalny. Wynika stąd, że przekształcenie naturalne \scriptstyle V \to V^{\star\star} (a w istocie żadne przekształcenie tego rodzaju) nie jest suriektywne.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. Tzn. modułów, w których można wskazać skończoną bazę; odpowiedników skończeniewymiarowych przestrzeni liniowych, w których skalary tworzą pierścień, a nie ciało (zob. Sumy i produkty proste).
  2. Jeśli \scriptstyle R nie byłby przemienny, to wzór \scriptstyle (r \varphi)(\mathsf m) = r \varphi(\mathsf m) definiuje przekształcenie \scriptstyle M \to N, które nie musi być liniowe.
  3. Niekiedy spotyka się oznaczenie \scriptstyle M^\vee.
  4. Jeśli \scriptstyle \varphi \in (M \oplus N)^\star, to \scriptstyle f \in M^\star, g \in N^\star dane wzorami \scriptstyle f(\mathsf m) = \varphi(\mathsf m, \mathsf 0), g(\mathsf n) = \varphi(\mathsf 0, \mathsf n) umożliwiają zdefiniowanie przekształcenia liniowego \scriptstyle (M \oplus N)^\star \to M^\star \oplus N^\star wzorem \scriptstyle \varphi \mapsto (f, g). Na odwrót, jeśli \scriptstyle (f, g) \in M^\star \oplus N^\star, to przekształcenie \scriptstyle \varphi\colon M \oplus N \to R dane wzorem \scriptstyle \varphi(\mathsf m, \mathsf n) = f(\mathsf m) + g(\mathsf n) definiuje formę \scriptstyle \varphi \in (M \oplus N)^\star. Kończy to konstrukcję przekształcenia liniowego \scriptstyle M^\star \oplus N^\star \to (M \oplus N)^\star odwrotnego do powyższego.
  5. Jeśli \scriptstyle \varphi \in \left(\bigoplus M_i\right)^\star, tzn. \scriptstyle \varphi\colon \bigoplus M_i \to R, to \scriptstyle M_i można postrzegać jako podmoduł \scriptstyle \bigoplus M_i w standardowy sposób; wówczas zawężenie \scriptstyle \varphi\displaystyle|\scriptstyle_{M_i} jest przekształceniem liniowym należącym do produktu \scriptstyle \prod M_i^\star, przy czym brak jakichkolwiek przesłanek za tym, by większość z tych przekształceń była zerowa, dlatego zbiór zawężeń nie tworzy zwykle sumy prostej \scriptstyle M_i^\star. Oto konstrukcja przekształcenia odwrotnego do przekształcenia liniowego \scriptstyle \left(\bigoplus M_i\right)^\star \to \prod M_i^\star danego wzorem \scriptstyle \varphi \mapsto \displaystyle(\scriptstyle\varphi\displaystyle|\scriptstyle_{M_i}\displaystyle)\scriptstyle. Niech dla dowolnego \scriptstyle (\psi_i) \in \prod M_i^\star dany będzie \scriptstyle \psi \in \left(\bigoplus M_i\right)^\star wzorem \scriptstyle \psi\displaystyle(\scriptstyle(\mathsf m_i)\displaystyle)\scriptstyle = \sum \psi_i(\mathsf m_i). Suma ta jest skończona, gdyż \scriptstyle (\mathsf m_i) należy do sumy prostej, zatem prawie wszystkie \scriptstyle \mathsf m_i (wszystkie poza skończoną liczbą) są zerowe. Przekształcenie to jest liniowe, zatem należy do modułu dualnego do \scriptstyle \bigoplus M_i. Stąd odwzorowanie \scriptstyle (\psi_i) \mapsto \psi jest przekształceniem liniowym \scriptstyle \prod M_i^\star \to \left(\bigoplus M_i\right)^\star odwrotnym do skonstruowanego na początku.
  6. W przytoczonym dowodzie nie istotne było użycie modułów dualnych – możliwe jest sformułowanie twierdzenia dla modułów dualnych względem siebie; ma ono wówczas postać: \scriptstyle \mathrm{Hom}\left(\bigoplus M_i, N\right) \simeq \prod \mathrm{Hom}(M_i, N). Przyjęcie \scriptstyle N = R daje pierwotne stwierdzenie.
  7. Niech \scriptstyle (\varphi_i) \in \bigoplus M_i^\star, a więc wszystkie, poza skończoną liczbą, przekształcenia \scriptstyle \varphi_i są zerowe; za ich pomocą można zapisać przekształcenie liniowe \scriptstyle \varphi w produkt prosty wzorem \scriptstyle \varphi\displaystyle(\scriptstyle(m_i)\displaystyle)\scriptstyle = \sum \varphi_i(m_i), przy czym suma ta w istocie jest skończona (ma tylko skończenie wiele niezerowych elementów). Funkcja \scriptstyle (\varphi_i) \mapsto \varphi jest odwzorowaniem liniowym z \scriptstyle \bigoplus M_i^\star w \scriptstyle \left(\prod M_i\right)^\star – jest ono iniektywne, gdyż \scriptstyle (\varphi_i) można odzyskać z \scriptstyle \varphi przyjmując \scriptstyle \varphi_i(m_i) = \varphi(m), gdzie wszystkie współrzędne poza \scriptstyle i-tą równą \scriptstyle m_i są zerowe.
  8. Przypadek \scriptstyle n = 0 dający \scriptstyle M = 0 jest trywialny: wówczas \scriptstyle M^\star = 0, gdyż jedynym odwzorowaniem liniowym \scriptstyle 0 \to R jest forma zerowa.
  9. Jeżeli \scriptstyle M \simeq R^n, to \scriptstyle M^\star \simeq \left(R^n\right)^\star \simeq R^n. Jeśli \scriptstyle \mathrm L\colon M \to R^n jest izomorfizmem, to izomorfizm \scriptstyle M^\star \simeq \left(R^n\right)^\star dany jest poprzez \scriptstyle \varphi \mapsto \varphi \circ \mathrm L, gdzie \scriptstyle \varphi\colon R^n \to R jest formą liniową, a izomorfizm \scriptstyle \varphi_\mathsf p\colon R^n \to \left(R^n\right)^\star ma postać \scriptstyle \varphi_\mathsf p(\mathsf q) = \langle \mathsf p, \mathsf q \rangle = \sum p_i q_i.
  10. Niech \scriptstyle R = \mathbb Z, zaś \scriptstyle M = \bigoplus \mathbb Z będzie modułem wolnym przeliczalnej rangi, wówczas \scriptstyle M^\star = \mathrm{Hom}(M, \mathbb Z) jest izomorficzny z \scriptstyle \prod \mathbb Z, który nie jest \scriptstyle \mathbb Z-modułem wolnym. Jeśli \scriptstyle \prod \mathbb Z byłby wolny, to wolny byłby dowolny podmoduł modułu wolnego nad dziedziną ideałów głównych (zob. grupa Baera-Speckera, por. twierdzenie strukturalne dla skończenie generowanych modułów nad dziedziną ideałów głównych). Niech \scriptstyle N \subseteq \prod \mathbb Z będzie modułem składającym się z takich (nieskończonych) ciągów całkowitych \scriptstyle (a_i), że najwyższa potęga \scriptstyle 2 dzieląca \scriptstyle a_k dąży do \scriptstyle \infty dla \scriptstyle k \to \infty (przykładami są \scriptstyle a_k = 2^k, czy \scriptstyle a_k = k!, jak również dowolny ciąg, dla którego \scriptstyle a_k = 0 dla dużych wszystkich \scriptstyle k; kontrprzykładem jest \scriptstyle a_k = k). Niech \scriptstyle \mathsf e_i \in N ma \scriptstyle i-tą współrzędną równą \scriptstyle 1, a pozostałe równe \scriptstyle 0. Elementy te nie tworzą bazy \scriptstyle N, gdyż nie są nawet jej zbiorem generatorów; jednakże każdy element \scriptstyle N/2N ma tylko skończenie wiele niezerowych współrzędnych, a więc redukcje \scriptstyle \overline{\mathsf e_i} w \scriptstyle N/2N generują \scriptstyle \mathbb Z/2\mathbb Z, a przy tym są tam liniowo niezależne, a więc tworzą bazę \scriptstyle N/2N, skąd \scriptstyle N/2N ma przeliczalny wymiar nad \scriptstyle \mathbb Z/2\mathbb Z. Jeżeli \scriptstyle N byłby wolny, to niech \scriptstyle (\alpha_i) oznacza \scriptstyle \mathbb Z-bazę modułu \scriptstyle N; wówczas \scriptstyle N = \bigoplus \mathbb Z \alpha_i, czyli \scriptstyle N/2N = \bigoplus (\mathbb Z/2\mathbb Z) \overline{\alpha_i}. Ponieważ \scriptstyle N/2N ma przeliczalny wymiar nad \scriptstyle \mathbb Z/2\mathbb Z, to zbiór wskaźników (dla \scriptstyle i) również musi być przeliczalny, a więc \scriptstyle N ma przeliczalną bazę i przeliczalny pierścień skalarów \scriptstyle \mathbb Z, co daje przeliczalność \scriptstyle N. Z drugiej jednak strony funkcja \scriptstyle \prod \mathbb Z \to N dana wzorem \scriptstyle (a_i) \mapsto (2^i a_i) jest iniektywna, a więc \scriptstyle N jest nieprzeliczalny, gdyż \scriptstyle \prod \mathbb Z jest nieprzeliczalny. Stąd \scriptstyle N nie jest wolny, a co za tym idzie \scriptstyle \prod \mathbb Z również.
  11. Niech \scriptstyle (\mathsf e_i) będzie bazą \scriptstyle M, a \scriptstyle (\mathsf e_i^\star) będzie stowarzyszoną z nią bazą \scriptstyle M^\star. Każdy niezerowy element \scriptstyle \mathsf m \in M ma niezerową współrzędną względem wybranej bazy, zatem \scriptstyle e_i^\star(\mathsf m) \ne 0 dla pewnego \scriptstyle i. Stąd \scriptstyle \mathrm{ev}_\mathsf m(\mathsf e_i^\star) \ne 0, co oznacza, że \scriptstyle \mathrm{ev}_\mathsf m jest niezerowym elementem \scriptstyle M^{\star\star}. Tym samym jedynym \scriptstyle \mathsf m, dla którego \scriptstyle \mathrm{ev}_\mathsf m jest zerem w \scriptstyle M^{\star\star} jest element \scriptstyle 0, skąd wynika, że dane odwzorowanie \scriptstyle M \to M^{\star\star} jest iniektywne. Pozostaje jeszcze wykazać, że każdy element \scriptstyle M^{\star\star} jest pewnym \scriptstyle \mathrm{ev}_\mathsf m; niech \scriptstyle f \in M^{\star\star}, należy wskazać \scriptstyle \mathsf m, dla którego \scriptstyle f = \mathrm{ev}_\mathsf m, tj. \scriptstyle f(\varphi) = \varphi(\mathsf m) dla dowolnego \scriptstyle \varphi \in M^\star. Ponieważ obie strony tego równania są liniowe ze względu na \scriptstyle \varphi, to wystarczy wyznaczyć \scriptstyle \mathsf m, które spełnia to równanie dla \scriptstyle \varphi przebiegającego bazę dualną \scriptstyle (\mathsf e_i^\star), która rozpina \scriptstyle M^\star. Niech \scriptstyle a_i = f(\mathsf e_i^\star) \in R oraz \scriptstyle \mathsf m = \sum a_i \mathsf e_i \in M. Wówczas \scriptstyle f(\mathsf e_i^\star) = a_i = \mathsf e_i^\star(\mathsf m), czyli \scriptstyle f = \mathrm{ev}_\mathsf m, co oznacza, że dane przekształcenie \scriptstyle M \to M^{\star\star} jest suriektywne.
  12. Jeśli \scriptstyle \varphi, \psi \in N^\star i \scriptstyle \mathsf m \in M, to
    (\scriptstyle \mathrm L^\star(\varphi + \psi)\displaystyle)\scriptstyle(\mathsf m) = (\varphi + \psi)\displaystyle(\scriptstyle\mathrm L(\mathsf m)\displaystyle)\scriptstyle = \varphi\displaystyle(\scriptstyle\mathrm L(\mathsf m)\displaystyle)\scriptstyle + \psi\displaystyle(\scriptstyle\mathrm L(\mathsf m)\displaystyle)\scriptstyle = \displaystyle(\scriptstyle\mathrm L^\star(\varphi)\displaystyle)\scriptstyle(\mathsf m) + \displaystyle(\scriptstyle\mathrm L^\star(\psi)\displaystyle)\scriptstyle(\mathsf m) = \displaystyle(\scriptstyle\mathrm L^\star(\varphi) + \mathrm L^\star(\psi)\displaystyle)\scriptstyle(\mathsf m).
    Ponadto dla \scriptstyle \mathsf c \in R zachodzi
    (\scriptstyle \mathrm L^\star(c\varphi)\displaystyle)\scriptstyle(\mathsf m) = (c\varphi)\displaystyle(\scriptstyle\mathrm L(\mathsf m)\displaystyle)\scriptstyle = c\varphi\displaystyle(\scriptstyle\mathrm L(\mathsf m)\displaystyle)\scriptstyle = c\displaystyle(\scriptstyle\mathrm L^\star(\varphi)\displaystyle)\scriptstyle(\mathsf m) = \displaystyle(\scriptstyle c\mathrm L^\star(\varphi)\displaystyle)\scriptstyle(\mathsf m).
    Równości te zachodzą dla dowolnego \scriptstyle \mathsf m \in M, zatem \scriptstyle \mathrm L^\star(\varphi + \psi) = \mathrm L^\star(\varphi) + \mathrm L^\star(\psi) oraz \scriptstyle \mathrm L^\star(c\varphi) = c\mathrm L^\star(\varphi) należą do \scriptstyle M^\star.
  13. Jeśli \scriptstyle \langle \cdot, \cdot \rangle\colon M \times M^\star \to R oraz \scriptstyle [\cdot, \cdot]\colon N \times N^\star \to R oznaczają odpowiednio parowania modułów \scriptstyle M, N z modułami do nich dualnymi, to przekształcenie dualne można scharakteryzować za pomocą tożsamości \langle\scriptstyle \mathsf m, \mathrm L^\star(\varphi)\displaystyle\rangle\scriptstyle  = \displaystyle[\scriptstyle \mathrm L(\mathsf m), \varphi \displaystyle] (por. sprzężenie hermitowskie).
  14. Należy wykazać, że dla \scriptstyle \mathrm L_1, \mathrm L_2 \in \mathrm{Hom}(M, N) zachodzi \scriptstyle (\mathrm L_1 + \mathrm L_2)^\star = \mathrm L_1^\star + \mathrm L_2^\star, tzn. \scriptstyle (\mathrm L_1 + \mathrm L_2)^\star(\varphi) = \mathrm L_1^\star(\varphi) + \mathrm L_2^\star(\varphi) dla dowolnego \scriptstyle \varphi \in \mathrm N^\star. Obie strony tej równości należą do \scriptstyle M^\star, zatem równość należy sprawdzić dla dowolnego \scriptstyle \mathsf m \in M. Zachodzi
    (\scriptstyle(\mathrm L_1 + \mathrm L_2)^\star(\varphi)\displaystyle)\scriptstyle(\mathsf m) = \displaystyle(\scriptstyle \varphi \circ (\mathrm L_1 + \mathrm L_2)\displaystyle)\scriptstyle(\mathsf m) = \varphi\displaystyle(\scriptstyle(\mathrm L_1 + \mathrm L_2)(\mathsf m)\displaystyle)\scriptstyle = \varphi\displaystyle(\scriptstyle\mathrm L_1(\mathsf m) + \mathrm L_2(\mathsf m)\displaystyle)\scriptstyle = \varphi\displaystyle(\scriptstyle\mathrm L_1(\mathsf m)\displaystyle)\scriptstyle + \varphi\displaystyle(\scriptstyle\mathrm L_2(\mathsf m)\displaystyle)
    oraz
    (\scriptstyle(\mathrm L_1^\star + \mathrm L_2^\star)(\varphi)\displaystyle)\scriptstyle(\mathsf m) = \displaystyle(\scriptstyle\mathrm L_1^\star(\varphi) + \mathrm L_2^\star(\varphi)\displaystyle)\scriptstyle(\mathsf m) = (\varphi \circ \mathrm L_1 + \varphi \circ \mathrm L_2)(\mathsf m) = \varphi\displaystyle(\scriptstyle\mathrm L_1(\mathsf m)\displaystyle)\scriptstyle + \varphi\displaystyle(\scriptstyle\mathrm L_2(\mathsf m)\displaystyle)\scriptstyle,
    przy czym równości spełnione są dla dowolnego \scriptstyle \mathsf m \in M, czyli \scriptstyle (\mathrm L_1 + \mathrm L_2)^\star(\varphi) = \left(\mathrm L_1^\star + \mathrm L_2^\star\right)(\varphi) należą do \scriptstyle M^\star, a stąd obie strony równości \scriptstyle (\mathrm L_1 + \mathrm L_2)^\star oraz \scriptstyle \mathrm L_1^\star + \mathrm L_2^\star mają tę samą wartość dla każdego \scriptstyle \mathsf \varphi \in N^\star, skąd \scriptstyle (\mathrm L_1 + \mathrm L_2)^\star = \mathrm L_1^\star + \mathrm L_2^\star należy do \scriptstyle \mathrm{Hom}(N^\star, M^\star). Analogicznie dowodzi się \scriptstyle (c\mathrm L)^\star = c\mathrm L^\star dla \scriptstyle c \in R oraz \scriptstyle \mathrm L \in \mathrm{Hom}(M, N).
  15. Ponieważ \scriptstyle \mathrm{id}_M^\star(\varphi) = \varphi \circ \mathrm{id}_M = \varphi, a więc \scriptstyle \mathrm{id}_M^\star = \mathrm{id}_{M^\star}. Stąd też \scriptstyle (c\,\mathrm{id}_M)^\star = c\,\mathrm{id}_{M^\star} dla dowolnego \scriptstyle c \in R.
  16. Dla \scriptstyle \varphi \in P^\star oraz \scriptstyle \mathsf m \in M zachodzi
    (\scriptstyle(\mathrm L_2 \circ \mathrm L_1)^\star(\varphi)\displaystyle)\scriptstyle(\mathsf m) = \displaystyle(\scriptstyle\varphi(\mathrm L_2 \circ \mathrm L_1)\displaystyle)\scriptstyle(\mathsf m) = \varphi\displaystyle(\scriptstyle \mathrm L_2(\mathrm L_1(\mathsf m))\displaystyle)\scriptstyle = \displaystyle(\scriptstyle \mathrm L_2^\star(\varphi)\displaystyle)(\scriptstyle \mathrm L_1(\mathsf m)\displaystyle)\scriptstyle = \displaystyle(\scriptstyle \mathrm L_1^\star(\mathrm L_2^\star(\varphi))\displaystyle)\scriptstyle(\mathsf m) = \displaystyle(\scriptstyle (\mathrm L_1^\star \circ \mathrm L_2^\star)(\varphi)\displaystyle)\scriptstyle(\mathsf m).
    Z równości dla wszystkich \scriptstyle \mathsf m \in M wynika, \scriptstyle (\mathrm L_2 \circ \mathrm L_1)^\star(\varphi) = (\mathrm L_1^\star \circ \mathrm L_2^\star)(\varphi) dla wszystkich \scriptstyle \varphi \in P^\star, skąd \scriptstyle (\mathrm L_2 \circ \mathrm L_1)^\star = \mathrm L_1^\star \circ \mathrm L_2^\star należy do \scriptstyle \mathrm{Hom}(P^\star, M^\star).
  17. Z definicji izomorfizmu zachodzą tożsamości \scriptstyle \mathrm L^{-1} \circ \mathrm L = \mathrm{id}_M oraz \scriptstyle \mathrm L \circ \mathrm L^{-1} = \mathrm{id}_N, przykładając odwzorowanie dualne do obu stron i korzystając z jego funktorialności otrzymuje się ze złożeń \scriptstyle \mathrm L^\star i \scriptstyle \left(\mathrm L^{-1}\right)^\star w obu kierunkach tożsamości na odpowiednich modułach dualnych.
  18. Skoro \scriptstyle M, N są skończenie generowane i wolne, to są takie również moduły do nich dualne, a stąd również i \scriptstyle \mathrm{Hom}(M, N), \mathrm{Hom}(N^\star, M^\star). Dowód polega na wykazaniu, iż dualizacja przeprowadza bazę \scriptstyle \mathrm{Hom}(M, N) w bazę \scriptstyle \mathrm{Hom}(N^\star, M^\star), co oznacza już jej izomorficzność. Niech dane będą bazy \scriptstyle (\mathsf e_i), (\mathsf f_j) odpowiednio modułów \scriptstyle M, N. Bazę \scriptstyle \mathrm{Hom}(M, N) tworzą funkcje \scriptstyle \mathrm L_{ij}\colon M \to N, gdzie \scriptstyle \mathrm L_{ij}(\mathsf e_i) = \mathsf f_j oraz \scriptstyle \mathrm L_{ij}(\mathsf e_k) = \mathsf 0 dla \scriptstyle k \ne i, tj. \scriptstyle \mathrm L_{ij}(a_1\mathsf e_1 + \dots + a_r\mathsf e_r) = a_i\mathsf f_j. Przekształcenia dualne \scriptstyle \mathrm L_{ij}^\star\colon N^\star \to M^\star tworzą podobną bazę: \scriptstyle \mathrm L_{ij}^\star w działaniu na bazę dualną \scriptstyle \left(\mathsf f_j^\star\right) dla dowolnego wektora bazowego \scriptstyle \mathsf e_k przyjmuje postać
    (\scriptstyle \mathrm L_{ij}^\star(\mathsf f_l^\star)\displaystyle)\scriptstyle(\mathsf e_k) = \left(\mathsf f_l^\star \circ \mathrm L_{ij}^\star\right)(\mathsf e_k) = \displaystyle(\scriptstyle \mathsf f_l^\star(\mathrm L_{ij}(\mathsf e_k))\displaystyle)\scriptstyle;
    gdy \scriptstyle k = i, to zachodzi dalsza równość \scriptstyle \mathsf f_l^\star(\mathsf f_j) (w przeciwnym przypadku: element zerowy), a gdy ponadto \scriptstyle l = j, to kontynuacją tej tożsamości jest jedynka (w przeciwnym przypadku: zero). Stąd też \scriptstyle \mathrm L_{ij}^\star(\mathsf f_j) = \mathsf e_i^\star oraz \scriptstyle \mathrm L_{ij}(\mathsf e_k) = \mathsf 0 dla \scriptstyle l \ne j, a więc funkcje \scriptstyle \left(\mathrm L_{ij}^\star\right) tworzą bazę.
  19. Jeśli \scriptstyle M = N, to \scriptstyle \mathrm{Hom}(M, M) i \scriptstyle \mathrm{Hom}(M^\star, M^\star) są pierścieniami, a dualizacja jest wtedy ich antyhomomorfizmem, który staje się antyizomorfizmem, gdy \scriptstyle M jest skończenie generowany i wolny.
  20. Zastosowanie kolejno izomorfizmu \scriptstyle M \to M^{\star\star} oraz \scriptstyle \mathrm L^{\star\star} do dowolnie wybranego elementu \scriptstyle \mathsf m \in M daje element \scriptstyle \mathrm L^{\star\star}(\mathrm{ev}_\mathsf m) = \left(\mathrm L^\star\right)^\star(\mathrm{ev}_\mathsf m) = \mathrm{ev}_\mathsf m \circ \mathrm L^\star należący do \scriptstyle N^{\star\star}. Z drugiej strony przyłożenie do \scriptstyle \mathsf m \in M przekształcenia \scriptstyle \mathrm L, a następnie izomorfizmu \scriptstyle N \to N^{\star\star} daje \scriptstyle \mathrm{ev}_{\mathrm L(\mathsf m)}. Ponieważ dla dowolnego \scriptstyle \varphi \in N^\star zachodzi
    \scriptstyle (\mathrm{ev}_\mathsf m \circ \mathrm L)(\varphi) = \mathrm{ev}_m\displaystyle(\scriptstyle \mathrm L^\star(\varphi)\displaystyle)\scriptstyle = (\varphi \circ \mathrm L)(\mathsf m) = \varphi\displaystyle(\scriptstyle \mathrm L(\varphi)\displaystyle)\scriptstyle = \mathrm{ev}_{\mathrm L(\mathsf m)}(\varphi),
    to z faktu, iż równość ta zachodzi dla dowolnego \scriptstyle \mathsf m, to \scriptstyle \mathrm L można utożsamiać z \scriptstyle \mathrm L^{\star\star}.
  21. Założenia o skończonym generowaniu i wolności modułów \scriptstyle M, N potrzebne są jedynie do zapewnienia, iż odwzorowania naturalne \scriptstyle M \to M^{\star\star} i \scriptstyle \mathrm N \to N^{\star\star} są izomorfizmami – w istocie wystarczy więc założenie refleksywności wspomnianych modułów.
  22. Należy wykazać, że \scriptstyle \mathbf L^\star = \mathbf L^\mathrm T; niech \scriptstyle [\cdot]_E\colon M \to R^m i \scriptstyle [\cdot]_F\colon N \to R^n będą izomorfizmami wyrażającymi elementy modułów w odpowiednich bazach, podobnie niech dane będą \scriptstyle [\cdot]_{E^\star}\colon M^\star \to R^m oraz \scriptstyle [\cdot]_{F^\star}\colon N^\star \to R^n. Macierze \scriptstyle \mathbf L i \scriptstyle \mathbf L^\star są realizacjami przekształceń \scriptstyle \mathrm L i \scriptstyle \mathrm L^\star w wybranych bazach, tj. [\scriptstyle \mathrm L(\mathsf m)\displaystyle]\scriptstyle_F = \mathbf L[\mathsf m]_E oraz [\scriptstyle \mathrm L^\star(\varphi)\displaystyle]\scriptstyle_{E^\star} = \mathbf L[\varphi]_{F^\star} dla \scriptstyle \mathsf m \in M i \scriptstyle \varphi \in N^\star. Ponieważ \scriptstyle [\mathsf e_j]_E jest \scriptstyle j-tym wektorem bazy standardowej \scriptstyle R^m, to \scriptstyle j-tą kolumną \scriptstyle \mathbf L jest \scriptstyle \mathbf L[\mathsf e_j]_E = \displaystyle[\scriptstyle \mathrm L(\mathsf e_j)\displaystyle]\scriptstyle_F; ponieważ \scriptstyle i-tą składową tego wektora współrzędnych w \scriptstyle R^m jest \scriptstyle f_i^\star\displaystyle(\scriptstyle \mathrm L(\mathsf e_j)\displaystyle), gdyż \scriptstyle \left[\mathsf f_i^\star\right]_{F^\star} jest \scriptstyle i-tym wektorem bazy \scriptstyle F. Wynika stąd, że \scriptstyle (i, j)-tym elementem macierzy \scriptstyle \mathbf L jest \scriptstyle f_i^\star\displaystyle(\scriptstyle \mathrm L(\mathsf e_j)\displaystyle). Z drugiej strony \scriptstyle i-tą kolumną \scriptstyle \mathbf L^\star jest \scriptstyle \mathbf L^\star\left[\mathsf f_i^\star\right]_{F^\star}, gdyż \scriptstyle \left[\mathsf f_i^\star\right]_{F^\star} jest \scriptstyle i-tym wektorem bazy standardowej \scriptstyle R^n, a z powyższej obserwacji wynika, że \scriptstyle \mathbf L^\star\left[\mathsf f_i^\star\right]_{F^\star} = \displaystyle[\scriptstyle \mathrm L^\star(\mathsf f_i^\star)\displaystyle]\scriptstyle_{E^\star}. Funkcje współrzędnych na \scriptstyle M^\star względem \scriptstyle E^\star są bazą dualną do tej bazy dualnej, co oznacza, że należą one do pierwotnej bazy \scriptstyle E przy utożsamieniu \scriptstyle M \simeq M^{\star\star} poprzez przekształcenie naturalne. W ten sposób \scriptstyle j-tą współrzędną wektora [\scriptstyle \mathrm L^\star(\mathsf f_i^\star)\displaystyle]\scriptstyle_{E^\star} jest \scriptstyle \mathrm{ev}_{\mathsf e_j}\displaystyle(\scriptstyle \mathrm L^\star(\mathsf f_i^\star)\displaystyle)\scriptstyle = \displaystyle(\scriptstyle \mathrm L^\star(\mathsf f_i^\star)\displaystyle)\scriptstyle(\mathsf e_j), z definicji \scriptstyle \mathrm L^\star jest zaś \scriptstyle \mathrm L^\star\left(\mathsf f_i^\star\right) = \mathsf f_i^\star \circ \mathrm L, a więc \scriptstyle (j, i)-ty element \scriptstyle \mathbf L^\star jest równy \scriptstyle (i, j)-temu elementowi \scriptstyle \mathbf L, co oznacza, że \scriptstyle \mathbf L^\star = \mathbf L^\mathrm T.
  23. Należy pokazać, że dla \scriptstyle \varphi \in N^\star oraz \scriptstyle \mathrm L^\star(\varphi) = 0 zachodzi \scriptstyle \varphi = 0. Z definicji jest \scriptstyle \varphi \circ \mathrm L = 0 jako funkcja \scriptstyle M \to R, a więc \scriptstyle \varphi\displaystyle(\scriptstyle \mathrm L(\mathsf m)\displaystyle)\scriptstyle = 0 dla wszystkich \scriptstyle \mathsf m \in M. Ponieważ \scriptstyle \mathrm L jest „na”, to \{\scriptstyle \mathrm L(\mathsf m)\colon \mathsf m \in M\displaystyle\}\scriptstyle = N, skąd \scriptstyle \varphi = 0 jako forma na \scriptstyle N.
  24. Niech \scriptstyle R = N = \mathbb Z oraz \scriptstyle M = 2\mathbb Z, zaś \scriptstyle \mathrm L\colon M \to N będzie zanurzeniem naturalnym. Forma \scriptstyle \varphi\colon M \to R dana wzorem \scriptstyle \varphi(2a) = a jest liniowa, tj. \scriptstyle \varphi \in M^\star. Fakt, iż \scriptstyle \varphi należy do obrazu \scriptstyle \mathrm L^\star oznacza, że \scriptstyle \varphi przedłuża się (za pomocą \scriptstyle \mathrm L) do pewnej funkcji na \scriptstyle N^\star oznaczanej dalej \scriptstyle \Phi. Zachodzi \scriptstyle 2\Phi(1) = \Phi(2) = \varphi(2) = 1, co oznacza, że \scriptstyle \Phi(1) nie ma rozwiązania w \scriptstyle R = \mathbb Z, a więc \scriptstyle \Phi nie istnieje. Istotnie, do obrazu \scriptstyle \mathrm L^\star należą te elementy \scriptstyle M^\star, których obrazem w \scriptstyle R jest \scriptstyle 2\mathbb Z; moduł \scriptstyle M = 2\mathbb Z można zastąpić tu \scriptstyle k\mathbb Z dla dowolnego \scriptstyle k > 1.
  25. Przypadki \scriptstyle M, N = \{\mathsf 0\} są trywialne. Ponieważ przestrzenie liniowe określone są nad ciałami, to podprzestrzeń \scriptstyle \mathrm L(M) ma dopełnienie proste w \scriptstyle N: wybierając bazę w \scriptstyle \mathrm L(M) i rozszerzając ją do bazy \scriptstyle N można zapisać \scriptstyle N = \mathrm L(M) \oplus P, gdzie \scriptstyle P jest pewną podprzestrzenią (rozpinaną przez rozszerzenie bazy). Dowolna forma liniowa \scriptstyle \mathrm L(M) \to K może być rozszerzona do formy \scriptstyle N \to K poprzez rzutowanie z \scriptstyle N na \scriptstyle \mathrm L(M) zgodnie z powyższym rozkładem na sumę prostą, a następnie przyłożenie wybranej formy na \scriptstyle \mathrm L(M). Rozumowanie przedstawione we wprowadzeniu do twierdzenia pokazuje, iż \scriptstyle \mathrm L^\star jest „na”. Dowód można zakończyć także w następujący sposób: niech \scriptstyle \pi\colon N \to M będzie rzutem \scriptstyle N \to \mathrm L(M) złożonym z funkcją odwrotną do \scriptstyle \mathrm L (istnieje, gdyż \scriptstyle \mathrm L z \scriptstyle M na \scriptstyle \mathrm L(M) jest „1-1”, a więc wzajemnie jednoznaczna), tj. \scriptstyle \pi\displaystyle(\scriptstyle \mathrm L(\mathbf m) + \mathbf p\displaystyle)\scriptstyle = \mathbf m; jest ono liniowe oraz \scriptstyle \pi \circ \mathrm L = \mathrm{id}_M. Dualizacja daje \scriptstyle \mathrm L^\star \circ \pi^\star = \mathrm{id}_{M^\star}, co oznacza, że \scriptstyle \mathrm L^\star jest „na”, gdyż dla każdego \scriptstyle \varphi \in M^\star zachodzi \scriptstyle \mathrm L^\star\displaystyle(\scriptstyle \pi^\star(\varphi)\displaystyle)\scriptstyle = \varphi.
  26. Własność \scriptstyle N = \mathrm L(M) \oplus P dla pewnego podmodułu \scriptstyle P, uzyskana w powyższym dowodzie dla przestrzeni liniowych za pomocą baz, przyjęta jako założenie umożliwia powtórzenie powyższego dowodu w przypadku modułów.
  27. Podany wyżej kontrprzykład korzysta z faktu, iż \scriptstyle 2\mathbb Z nie jest składnikiem prostym \scriptstyle \mathbb Z.
  28. Funkcje \scriptstyle \varphi_\mathbf v są liniowe, zatem należą do \scriptstyle \left(\mathbb R^n\right)^\star; co więcej, ponieważ \scriptstyle \varphi_{\mathbf v + \mathbf v'} = \varphi_\mathbf v + \varphi_{\mathbf v'} oraz \scriptstyle\varphi_{c\mathbf v} = c\varphi_\mathbf v dla każdego \scriptstyle c \in \mathbb R, to odwzorowanie \scriptstyle \mathbf v w \scriptstyle \varphi_\mathbf v jest przekształceniem liniowym \scriptstyle \mathbb R^n \to \left(\mathbb R^n\right)^\star. Jest ono iniektywne, gdyż jeśli \scriptstyle \varphi_\mathbf v = 0 należy do \scriptstyle \left(\mathbb R^n\right)^\star, to wtedy \scriptstyle \mathbf v \cdot \mathbf w = 0 dla każdego \scriptstyle \mathbf w \in \mathbb R^n, z kolei wzięcie \scriptstyle \mathbf w = \mathbf e_1, \dots, \mathbf e_n daje \scriptstyle \mathbf v = 0. Aby pokazać suriektywność należy wybrać \scriptstyle f \in \left(\mathbb R^n\right)^\star; wówczas dla każdego \scriptstyle \mathbf w = (w_1, \dots, w_n) = \sum w_i \mathbf e_i należącego do \scriptstyle \mathbb R^n jest \scriptstyle f(\mathbf w) = f\displaystyle(\scriptstyle\sum w_i \mathbf e_i\displaystyle)\scriptstyle = \sum w_i f(\mathbf e_i) = \varphi_\mathbf v(\mathbf w), gdzie \scriptstyle \mathbf v = \displaystyle(\scriptstyle f(\mathbf e_1), \dots, f(\mathbf e_n)\displaystyle)\scriptstyle, czyli \scriptstyle f = \varphi_\mathbf v dla tego wyboru \scriptstyle \mathbf v.
  29. Izomorfizm \scriptstyle R^\star \simeq R opisuje wzór \scriptstyle \varphi \mapsto \varphi(1), a w drugą stronę – \scriptstyle a \mapsto \varphi_a.
  30. Jeśli \scriptstyle f \in \mathbb Q^\star, to dla dowolnego \scriptstyle r \in \mathbb Q liczba całkowita \scriptstyle f(r) spełnia \scriptstyle f(r) = 2^n f\left(r/2^n\right), gdzie \scriptstyle f\left(r/2^n\right) \in \mathbb Z, co oznacza, że \scriptstyle f(r) jest podzielne przez dowolnie wysokie potęgi \scriptstyle 2. Zatem \scriptstyle f(r) = 0 dla wszystkich \scriptstyle r, a więc \scriptstyle f = 0.
  31. Która jest w istocie izomorficzna z \scriptstyle \mathbb Q.
  32. Gdyż homomorfizm grup przeprowadza elementy skończonego rzędu \scriptstyle A na elementy skończonego rzędu \scriptstyle \mathbb Z, a jedynym takim elementem tej grupy jest \scriptstyle 0.
  33. Tego rodzaju dualność nie zdradza nic na temat struktury skończonej grupy abelowej – z tego powodu wprowadza się osobne pojęcie grupy dualnej (w sensie Pontriagina): \scriptstyle \hat A = \mathrm{Hom}(A, S^1), czyli zbiór homomorfizmów z \scriptstyle A w grupę okręgu \scriptstyle S^1 \subset \mathbb C^\times z mnożeniem jako działaniem grupowym; znajduje ono zastosowanie podczas badania charakterów na skończonych grupach abelowych. Dualność Pontriagina stanowi kluczowy element analizy fourierowskiej na lokalnie zwartych grupach abelowych będących uogólnieniem skończonych grup abelowych.
  34. Dla każdego \scriptstyle cI \subseteq R funkcja \scriptstyle x \mapsto cx jest przekształceniem liniowym \scriptstyle I \to R. W drugą stronę, niech \scriptstyle \varphi\colon I \to R będzie formą liniową. Dla ustalonego \scriptstyle a \in I zachodzi \scriptstyle \varphi(ax) = a\varphi(x) = x\varphi(a) = \varphi(a)x, czyli \scriptstyle \varphi(x) = cx dla \scriptstyle c = \varphi(a)/a \in K dla każdego \scriptstyle x \in I. Stąd \scriptstyle cI = \varphi(I) \subseteq R, czyli każdy element \scriptstyle I^\star powstaje w ten sposób.
  35. Gdyż są to funkcje współrzędnych dla bazy standardowej, tj. \scriptstyle f_1(a + bi) = a i \scriptstyle f_2(a + bi) = b dla rzeczywistych \scriptstyle a, b, a więc \scriptstyle f_1 = \mathrm{Re} jest funkcją części rzeczywistej, a \scriptstyle f_2 = \mathrm{Im} jest funkcją części urojonej.
  36. Należy wyrazić \scriptstyle \mathrm L^\star(\mathrm{Re}) i \scriptstyle \mathrm L^\star(\mathrm{Im}) w bazie dualnej: skoro wyrazy te odpowiednio są równe \scriptstyle \mathrm{Re} \circ \mathrm L oraz \scriptstyle \mathrm{Im} \circ \mathrm L, to należy wyznaczyć części rzeczywistą i urojoną wartości odwzorowania \scriptstyle \mathrm L. Ponieważ dla każdego \scriptstyle z = a + bi \in \mathbb C jest
    \scriptstyle \mathrm L(z) = (2 + i)z + \overline z = (2 + i)(a + bi) + a - bi = (3a - b) + (a + b)i,
    to część rzeczywista \scriptstyle \mathrm L(z) wynosi \scriptstyle 3a - b = 3\mathrm{Re}(z) - \mathrm{Im}(z), podczas gdy jej część urojona to \scriptstyle a + b = \mathrm{Re}(z) + \mathrm{Im}(z), co oznacza, iż \scriptstyle \mathrm L^\star(\mathrm{Re}) = 3\mathrm{Re} - \mathrm{Im} oraz \scriptstyle \mathrm L^\star(\mathrm{Im}) = \mathrm{Re} + \mathrm{Im}.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • A.I. Kostrikin: Wstęp do algebry, cz. 2 Algebra liniowa. Warszawa: PWN, 2004. ISBN 83-01-14267-7.
  • H.G. Dales: Banach algebras and automatic continuity. T. 24. Oxford: New Series (The Clarendon Press Oxford University Press), 2000, s. 25, seria: London Mathematical Society Monographs. ISBN 0-19-850013-0.