Iloczyn mieszany

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Iloczyn mieszany – w matematyce działanie określone dla trzech wektorów trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej jako iloczyn skalarny jednego z nich przez iloczyn wektorowy dwóch pozostałych. Jeśli \scriptstyle \mathbf a, \mathbf b, \mathbf c są dowolnymi wektorami \scriptstyle \mathbb R^3, to ich iloczyn mieszany definiuje się jako

(\mathbf a\; \mathbf b\; \mathbf c) := \mathbf a \cdot (\mathbf b \times \mathbf c),

przy czym zachodzą również równości

\mathbf a \cdot (\mathbf b \times \mathbf c) = \mathbf b \cdot (\mathbf c \times \mathbf a) = \mathbf c \cdot (\mathbf a \times \mathbf b),

co oznacza, że każda z nich może zostać użyta w definicji (nawiasy można pominąć, gdyż wykonanie iloczynu skalarnego jako pierwszego oznaczałoby konieczność obliczenia iloczynu wektorowego skalara przez wektor, które nie jest określone).

Za pomocą symbolu Leviego-Civity iloczyn mieszany można określić wzorem (w konwencji sumacyjnej Einsteina)

(\mathbf a\; \mathbf b\; \mathbf c) = \varepsilon_{ijk} a^i b^j c^k.

Interpretacja geometryczna[edytuj | edytuj kod]

Trzy wektory określające równoległościan z zaznaczonymi odpowiednimi iloczynami wektorowymi i mieszanymi.
Information icon.svg Zobacz też: orientacjawyznacznik.

W dodatnio zorientowanym układzie współrzędnych iloczyn mieszany opisuje objętość równoległościanu rozpiętego przez dane trzy wektory. Jeśli orientacja przestrzeni nie jest narzucona, to wspomniana objętość również jest zorientowana w tym sensie, iż zależy ona od kolejności wektorów (parzystości ich permutacji). Zmiana orientacji powoduje zmianę znaku iloczynu, w związku z tym iloczyn mieszany nie jest skalarem, a raczej pseudoskalarem (iloczyn wektorowy jest pseudowektorem, a iloczyn skalarny dwóch wektorów jest skalarem, zaś iloczyn skalarny pseudowektora i wektora jest pseudoskalarem). Wynika stąd także, że zmiana kolejności wektorów w iloczynie wektorowym zmienia znak iloczynu mieszanego (iloczyn skalarny jest przemienny i nie wpływa na znak iloczynu mieszanego),

(\mathbf a\; \mathbf b\; \mathbf c) = \mathbf a \cdot (\mathbf b \times \mathbf c) = -\mathbf a \cdot (\mathbf c \times \mathbf b) = -(\mathbf a\; \mathbf c\; \mathbf b).

Iloczyn mieszany można traktować jako jeszcze jedno oznaczenie wyznacznika: iloczyn mieszany trzech wektorów jest równy ich wyznacznikowi bądź wyznacznikowi macierzy stopnia 3 z wektorami zapisanymi w niej wierszowo bądź kolumnowo (transponowanie macierzy nie zmienia wyznacznika),

(\mathbf a\; \mathbf b\; \mathbf c) = \det(\mathbf a, \mathbf b, \mathbf c) = \det \begin{bmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{bmatrix},

gdzie \scriptstyle \mathbf x = (x_1, x_2, x_3); wielkość ta jest niezmiennicza ze względu na obroty. Stąd iloczyn mieszany ma wszystkie własności wyznacznika, w tym wieloliniowość i alternacyjność; jest więc unormowaną formą objętości.

Wektory \scriptstyle \mathbf a, \mathbf b, \mathbf c są współpłaszczyznowe wtedy i tylko wtedy, gdy ich iloczyn mieszany jest równy zeru, gdyż „równoległościan” przez nie wyznaczony jest wtedy płaski (zdegenerowany) i nie ma objętości. Ponadto

\Big|(\mathbf a\; \mathbf b\; \mathbf c)\Big| \leqslant |\mathbf a| |\mathbf b| |\mathbf c|.

Zachodzi także następująca własność:

(\mathbf a\; \mathbf b\; \mathbf c) \mathbf a = (\mathbf a \times \mathbf b) \times (\mathbf a \times \mathbf c).

Iloczyn zewnętrzny[edytuj | edytuj kod]

Trójwektor jako forma objętości, czyli zorientowany element objętości; obiekt do niego dualny jest skalarem o wartości równej jego objętości.

W algebrach zewnętrznej i geometrycznej iloczyn zewnętrzny dwóch wektorów jest dwuwektorem, czyli zorientowanym elementem płaszczyzny, podczas gdy iloczyn zewnętrzny trzech wektorów to trójwektor, czyli zorientowany element objętości; są to naturalne uogólnienia wektora jako zorientowanego elementu prostej. Dla danych wektorów \scriptstyle \mathbf a, \mathbf b, \mathbf c ich iloczyn zewnętrzny

\mathbf a \wedge \mathbf b \wedge \mathbf c

jest trójwektorem, tzn. pseudoskalarem dualnym do iloczynu mieszanego, o wartości równej iloczynowi mieszanemu (nawiasy pominięto, ponieważ iloczyn zewnętrzny jest łączny, choć nie jest przemienny). Trójwektorowi \scriptstyle \mathbf a \wedge \mathbf b \wedge \mathbf c odpowiada równoległościan rozpięty przez wektory \scriptstyle \mathbf a, \mathbf b, \mathbf c, gdzie dwuwektorom \scriptstyle \mathbf a \wedge \mathbf b,\; \mathbf b \wedge \mathbf c,\; \mathbf a \wedge \mathbf c odpowiadają równoległoboczne ściany równoległościanu.