Artykuł na medal

Twierdzenie o nieskończonej liczbie małp

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Jeśli szympans miałby wystarczająco dużo czasu, to naciskając losowe klawisze jest w stanie napisać jedną ze sztuk Szekspira

Twierdzenie o nieskończonej liczbie małp stwierdza, że małpa naciskająca losowo klawisze maszyny do pisania przez nieskończenie długi czas, prawie na pewno napisze dowolnie wybrany tekst, taki jak na przykład kompletny dorobek Williama Szekspira. W tym kontekście „prawie na pewno” należy traktować ściśle z matematycznego punktu widzenia (zdarzenie przeciwne ma prawdopodobieństwo równe zeru, jednak nie jest zdarzeniem niemożliwym), a „małpa” jest jedynie metaforą dla abstrakcyjnego urządzenia generującego nieskończony losowy ciąg liter. Twierdzenie ilustruje zagrożenia płynące z postrzegania nieskończoności jako olbrzymiej, ale skończonej liczby, a także z rozumowania odwrotnego – postrzegania dużej liczby jako nieskończoności. Prawdopodobieństwo napisania przez małpę zadanego tekstu, złożonego z dużej liczby znaków, jak na przykład Hamlet, jest tak małe, że szansa wystąpienia zadanego ciągu znaków nawet w czasie rzędu wieku wszechświata jest znikoma.

Warianty twierdzenia zakładają kilka, a nawet nieskończenie wiele małp, a długość zadanego tekstu zmienia się od pojedynczego zdania do zawartości całej biblioteki. Historię twierdzenia można prześledzić już od Metafizyki Arystotelesa oraz De natura deorum Cycerona, następnie przez czasy Pascala i Swifta, aż do współczesnych twierdzeń z ich symbolem maszyny do pisania. Na początku XX wieku, Émile Borel i Arthur Eddington użyli tego twierdzenia, by zilustrować skalę czasu znajdującą się u podstaw mechaniki statystycznej. Rozmaici chrześcijańscy apologeci z jednej strony i Richard Dawkins z drugiej, spierali się w kwestii właściwości użycia małp jako metafory ewolucji.

Obecnie zainteresowanie twierdzeniem o małpach piszących na maszynie jest podtrzymywane przez odwołania w literaturze, telewizji i radiu, muzyce i w internecie. Symulująca eksperyment z małpami strona internetowa „Monkey Shakespeare Simulator” zdołała dotrzeć do 24. znaku – „RUMOUR. Open your ears;”[1][2]. W 2003 roku przeprowadzono dla żartu eksperyment z sześcioma makakami czubatymi, ale ich wkład w literaturę ograniczył się jedynie do pięciu stron składających się głównie z liter S, pomijając fakt atakowania i wypróżniania się na klawiaturę[3]. Badacze ocenili, że twierdzenie o nieskończonej liczbie małp nie odnosi się do rzeczywistych małp.

Dowód[edytuj | edytuj kod]

Założenia[edytuj | edytuj kod]

Generalnie można udowodnić, że z prawdopodobieństwem 1 (co nie znaczy na pewno) Hamleta napiszą zarówno jedna małpa z nieograniczonym czasem do dyspozycji, jak i nieskończona liczba małp w skończonym czasie.

Aby twierdzenie było prawdziwe konieczne są pewne założenia:

  • Każda litera ma niezerowe prawdopodobieństwo. Gdyby np. małpy omijały literę H, Hamlet nie zostałby nigdy napisany.
  • Małpy nie zmieniają zachowania (proces „małpa” jest stacjonarny). Gdyby małpy wciskały H coraz rzadziej, to przy pewnych założeniach twierdzenie o napisaniu Hamleta przez jedną małpę w nieskończonym czasie także byłoby fałszywe.
  • Każda litera jest niezależna od pozostałych. Gdyby np. po literze H zawsze następowało jej powtórzenie, Hamlet nie zostałby nigdy napisany.

Prawdopodobieństwo[edytuj | edytuj kod]

Ignorując znaki interpunkcyjne, spacje oraz pisownię wielką literą, małpa pisząca z równomiernym rozkładem prawdopodobieństwa ma jedną szansę na 26[4], by poprawnie napisać pierwszą literę Hamleta. Ma jedynie jedną szansę na 676 (26 razy 26), by napisać dwie pierwsze litery. Ponieważ prawdopodobieństwo spada wykładniczo, przy 20 literach ma zaledwie jedną szansę na 2620 = 19 928 148 895 209 409 152 340 197 376. W przypadku całego tekstu Hamleta prawdopodobieństwo to jest niewyobrażalnie małe. Załóżmy, że tekst Hamleta zawiera 130 000 znaków (w rzeczywistości więcej, nawet pozbawiony interpunkcji). Wtedy prawdopodobieństwo wylosowania takiego tekstu jest jak 1 do 3,4×10183946. Średnia liczba liter, jakie trzeba napisać, wynosi więc 3,4×10183946[5].

Dla porównania, istnieje jedynie około 1079 atomów w obserwowalnym Wszechświecie i zaledwie 4,3×1017 sekund upłynęło od Wielkiego Wybuchu. Nawet jeśli wszechświat byłby wypełniony małpami piszącymi bez przerwy, ich całkowite prawdopodobieństwo stworzenia pojedynczego Hamleta byłoby i tak mniejsze niż 1 do 10183800. Jak ujęli to Kittel i Kroemer, „Prawdopodobieństwo napisania Hamleta jest więc równe zeru dla każdej możliwej realizacji”, a stwierdzenie, że małpom musi ostatecznie się powieść „prowadzi do zwodniczych wniosków o bardzo, bardzo wielkich liczbach”. Wypowiedzi te pochodzą z ich książki o termodynamice, dziedzinie nauki, której statystyczne podstawy sprowokowały pierwsze znane użycie metafory małp piszących na maszynie[6].

Historia[edytuj | edytuj kod]

Mechanika statystyczna[edytuj | edytuj kod]

Jedna ze znanej obecnie matematykom wersji twierdzenia z piszącymi małpami, ukazała się w artykule Émila Borela z 1913 roku zatytułowanym „Mécanique Statistique et Irréversibilité” (Mechanika statystyczna i nieodwracalność)[7] oraz w jego książce "Le Hasard" z 1914.

Jego „małpy” nie są prawdziwymi małpami, a jedynie metaforą nierzeczywistego sposobu tworzenia wielkich, losowych sekwencji znaków. Borel stwierdził, że gdyby milion małp pisał na maszynie po dziesięć godzin dziennie, byłoby skrajnie mało prawdopodobne, że efekt ich pracy byłby dokładną kopią całych księgozbiorów najbogatszych księgarni świata; ale jednocześnie, jest jeszcze mniej prawdopodobne, by prawa mechaniki statystycznej zostały złamane, choćby nieznacznie.

Fizyk Arthur Eddington czerpiąc z wizji Borela, posunął się o krok dalej w The Nature of the Physical World (1928), pisząc:

Jeśli pozwolę moim palcom poruszać się bezładnie po klawiaturze, może się zdarzyć, że otrzymam logiczne zdanie. Jeśli armia małp będzie klikać na swoich maszynach do pisania, mogą napisać wszystkie książki z British Museum. Prawdopodobieństwo, że im się to uda jest zdecydowanie większe, niż prawdopodobieństwo cząsteczek powracających do jednej części naczynia[8].

— Arthur Eddington, The Nature of the Physical World: The Gifford Lectures

Te obrazy zmuszają czytelnika do rozważenia, jak niewielkie jest prawdopodobieństwo, by wielka – ale skończona – liczba małp pisząca przez wielki – ale skończony – okres, była zdolna otrzymać jakieś znaczące dzieło oraz porównania tego z jeszcze mniejszym prawdopodobieństwem niektórych zdarzeń w fizyce. Każdy fizyczny proces mniej prawdopodobny niż powodzenie w przypadku małp, jest w istocie niemożliwy i można bezpiecznie powiedzieć, że nigdy nie wystąpi[6].

Geneza i „La biblioteca total”[edytuj | edytuj kod]

W eseju z 1939 roku zatytułowanym „La biblioteca total” (zupełna biblioteka), argentyński pisarz Jorge Luis Borges prześledził koncepcję nieskończonej liczby małp aż do czasów Metafizyki Arystotelesa. Wyjaśniając poglądy Leucypa, który utrzymywał, że świat powstał z losowej kombinacji atomów, Arystoteles zauważa, że same atomy są nierozróżnialne, a ich możliwe układy różnią się jedynie pozycją i ustawieniem. Grecki filozof porównuje to do faktu, że tragedia i komedia składają się z tych samych „atomów”, to znaczy z tych samych liter. Trzy wieki później w De natura deorum (O naturze bogów) Cyceron sprzeczał się z tym atomistycznym światopoglądem:

Ten, kto daje temu wiarę, może równie dobrze wierzyć, że gdyby rzucono na ziemię wielką liczbę liter alfabetu ze złota czy innego materiału, ułożyłyby się one w takim porządku, by dało się odczytać Annales Enniusza. Wątpię, by los pozwolił na odczytanie choć jednego wersu[9].

— Cyceron, De natura deorum

Borges śledząc historię dyskusji zauważył zmianę języka od czasów Blaise'a Pascala i Jonathana Swifta. Do roku 1939 twierdzenie miało już bowiem postać: „Jeśli dać połowie tuzina małp maszyny do pisania, to w nieskończenie długim czasie, stworzą wszystkie książki z British Museum”[10] (do czego Borges dodaje, że „ściśle rzecz ujmując wystarczyłaby jedna nieśmiertelna małpa”[11]). Borges wyobraża sobie następnie zawartość zupełnej biblioteki, jaka powstałaby przy takim przedsięwzięciu posuniętym do skrajności:

Wszystko znalazłoby się w tych pisanych na ślepo zbiorach. Wszystko: powstałyby szczegółowa historia przyszłości, zaginione utwory Ajschylosa, dokładna liczba razy odbicia przelatującego sokoła w wodach Gangesu, sekret i prawdziwe oblicze Rzymu, encyklopedia Novalis oraz moje sny i świadomy sen o świcie 14 sierpnia 1934 roku, dowód twierdzenia Pierre'a Fermata, nienapisane rozdziały The Mystery of Edwin Drood, te same rozdziały przetłumaczone na język Garamantów, (…) pieśń, którą śpiewały syreny, kompletny katalog tejże biblioteki oraz dowody nieścisłości w tymże katalogu. Wszystko: ale na każdą sensowną linijkę tekstu, czy na konkretny fakt, przypadałyby miliony linijek bezsensownej kakofonii i słownego bełkotu. Wszystko: ale wszystkie pokolenia ludzkości mogłyby przeminąć przed jej oszałamiającymi półkami – półkami przyćmiewającymi dzień i wypełnionymi chaosem – nim te nagrodziłyby ich choć jedną znośną stroną[12].

— Jorge Luis Borges, La biblioteca total

Zastosowania[edytuj | edytuj kod]

Ewolucja[edytuj | edytuj kod]

Thomas Huxley
Błędnie przypisuje się mu wariant teorii.

Rywal Eddingtona, James Jeans w swojej książce The Mysterious Universe z 1931 roku przypisał małpią parabolę Huxley'owi mając prawdopodobnie na myśli Thomasa Henry'ego Huxleya. Jednakże nie miał on racji[13].

Do dziś zdarzają się przypadki przypisywania użycia tego przykładu przez Huxleya w debacie dotyczącej dzieła O powstawaniu gatunków Karola Darwina z anglikańskim biskupem Oxford, Samuelem Wilberforcem, przeprowadzonej na spotkaniu British Association for the Advancement of Science w Oxford 30 czerwca 1860 roku. Fakt użycia porównania do małp jest nie tylko niepotwierdzony, ale na dodatek maszyna do pisania nie była jeszcze znana w roku 1860[14]. Naczelne były wciąż drażliwym tematem z innych względów, a debata między Huxleyem a Wilverforcem odwoływała się do małp: biskup spytał, czy Huxley wywodził się od małpy w linii męskiej czy żeńskiej, na co Huxley odparł, że woli być potomkiem małpy niż kogoś, kto używa tak nieuczciwych argumentów jak biskup[15].

Pomimo pierwotnego zamieszania argument małpy z maszyną do pisania jest obecnie często przytaczany w sporach dotyczących ewolucji. Przykładowo Doug Powell twierdzi jako chrześcijański apologeta, że nawet gdyby małpa przypadkowo napisała treść Hamleta, to i tak nie powiodło jej się stworzyć Hamleta, jako że zabrakło jej intencji do komunikacji. Jego zdaniem, prowadzi to bezpośrednio do wniosku, że natura nie była w stanie wykształcić informacji zawartej w DNA[16]. Częstszy pogląd reprezentuje John MacArthur, który twierdzi, że genetyczne mutacje potrzebne do uzyskania tasiemca z ameby są równie mało prawdopodobne co napisanie przez małpę monologów Hamleta, a co za tym idzie argumenty przeciwko ewolucji całego życia są niemożliwe do przezwyciężenia[17].

Ewolucjonista Richard Dawkins posłużył się koncepcją piszących małp w swojej książce z 1986 roku Ślepy zegarmistrz, by zademonstrować możliwości doboru naturalnego w zakresie tworzenia złożonych form biologicznych poprzez losowe mutacje. W opisywanym przez siebie eksperymencie Dawkins używa swojego programu (Weasel program), by wytworzyć kwestię Hamleta METHINKS IT IS LIKE A WEASEL[18] poprzez pisanie losowych liter, ale ciągle zachowując zgodne z oryginałem części. Istotą jest więc nie generowanie losowego ciągu znaków, a wyłuskiwanie informacji przez dobór naturalny[19].

Inną podstawę do odrzucenia analogii między ewolucją i nieograniczoną małpą stanowi fakt, że małpa pisze jednocześnie tylko jedną literę oraz czyni to niezależnie od innych napisanych liter. Hugh Petrie uważa, że potrzebny jest bardziej skomplikowany model, w jego przypadku w dziedzinie nie biologii, a ewolucji idei:

resize

Aby w pełni oddać analogię, musielibyśmy wyposażyć małpę w bardziej złożoną maszynę do pisania. Musiałaby zawierać całe elżbietańskie zdania i myśli. Musiałaby zawierać elżbietańskie przekonania na temat ludzkich zachowań i ich przyczyn, elżbietańską moralność i naukę oraz struktury językowe do ich wyrażania. Musiałaby prawdopodobnie zawierać również zbiór wszystkich doświadczeń, które kształtowały strukturę przekonań Szekspira jako konkretnego przypadku ówczesnego człowieka. Wtedy, prawdopodobnie, moglibyśmy pozwolić małpie na zabawę z taką maszyną do pisania i tworzenie tekstów, ale niemożliwość uzyskania sztuki Szekspira nie jest już oczywista. Różnica obejmuje bowiem olbrzymią ilość już osiągniętej wiedzy[20].

— Hugh Petrie

James W. Valentine, uznając niewykonalność klasycznego zadania postawionego małpom, uważa, że istnieje warta uwagi analogia między pismem a zwierzęcym genomem w sensie, że obie mają „kombinacyjne, hierarchiczne budowy”, które znacznie zawężają olbrzymią liczbę kombinacji na poziomie alfabetu[21].

Literatura[edytuj | edytuj kod]

R. G. Collingwood spierał się w 1938 roku, że sztuka nie może powstać przypadkowo i sarkastycznie napisał na marginesie swoich recenzji:

[Niektórzy] odrzucili tę propozycję mówiącą, że jeśli małpa bawiłaby się klawiaturą stworzyłaby pełny tekst Szekspira. Każdy czytelnik, nie mający innego zajęcia, może zabawiać się obliczaniem czasu potrzebnego na to, by prawdopodobieństwo było warte obstawienia. Ale interesująca część propozycji leży w objawieniu stanu umysłowego osoby, która identyfikuje «dzieła» Szekspira z ciągiem liter wydrukowanym na stronach książki[22]

— R. G. Collingwood, The Principles of Art

Nelson Goodman przyjął przeciwną pozycję, przedstawiając swoje racje razem z Catherine Elgin przykładem opowiadania Jorge'a Borgesa Pierre Menard, autor del Quijote (Pierre Menard, autor Don Kichota)[23]:

To co napisał Menard jest po prostu kolejnym zapisem tekstu. Każdy z nas może tego dokonać, tak samo jak prasy drukarskie i ksera. Istotnie, mówi się, mając nieskończenie wiele małp (…) jedna ostatecznie wytworzy replikę tekstu. Ta replika, naszym zdaniem, będzie równoważną kopią dzieła Don Quixote, jak rękopis Cervantesa, rękopis Menarda i każda kopia książki jaka kiedykolwiek zostanie wydrukowana[24].

W innym utworze Goodman rozwija: „Fakt, że małpa może być podejrzewana o napisanie swojej kopii przypadkowo nie ma znaczenia. Jest to ten sam tekst i podlega on tym samym interpretacjom…”. Gérard Genette odrzucił argument Goodmana jako wielce wątpliwy[25].

Jorge J. E. Gracia uważa, że pytanie o tożsamość tekstów prowadzi do innego pytania – do pytania o autorstwo. Jeśli małpa jest w stanie napisać na maszynie Hamleta, mimo braku przekazywania żadnej myśli i tym samym dyskwalifikując siebie jako autora, wtedy wydaje się, że tekst nie potrzebuje autorów. Możliwym rozwiązaniem jest uznawanie za autora tego, kto odnajdzie tekst i zidentyfikuje go jako Hamleta; lub, że Szekspir jest autorem, małpa jego pośrednikiem, a znalazca jedynie użytkownikiem tekstu. Te rozwiązania tworzą własne problemy: na przykład gdy małpa działałaby przed urodzeniem Szekspira, lub w przypadku, gdy Szekspir nigdy by się nie narodził lub gdyby nikt nie odnalazł maszynopisu małpy[26].

Generowanie liczb losowych[edytuj | edytuj kod]

Zobacz w Wikiźródłach teksty autorstwa Williama Szekspira

Twierdzenie dotyczy eksperymentu myślowego, którego nie da się w pełni odtworzyć w praktyce z racji potrzeby posiadania nieskończonych zasobów oraz czasu. Mimo to, było ono bodźcem do prac nad skończonymi generatorami losowymi tekstu.

Program komputerowy uruchomiony przez Dana Olivera ze Scottsdale w Arizonie, według artykułu w The New Yorker, zwrócił 4 sierpnia 2004 roku następujący wynik: Po 42 162 500 000 miliardach miliardów lat jedna z grupy „małp” stworzyła tekst:

VALENTINE. Cease toIdor:eFLP0FRjWK78aXzVOwm)-‘;8.t ...

Pierwszych 19 liter tej sekwencji znajduje się w komedii Dwaj panowie z Werony. Inne grupy odtworzyły 18 liter z tragedii Tymon Ateńczyk, 17 z tragedii Troilus i Kresyda oraz 16 z Ryszarda II[27].

1 lipca 2003 roku uruchomiono stronę internetową The Monkey Shakespeare Simulator, zawierającą aplet Javy, który symulował wielką populację losowo piszących małp. Intencją twórców było sprawdzenie jak długo zajmie wirtualnym małpom napisanie kompletnej sztuki Szekspira. Przykładowo aplet wyprodukował poniższy, zgodny w 24 znakach, fragment pochodzący ze sztuki Henryk IV, część 2, wraz z oszacowaniem, że proces zajął „2 737 850 milionów miliardów miliardów miliardów małpo-lat”:

RUMOUR. Open your ears; 9r"5j5&?OWTY Z0d...

Ze względu na ograniczenia mocy obliczeniowej, program używał modelu probabilistycznego (wykorzystując generator liczb losowych) zamiast naprawdę losować tekst i porównywać ze sztukami. Gdy symulator wykrywał zgodność znaków (to jest, gdy wynik z generatora losowego zawierał się w danym przedziale), symulator naśladował wpisanie zgodnych znaków[28]. Obecnie strona już nie istnieje.

Pytania o statystykę opisującą jak często idealna małpa powinna pisać pewne ciągi może prowadzić także do przeprowadzania praktycznych testów generatorów losowych; testy występują w zakresie od zupełnie prostych do „całkiem zaawansowanych”. Profesorowie informatyki George Marsaglia i Arif Zaman relacjonują, że zwykli byli nazywać takie testy „testami zachodzących na siebie m-tek” (overlapping m-tuple tests) na swoich wykładach, gdyż bazowały one na zachodzących na siebie m-tkach kolejnych elementów w losowej sekwencji. Stwierdzili jednak, że nazywanie ich „małpimi testami” pomagało zainteresować studentów. W 1993 roku opublikowali oni raport dotyczący tej klasy testów i ich wyniki dla różnych generatorów liczb losowych[29][30].

Empiria[edytuj | edytuj kod]

Makak czubaty.

Badacze zachowań naczelnych Cheney i Seyfarth zauważają, że prawdziwe małpy rzeczywiście musiałyby polegać na przypadku usiłując uzyskać kopię Romea i Julii. Z wyjątkiem małp człekokształtnych, a zwłaszcza szympansów, dowody wskazują, że małpy nie posiadają umysłu zdolnego do odróżniania swojej wiedzy, emocji i przekonań od innych. Nawet gdyby małpa nauczyła się napisać treść sztuki i opisać zachowania jej postaci, to nie będzie w stanie przeniknąć myśli postaci, w ten sposób prowadząc do ironicznej tragedii[31].

W 2003 roku, wykładowcy i studenci z kursu MediaLab Arts Uniwersytetu Plymouth wykorzystali grant w wysokości 2000 funtów pochodzący z Arts Council by sprawdzić co są w stanie napisać prawdziwe małpy. Pozostawili klawiaturę komputerową w zagrodzie sześciu makaków czubatych w zoo Paignton w Devon w Anglii na miesiąc, z łączem radiowym do publikacji wyników na stronie internetowej. Jeden z badaczy, Mike Phillips, uzasadniał wysokość poniesionych kosztów jako znacznie tańsze niż reality show, ale wciąż „pobudzające i fascynujące widowisko”[32].

Małpy nie tylko stworzyły zaledwie pięć stron[33] składających się głównie z litery S – dominujący samiec zaczął walić w klawiaturę kamieniem, a następnie małpy dokończyły dzieła oddając na nią mocz i kał. Pracownik naukowy zoo stwierdził, że eksperyment miał „małą wartość naukową, z wyjątkiem ukazania, że «twierdzenie o nieskończonej liczbie małp» jest obarczone wadą”. Phillips stwierdził, że sfinansowany przez artystów projekt był głównie rodzajem performance'u, oraz że nauczyli się z niego „strasznie dużo”. Jego konkluzją był fakt, że małpy „nie są generatorami losowymi. Są znacznie bardziej złożone. (…) Były mocno zainteresowane ekranem, na którym widziały, że w przypadku wciśnięcia klawisza coś się działo. Było to w jakimś stopniu działanie zamierzone”[32][34].

Popkultura[edytuj | edytuj kod]

Twierdzenie o nieskończonej liczbie małp i związane z nią obrazy uważa się za potoczną ilustrację rachunku prawdopodobieństwa, rozpowszechnioną raczej dzięki przekazom w popkulturze, niż dzięki wiedzy zdobytej w szkole[35][36].

We wstępie do „Monkeys, Typewriters and Networks – the Internet in the Light of the Theory of Accidental Excellence” (2001, Hoffmann and Hofmann)[37] została zauważona wyjątkowa popularność i zasięg twierdzenia. W 2002 roku, w artykule Washington Post napisano: „Mnóstwo ludzi bawiło wyobrażenie, że nieskończenie duża liczba małp z nieskończenie dużą liczbą maszyn do pisania oraz w nieskończenie długim czasie może ostatecznie napisać dzieła Szekspira”[38]. W 2003 roku, wspomniany wcześniej eksperyment finansowany przez Arts Council z użyciem prawdziwych małp i klawiatury komputerowej został szeroko opisany w relacjach prasowych[39]. W 2007 roku, twierdzenie zostało umieszczone przez magazyn Wired na liście ośmiu klasycznych eksperymentów myślowych[40].

Historia ilustracji „piszących małp” sięga co najmniej czasów użycia przez Borela metafory w jego eseju z 1913 roku i obraz ten powtarzał się wielokrotnie w różnych środkach przekazu. Obecnie, powszechne zainteresowanie piszącymi na maszynie małpami jest podtrzymywane przez liczne nawiązania w literaturze, telewizji i radiu, w muzyce oraz w internecie, a także w komiksach i kabaretach.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. Outer space: Monkey business (ang.). [dostęp 29 września 2007].
  2. Tekst ten pochodzi z Henryka IV, części 2.
  3. News You May Have Missed, But Shouldn't Have (ang.). [dostęp 29 września 2007].
  4. liczba liter w angielskim alfabecie
  5. Dla każdego danego ciągu długości 130 000 znaków ze zbioru od a do z, średnia liczba liter, które należy napisać, by pojawił się ciąg, to około 3,4×10183946, z wyjątkiem sytuacji, gdy wszystkie litery szukanego ciągu są takie same, gdyż wtedy wartość zwiększa się o około 4%, do 3,6×10183946. Tym samym niepowodzenie odnalezienia właściwego ciągu w konkretnym miejscu spada o około 4% prawdopodobieństwa poprawnego ciągu zaczynającego się na następnej pozycji. (To znaczy, dla pozycji oddalonych od siebie o mniej niż długość szukanego ciągu zdarzenia znalezienia go nie są niezależne; występuje korelacja między dwoma trafieniami, taka że szansa na sukces po porażce jest mniejsza niż ogólne prawdopodobieństwo).
  6. 6,0 6,1 Charles Kittel i Herbert Kroemer: Thermal Physics (2nd ed.). 1980, s. 53. ISBN 0-7167-1088-9.
  7. Émile Borel. Mécanique Statistique et Irréversibilité. „J. Phys. 5e série”. 3, s. 189–196, 1913. 
  8. Arthur Eddington: The Nature of the Physical World: The Gifford Lectures. New York: 1928, s. 72. ISBN 0-8414-3885-4.
  9. Marcus Tullius Cicero, De natura deorum
  10. „that a half-dozen monkeys provided with typewriters would, in a few eternities, produce all the books in the British Museum.”
  11. „Strictly speaking, one immortal monkey would suffice.”
  12. Borges, Jorge Luis. La biblioteca total, 1939. Przekład Eliot Weinberger. W Selected Non-Fictions (Penguin: 1999), ISBN 0-670-84947-2.
  13. Thanu Padmanabhan. The dark side of astronomy. „Nature”. 435, s. 20–21, 2005. DOI:doi:10.1038/435020a.  Suzy Platt: Respectfully quoted: a dictionary of quotations. 1993, s. 388–389. ISBN 0-88029-768-9.
  14. Nicholas Rescher: Studies in the Philosophy of Science. 2006, s. 103. ISBN 3-938793-20-1.
  15. J. R. Lucas. Wilberforce and Huxley: A Legendary Encounter. „The Historical Journal”. Czerwiec. 2/22, s. 313–330, 1979.  Dostępne także on-line [1] (dostęp 2007-03-07)
  16. Doug Powell: Holman Quicksource Guide to Christian Apologetics. 2006, s. 60, 63. ISBN 0-8054-9460-X.
  17. John MacArthur: Think Biblically!: Recovering a Christian Worldview. 2003, s. 78–79. ISBN 1-58134-412-0.
  18. Methinks it is like a weaselHamlet określa wygląd obłoku jako podobny do łasicy
  19. Richard Dawkins: The Blind Watchmaker. 1986.
  20. Cytat zawarty w James Blachowicz: Of Two Minds: Nature of Inquiry. 1998, s. 109. ISBN 0-7914-3641-1.
  21. James Valentine: On the Origin of Phyla. 2004, s. 77–80. ISBN 0-226-84548-6.
  22. The Principles of Art s.126, streszczona i z cytatami w Richard J. Sclafani. The logical primitiveness of the concept of a work of art. „British Journal of Aesthetics”. 1. 15, 1975. DOI:doi:10.1093/bjaesthetics/15.1.14. 
  23. „Pierre Menard, autor del Quijote” to opowiadanie o fikcyjnym autorze (Pierre Menard), który pisze tekst Don Kichota identyczny z tym Cervantesa, ale przez narratora-recenzenta postrzegany jako dużo głębszy i bogatszy.
  24. John, Eileen i Dominic Lopes: The Philosophy of Literature: Contemporary and Classic Readings: An Anthology. 2004, s. 96. ISBN 1-4051-1208-5.
  25. Gérard Genette: The Work of Art: Immanence and Transcendence. 1997. ISBN 0-8014-8272-0.
  26. Jorge Gracia: Texts: Ontological Status, Identity, Author, Audience. 1996, s. 1–2, 122–125. ISBN 0-7914-2901-6.
  27. [2] Joan Acocella, „The Typing Life: How writers used to write”, The New Yorker, April 9, 2007, recenzja The Iron Whim: A Fragmented History of Typewriting (Cornell) 2007, Darren Wershler-Henry
  28. The Monkey Shakespeare Simulator. [dostęp 2006-06-13]. W dniu 2007-02-02 łącze nieaktywne.
  29. George Marsaglia i Arif Zaman. Monkey Tests for Random Number Generators. „Computers & Mathematics with Applications”. 9, s. 1–10, 1993. 
  30. Ora E. Percus, Paula A. Whitlock. Theory and application of Marsaglia's monkey test for pseudorandom number generators. „ACM Transactions on Modeling and Computer Simulation”. 5. doi:10.1145/210330.210331 (ang.). 
  31. Dorothy L. Cheney i Robert M. Seyfarth: How Monkeys See the World: Inside the Mind of Another Species. 1992, s. 253–255. ISBN 0-226-10246-7.
  32. 32,0 32,1 No words to describe monkeys' play. BBC News, 2003-05-09. [dostęp 2007-02-05].
  33. Notes Towards the Complete Works of Shakespeare. vivaria.net, 2002. [dostęp 2006-06-13].
  34. Associated Press: Monkeys Don't Write Shakespeare. Wired News, 2003-05-09. [dostęp 2007-03-02].
  35. Why Creativity Is Not like the Proverbial Typing Monkey Jonathan W. Schooler, Sonya Dougal, Psychological Inquiry, tom 10, nr 4 (1999)
  36. The Case of the Midwife Toad (Arthur Koestler, Nowy Jork, 1972, s. 30): „Neodarwinizm w istocie sięga szczytu dziewiętnastowiecznego piętna materializmu, jakim jest przysłowiowa małpa z maszyną do pisania, pisząca całkowicie losowo, trafiając w odpowiednie klawisze, by uzyskać sonet Szekspira.” Źródło: Parable of the Monkeys
  37. Monkeys, Typewriters and Networks, Ute Hoffmann & Jeanette Hofmann, Wissenschaftszentrum Berlin für Sozialforschung gGmbH (WZB), 2001
  38. "Hello? This is Bob", Ken Ringle, Washington Post, 2002-10-28, s. C01.
  39. Notes Towards the Complete Works of Shakespeare – zbiór wycinków prasowych.
  40. The Best Thought Experiments: Schrödinger's Cat, Borel's Monkeys, Greta Lorge, Wired, numer 15.06, Maj 2007.

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]