Całka Bochnera

Całka Bochnera – rozszerzenie pojęcia całki oznaczonej o funkcje przybierające wartości w przestrzeni Banacha. Wprowadzona w 1933 roku przez Salomona Bochnera.

Definicja

Niech $(\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )$ będzie przestrzenią z miarą, $A\in {\mathcal {A}}$ oraz niech $X$ będzie przestrzenią Banacha.

• Funkcję $f\colon \Omega \to X$ nazywamy uogólnioną funkcją prostą, gdy zbiór $f(\Omega )$ jest przeliczalny oraz $f^{-1}(\{x\})\in {\mathcal {A}}$ dla każdego $x\in X.$
• Funkcję $f\colon A\to X$ nazywamy całkowalną w sensie Bochnera, gdy istnieje taki ciąg uogólnionych funkcji prostych $f_{n}\colon A\to X,\,n\in \mathbb {N} ,$ że

1. $\lim _{n\to \infty }f_{n}(\omega )=f(\omega )$ dla $\mu$-p.w. $\omega \in A,$
2. $\int \limits _{A}\|f_{n}(\omega )\|\mu (d\omega )<\infty ,\,n\in \mathbb {N} ,$
3. $\lim _{n\to \infty }\int \limits _{A}\|f_{n}(\omega )-f(\omega )\|\mu (d\omega )=0.$

Jeżeli $f\colon A\to X$ jest całkowalna w sensie Bochnera, to punkt

$\int \limits _{A}fd\mu \in X$

określony wzorem

$\int \limits _{A}fd\mu =\lim _{n\to \infty }\int \limits _{A}f_{n}d\mu ,$

gdzie $f_{n}\colon A\to X,\,n\in \mathbb {N}$ jest dowolnym ciągiem uogólnionych funkcji prostych o własnościach 2. i 3., nazywamy całką Bochnera funkcji $f$ względem miary $\mu .$

Charakteryzacja klasy funkcji całkowalnych w sensie Bochnera

Niech $f\colon A\to X.$ Każde z następujących zdań jest równoważne:

• $f$ jest całkowalna w sensie Bochnera.
• $f$ jest $\mu$-mierzalna i spełniony jest warunek 1.
• Istnieje ciąg $f_{n}\colon A\to X,\,n\in \mathbb {N}$ ${\mathcal {A}}$-mierzalnych uogólnionych funkcji prostych i taki podzbiór ${\mathcal {A}}$-mierzalny $N\subseteq A,$ że $\mu (N)=0$ oraz ciąg $f_{n}|_{A\setminus N},n\in \mathbb {N}$ jest jednostajnie zbieżny do funkcji $f|_{A\setminus N}$ i spełnione są warunki 2. i 3.

Własności

Wiele właściwości całki Lebesgue występuje również dla całki Bochnera. Przykładem jest kryterium całkowalności w sensie Bochnera, które mówi, że jeśli $\mu$ jest miarą skończoną, to funkcja $f\colon \Omega \to X$ jest całkowalna w sensie Bochnera wtedy i tylko wtedy, gdy

$\int \limits _{\Omega }\|f(\omega )\|\mu (d\omega )<\infty .$

Jeżeli funkcja $f\colon \Omega \to X$ jest całkowalna w sensie Bochnera, to jest całkowalna w sensie Pettisa i obie całki są równe.

Bibliografia

• Salomon Bochner. Integration von Funktionen, deren Werte die Elemente eines Vectorraumes sind. „Fundamenta Mathematicae”. 20, s. 262–276, 1933. 
• Joseph Diestel: Sequences and series in Banach spaces. Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, 1984. ISBN 0-387-90859-5. Brak numerów stron w książce
• Joseph Diestel, J.J. Uhl: Vector measures. Providence, R.I.: American Mathematical Society, 1977. ISBN 978-0-8218-1515-1. Brak numerów stron w książce
• Serge Lang: Real analysis. Addison-wesley, 1969. ISBN 0-201-04172-3. Brak numerów stron w książce (now published by springer Verlag)
• V.I. Sobolev: Całka Bochnera. Michiel Hazewinkel (red.). w: Encyclopaedia of Mathematics Kluwer Academic Publishers, 2001. ISBN 978-1556080104. (ang.). Brak numerów stron w książce
• D. van Dulst: Vector measures. Michiel Hazewinkel (red.). w: Encyclopaedia of Mathematics Kluwer Academic Publishers, 2001. ISBN 978-1556080104. (ang.). Brak numerów stron w książce