Endomorfizm Frobeniusa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Endomorfizm Frobeniusa – szczególny endomorfizm pierścieni przemiennych o charakterystyce wyrażającej się liczbą pierwszą w szczególności ciał. Endomorfizm przekształca każdy element w jego -tą potęgę. W niektórych okolicznościach endomorfizm ten jest automorfizmem, lecz nie jest to prawdą w ogólności. Nosi on miano od nazwiska Ferdinanda Georga Frobeniusa, matematyka.

Definicja[edytuj]

Niech będzie pierścieniem przemiennym o (dodatniej) charakterystyce wyrażającej się liczbą pierwszą (charakterystyka zawsze jest liczbą pierwszą, jeżeli pierścień jest przykładowo dziedziną całkowitości). Endomorfizm Frobeniusa określony jest wzorem

dla wszystkich elementów Jest on zgodny z mnożeniem w gdyż

a ponadto widać, iż Interesujące jest jednak, że jest on również zgodny z dodawaniem w Wyrażenie można rozwinąć za pomocą twierdzenia o dwumianie: ponieważ jest liczbą pierwszą, to dzieli ona lecz nie dzieli dla skąd wynika, że będzie dzielić licznik, ale nie mianownik jawnego wzoru na współczynniki dwumienne

dla Dlatego też współczynniki wszystkich wyrazów poza oraz są podzielne przez które jest charakterystyką, przez co znikają. Zatem

co dowodzi, że jest homomorfizmem pierścieni.

W ogólności nie jest automorfizmem. Niech będzie na ciałem tzn. ciałem skończonym o elementach z dołączonym jednym elementem przestępnym Okazuje się, że obraz nie zawiera co można pokazać przez sprzeczność: niech istnieje taki element którego obrazem w jest Element ten jest funkcją wymierną której -ta potęga wynosi W związku z tym co jest niemożliwe. W ten sposób endomorfizm nie jest suriektywny, przez co nie jest automorfizmem.

Jest również możliwe, by nie było iniektywne; dzieje się tak wtedy i tylko wtedy, gdy pierścień ma element nilpotentny rzędu nie większego niż

Punkty stałe[edytuj]

Niech będzie dziedziną całkowitości. Przekształcenie Frobeniusa przekształca na siebie wszystkie elementy które spełniają równość Są to wszystkie pierwiastki równania a ponieważ jest ono stopnia to może mieć ono co najwyżej rozwiązań. Są to dokładnie elementy Wynika stąd, że zbiór punktów stałych jest ciałem prostym.

Iterowanie odwzorowania Frobeniusa daje ciąg elementów postaci

Przyłożenie -tej iteracji do pierścienia zawierającego ciało o elementach daje, podobnie jak w powyższym przykładzie, zbiór punktów stałych równy Iteracje przekształcenia Frobeniusa wykorzystuje się również do definiowania domknięcia Frobeniusa i domknięcia ciasnego (ang. tight closure) ideału.

Ciała skończone[edytuj]

Niech oznacza ciało skończone o elementach, gdzie Zgodnie z powyższym rozumowaniem ustala Jeżeli to druga iteracja przekształcenia Frobeniusa, ustala elementów, zatem ustala także W ogólności ustala Co więcej, generuje grupę Galois dowolnego rozszerzenia ciał skończonych.

Schematy[edytuj]

Korzystając z powyższej obserwacji łatwo rozszerzyć przekształcenie Frobeniusa na schematy. Niech będzie schematem nad ciałem charakterystyki Wybierzmy dowolny podzbiór afiniczny (zob. spektrum pierścienia). Ponieważ jest -schematem, to zawiera się w Powoduje to, iż musi być pierścieniem charakterystyki dzięki czemu można zdefiniować endomorfizm Frobeniusa dla jak wyżej. Przekształcenie komutuje z lokalizacją, przez co skleja się dając endomorfizm

Jednakże nie musi być endomorfizmem -schematów. Jeżeli nie jest to nie ustali i w konsekwencji nie będzie przekształceniem -algebr. Częściowym rozwiązaniem tego problemu jest zwrócenie uwagi na zawieranie w ponieawż jest -schematem, to jest także -schematem. W ten sposób jest także odwzorowaniem -schematów.

Ciała lokalne[edytuj]

Definicja dla schematów automatycznie przenosi się na definicje dla ciał lokalnych i globalnych, jednak ze względu na jasność opisu przypadki te zostaną potraktowane osobno.

Definicję endomorfizmu Frobeniusa dla ciał skończonych można rozszerzyć na inne rodzaje rozszerzeń ciał. Dla nierozgałęzionego rozszerzenia skończonego ciał lokalnych istnieje pojęcie endomorfizmu Frobieniusa, które indukuje endomorfizm Frobeniusa na odpowiadającym rozszerzeniu ciał reszt.

Niech będzie nierozgałęzionym rozszerzeniem ciał lokalnych wraz pierścieniem liczb całkowitych ciała takim, że ciało reszt – liczby całkowite modulo ich jednoznacznie określony ideał maksymalny – jest ciałem skończonym rzędu Jeżeli jest ideałem pierwszym nad to nierozgałęzienie oznacza, że liczby całkowite ciała modulo ciała reszt jest ciałem skończonym rzędu stanowiącym rozszerzenie ciała reszt gdzie oznacza stopień Przekształcenie Frobeniusa można zdefiniować dla elementów pierścienia liczb całkowitych ciała wzorem

Ciała globalne[edytuj]

W algebraicznej teorii liczb elementy Frobeniusa są zdefiniowane dla rozszerzeń ciał globalnych, które są skończonymi rozszerzeniami Galois dla ideałów pierwszych ciała nierozgałęzionych w Ponieważ rozszerzenie jest nierozgałęzione, to grupa rozkładu jest grupą Galois rozszerzenia ciał reszt. Element Frobeniusa może być określony dla elementów pierścienia liczb całkowitych jak w przypadku lokalnym, wzorem

gdzie jest rzędem ciała rozkładu

Podniesienia endomorfizmów Frobeniusa są związane z p-pochodnymi.

Przykłady[edytuj]

Wielomian ma wyróżnik równy jest więc nierozgałęziony dla liczby pierwszej jest także nierozkładalny modulo Dlatego dołączenie jego pierwiastka do ciała liczb -adycznych daje nierozgałęzione rozszerzenie ciała Można znaleźć obraz w przekształceniu Frobeniusa poprzez wskazanie pierwiastka najbliższego co można osiągnąć metodą Newtona. W ten sposób uzyskuje się element pierścienia liczb całkowitych jest to wielomian czwartego stopnia względem o współczynnikach będących -adycznymi liczbami całkowitymi Wielomianem tym, modulo jest

Jest on algebraiczny nad i jest poprawnym obrazem endomorfizmu Frobeniusa w sensie zanurzenia w co więcej algebraiczne są współczynniki, dlatego wynik może być wyrażony algebraicznie. Jednakże są one stopnia rzędu grupy Galois, co ilustruje fakt, iż obliczenia będą prostsze, jeżeli wystarczające będą wyniki -adyczne.

Jeżeli jest rozszerzeniem abelowym ciał globalnych, to można uzyskać o wiele silniejsze przystawanie, ponieważ zależy ona tylko od elementu pierwszego wyjściowego ciała Rozważając przykładowo rozszerzenie ciała uzyskanego przez dołączenie pierwiastka spełniającego

do widać, iż rozszerzenie to jest cykliczne rzędu piątego i ma pierwiastki

gdzie jest liczbą całkowitą. Ma ono pierwiastki będące wielomianami Czebyszewa zmiennej

są wynikami przekształcenia Frobeniusa dla liczb pierwszych i tak dalej, dla większych liczb pierwszych różnych od lub postaci (które to są rozdzielcze). Widać wprost jak przekształcenie Frobeniusa daje wynik z dokładnością modulo dla -tej potęgi pierwiastka

Zobacz też[edytuj]