Funkcja Dirichleta

Funkcja Dirichleta – funkcja charakterystyczna zbioru liczb wymiernych $\mathbb {Q}$$\mathbb {Q}$, tzn. funkcja zmiennej rzeczywistej, która przyjmuje wartość $1,$$1,$ gdy argument jest liczbą wymierną i wartość $0,$$0,$ gdy argument jest liczbą niewymierną.

Formalnie funkcję Dirichleta można zapisać wzorem

$\mathbf {1} _{\mathbb {Q} }(x)={\begin{cases}1&{\mbox{dla }}x\in \mathbb {Q} ,\\0&{\mbox{dla }}x\notin \mathbb {Q} .\end{cases}}$$\mathbf 1_\mathbb Q(x) = \begin{cases} 1 & \mbox{dla } x \in \mathbb Q, \\ 0 & \mbox{dla } x \notin \mathbb Q. \end{cases}$

Ponadto

$\mathbf {1} _{\mathbb {Q} }(x)=\lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }\cos ^{2n}\left(m!\pi x\right).$${\mathbf 1}_{{\mathbb Q}}(x)=\lim _{{m\to \infty }}\lim _{{n\to \infty }}\cos ^{{2n}}\left(m!\pi x\right).$

Własności

Funkcja ta ma szczególne własności:

• jest wszędzie nieciągła (tzn. nie jest ciągła w żadnym punkcie swojej dziedziny); stąd wynika, że jest wszędzie nieróżniczkowalna,
• jest okresowa, przy czym ma ona nieskończenie wiele okresów (każda liczba wymierna jest jej okresem) i nie ma okresu podstawowego,
• zbiór jej ekstremów jest mocy continuum,
• nie jest całkowalna w sensie Riemanna – w zależności od doboru podziału przedziału całkowania, aproksymacja prostokątami może dać dowolną sumę od zera do długości przedziału, zatem granica definiująca całkę Riemanna nie istnieje,
• jest całkowalna w sensie Lebesgue'a, przy czym jej całka Lebesgue'a na dowolnym przedziale jest równa zeru, ponieważ zbiór liczb wymiernych jest miary Lebesgue'a zero.

Zobacz też

• funkcja Riemanna