Harmoniki sferyczne

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Przykładowe harmoniki sferyczne dla l = 0…3 oraz m = −l…l. Kolor czerwony obrazuje część dodatnią funkcji harmonik, a kolor zielony część ujemną.

Harmoniki sferycznefunkcje będące rozwiązaniami równania różniczkowego Laplace'a zapisanego w symetrii sferycznej:

Powyższe równanie można otrzymać na przykład w wyniku rozdzielania zmiennych dla równania Schrödingera z potencjałem sferycznie symetrycznym, gdzie jest stałą separacji.

Reprezentacji harmonik[edytuj]

Obliczenia prowadzą do następującej reprezentacji harmonik sferycznych:

,

gdzie:

– liczba naturalna: 0, 1, 2, …,
– liczba naturalna mniejsza lub równa
stowarzyszone funkcje Legendre'a.

Dla ujemnych definiuje się jako:

.

Wtedy dla dowolnej liczby , dozwolonych jest wartości liczby : : : .

Równanie to stosowane jest w mechanice kwantowej do wyznaczenia funkcji falowej równania Schrödingera, a zatem pośrednio gęstości prawdopodobieństwa znalezienia elektronu w atomie, po pierwotnym rozdzieleniu zmiennej radialnej od kątowych.

Własności harmonik sferycznych[edytuj]

Ortonormalność:

Kilka pierwszych harmonik sferycznych[edytuj]

0 0
1 0
1 ±1
2 0
2 ±1
2 ±2
3 0
3 ±1
3 ±2
3 ±3

Interpretacja graficzna harmonik[edytuj]

Harmoniki sferyczne są funkcjami zmiennych oraz w układzie sferycznym. Po powrocie do układu kartezjańskiego, czyli owinięciu płaszczyzny harmonik na sferze o promieniu , otrzymuje się reprezentację harmonik w układzie kartezjańskim. W fizyce harmoniki sferyczne obrazują orbitale elektronowe w atomie i wyglądają jak pokazano na rysunku powyżej.

Zobacz też[edytuj]