Harmoniki sferyczne

Rys. 1. Przykładowe harmoniki sferyczne dla $l=0\dots 3$ oraz $m=-l\dots l.$ Kolor czerwony obrazuje część dodatnią funkcji harmonik, a kolor zielony część ujemną.

Rys. 2. Części rzeczywiste harmonik sferycznych $Y_{\ell }^{m}$ dla $\ell =0,\dots ,4$ (od góry do dołu) i $m=0,\dots ,\ell$ (z lewej do prawej).

Harmoniki sferyczne (harmoniki kuliste, funkcje kuliste) – funkcje zmiennych rzeczywistych $\theta ,\phi$ będące rozwiązaniami równania różniczkowego Laplace’a zapisanego w układzie współrzędnych sferycznych:

$\left[{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \phi ^{2}}}+\lambda \right]f(\theta ,\phi )=0,$

gdzie:

$\theta \in (0,\pi ),$

$\phi \in (0,2\pi ),$

$\lambda$ – parametr równania,

przy czym wartość współrzędnej radialnej $r$ współrzędnych sferycznych jest stała, co redukuje operator Laplace’a do powyżej podanej postaci. Pokazuje się, że aby rozwiązania były nieosobliwe, parametr $\lambda$ musi przyjmować wartości dyskretne takie że $\lambda =l(l+1),$ gdzie $l=0,1,2,\dots$

Powyższe równanie można otrzymać np. w metodzie rozdzielania zmiennych podczas rozwiązywania równania Schrödingera z potencjałem sferycznie symetrycznym; wtedy $\lambda$ jest stałą separacji tej metody.

Harmoniki sferyczne

Jeżeli parametr $\lambda$ przyjmuje dyskretne wartości, $\lambda =l(l+1),$ gdzie $l=0,1,2,\dots ,$ to równanie Laplace’a ma rozwiązania nieosobliwe tradycyjnie oznaczane symbolami $Y_{l}^{m}(\theta ,\phi ),$ przy czym indeks $m$ przyjmuje wartości całkowite oraz

(1) dla $m\geqslant 0{:}$

$Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )=(-1)^{m}\cdot C_{l}^{m}\cdot e^{im\phi }\cdot P_{l}^{m}(\cos \theta ),$

gdzie:

$l=0,1,2,\dots$ – liczby naturalne,

$m=0,1,\dots ,l$ – liczby nie większe niż $l,$

$P_{l}^{m}$ – stowarzyszone funkcje Legendre’a,

$i$ – jednostka urojona,

$C_{l}^{m}=\left[{\frac {(2l+1)(l-|m|)!}{4\pi (l+|m|)!}}\right]^{1/2}$ – stała liczba, tzw. współczynnik normalizacyjny;

(2) dla $m\leqslant 0{:}$

$Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )=(-1)^{m}\cdot Y_{l}^{*(-m)}(\theta ,\phi ),$

gdzie:

$l=0,1,2,\dots ,$

$m=0,-1,\dots ,-l$ – liczby nie mniejsze niż $-l,$

$Y_{l}^{*(-m)}(\theta ,\phi )$ – sprzężenie zespolone funkcji $Y_{l}^{-m}(\theta ,\phi )$ zdefiniowanej w punkcie (1).

Funkcje $Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )$ nazywa się tradycyjnie harmonikami sferycznymi (lub harmonikami kulistymi, funkcjami kulistymi).

Dla danej liczby $l$ jest w sumie $2l+1$ liniowo niezależnych rozwiązań postaci $Y_{l}^{m}(\theta ,\phi ),$ gdzie $m\in (-l,-l+1,\dots ,l).$

Własności harmonik sferycznych

Ortonormalność:

$\int \limits _{\Omega }d\Omega \,\,Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )\cdot Y_{l'}^{m'\!*}(\theta ,\phi )=\int \limits _{0}^{2\pi }d\phi \int \limits _{0}^{\pi }d\theta \,\sin \theta \cdot Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )\cdot Y_{l'}^{m'\!*}(\theta ,\phi )=\delta _{ll'}\delta ^{mm'},$

tj. harmoniki różniące się od siebie co najmniej jedną z liczb $l,l'$ lub $m,m'$ są ortonormalne, jeżeli określa się je dla punktów na powierzchni sfery, tak że $\theta \in (0,\pi )$ oraz $\phi \in (0,2\pi ).$

Przykłady harmonik sferycznych

Poniższa tabela zawiera w danej kolumnie $2l+1=1,3,5,7$ harmonik $Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )$ odpowiadających danej wartości $l$

Kilka pierwszych harmonik sferycznych

$Y_{l}^{m}$	l = 0	l = 1	l = 2	l = 3
m = -3				${\sqrt {\tfrac {35}{64\pi }}}\sin ^{3}{\theta }\,e^{-3i\phi }$
m = −2			${\sqrt {\tfrac {15}{32\pi }}}\sin ^{2}{\theta }\,e^{-2i\phi }$	${\sqrt {\tfrac {105}{32\pi }}}\sin ^{2}{\theta }\cos {\theta }\,e^{-2i\phi }$
m = −1		${\sqrt {\tfrac {3}{8\pi }}}\sin {\theta }\,e^{-i\phi }$	${\sqrt {\tfrac {15}{8\pi }}}\sin {\theta }\,\cos {\theta }\,e^{-i\phi }$	${\sqrt {\tfrac {21}{64\pi }}}\sin {\theta }\left(5\cos ^{2}{\theta }-1\right)\,e^{-i\phi }$
m = 0	${\sqrt {\tfrac {1}{4\pi }}}$	${\sqrt {\tfrac {3}{4\pi }}}\cos {\theta }$	${\sqrt {\tfrac {5}{16\pi }}}\left(3\cos ^{2}{\theta }-1\right)$	${\sqrt {\tfrac {7}{16\pi }}}\left(5\cos ^{3}{\theta }-3\cos {\theta }\right)$
m = 1		$-{\sqrt {\tfrac {3}{8\pi }}}\sin {\theta }\,e^{i\phi }$	$-{\sqrt {\tfrac {15}{8\pi }}}\sin {\theta }\,\cos {\theta }\,e^{i\phi }$	$-{\sqrt {\tfrac {21}{64\pi }}}\sin {\theta }\left(5\cos ^{2}{\theta }-1\right)\,e^{i\phi }$
m = 2			${\sqrt {\tfrac {15}{32\pi }}}\sin ^{2}{\theta }\,e^{2i\phi }$	${\sqrt {\tfrac {105}{32\pi }}}\sin ^{2}{\theta }\cos {\theta }\,e^{2i\phi }$
m = 3				$-{\sqrt {\tfrac {35}{64\pi }}}\sin ^{3}{\theta }\,e^{3i\phi }$

Wykresy harmonik

Harmoniki sferyczne są funkcjami zmiennych $\theta \in (0,\pi )$ oraz $\phi \in (0,2\pi ).$ Ich wykresy w układzie sferycznym pokazano na rys. 1.

Ogólne rozwiązanie równania Laplace’a

Ogólne rozwiązanie $f(\theta ,\phi )$ równania Laplace’a można wyrazić za pomocą kombinacji liniowej dwóch lub większej liczby funkcji $Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )$ o różnych wartościach parametrów $l,m.$ Rozwiązanie takie znajduje się żądając np. aby były spełnione odpowiednie warunki początkowe lub brzegowe.

Równanie Laplace’a w mechanice kwantowej

W równaniu Schrödingera

Równanie Laplace’a pojawia się w mechanice kwantowej. Np. przy rozwiązywaniu równania Schrödingera dla atomu wodoru, na który nie działają żadne pola zewnętrzne (np. pole magnetyczne) operator Hamiltona ma postać

${\hat {H}}({\vec {r}},t)=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta +V({\vec {r}}),$

gdzie $m$ – masa elektronu, $\Delta$ – operator Laplace’a trzech zmiennych, opisujących położenie ${\vec {r}}$ elektronu w atomie. Ze względu na symetrię sferyczną energii potencjalnej $V({\vec {r}})$ elektronu oddziałującego siłami elektrycznymi z protonem

$V({\vec {r}})\propto {\frac {e^{2}}{r}},$

gdzie $e$ – wartość ładunku elektronu i protonu, wprowadza się współrzędne sferyczne $r,\phi$ oraz $\theta$ w zapisie operatora Hamiltona. Po rozdzieleniu zmiennej radialnej $r$ od zmiennych kątowych $\phi ,\theta$ otrzymuje się z równania Schrödingera dwa równania, z których jedno jest równaniem Laplace’a zmiennych $\phi ,\theta .$ Rozwiązania tego równania stanowią część funkcji falowej elektronu, zwanej orbitalem; jej kwadrat przedstawia gęstość prawdopodobieństwa znalezienia elektronu w atomie.

W równaniu własnym operatora momentu pędu

Równanie Laplace’a pojawia się także w postaci operatora kwadrat momentu pędu, odpowiadającego operatorowi Hamiltona swobodnego atomu wodoru (omówionego wyżej), tj.

${\hat {L}}^{2}=-\hbar ^{2}\Delta$

lub, zapisując go we współrzędnych sferycznych

${\hat {L}}^{2}=-\hbar ^{2}\left[{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}+{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \phi ^{2}}}\right].$

Z rozwiązania równania własnego tego operatora

${\hat {L}}^{2}\psi (\theta ,\psi )=L^{2}\psi (\theta ,\phi )$

otrzymuje się jako funkcje własne harmoniki sferyczne

$\psi (\phi ,\theta )\propto {Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )}$

oraz wartości własne

$L^{2}=\hbar ^{2}\,l(l+1),$

które są dyskretne, gdyż $l=0,1,2,\dots$ Oznacza to, że także wartości moment pędu $L$ są dyskretne (skwantowane), bo $L=\hbar {\sqrt {l(l+1)}}.$

Danej wartości $L$ momentu pędu odpowiada $2l+1$ różnych funkcji własnych $Y_{l}^{m}(\theta ,\phi ),$ $m=0,-1,\dots ,-l$ operatora ${\hat {L}}$ mających różne wartości liczby $m.$ Wartości własne operatora Hamiltona (czyli energie atomu) są także identyczne dla wszystkich tych liczb $m,$ a tej samej liczbie $l.$ W takiej sytuacji mówi się, że poziomy energetyczne swobodnego atomu są zdegenerowane.

Magnetyczna liczba kwantowa m

Degenerację energii usuwa umieszczenie atomu w zewnętrznym polu magnetycznym – obserwuje się wtedy rozszczepienie linii widmowych atomu (zjawisko Zemana). W opisie kwantowomechanicznym tego przypadku każdej parze liczb $l$ oraz $m$ odpowiada inna wartość energii. Dyskretność wartości liczby $m$ implikuje dyskretność poziomów energetycznych atomu w polu. Z tego względu liczbę $m$ nazywa się magnetyczną liczbą kwantową. Opis kwantowomechaniczny tego przypadku wymaga dodania dodatkowego składnika do operatora Hamiltona, odpowiadającego za oddziaływanie elektronu z polem.

Zobacz też

• harmonika
• stowarzyszone funkcje Legendre’a