Harmoniki sferyczne

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Przykładowe harmoniki sferyczne dla l = 0…3 oraz m = −l…l. Kolor czerwony obrazuje część dodatnią funkcji harmonik, a kolor zielony część ujemną.

Harmoniki sferycznefunkcje będące rozwiązaniami równania różniczkowego Laplace'a zapisanego w symetrii sferycznej:


\left[ \frac{1}{\sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta}\left( \sin \theta \frac{\partial}{\partial \theta} \right) + \frac{1}{\sin^{2} \theta} \frac{ \partial^{2} }{ \partial \phi ^{2}} + \lambda \right] Y(\theta, \phi ) = 0

Powyższe równanie można otrzymać na przykład w wyniku rozdzielania zmiennych dla równania Schrödingera z potencjałem sferycznie symetrycznym, gdzie \lambda jest stałą separacji.

Reprezentacji harmonik[edytuj | edytuj kod]

Obliczenia prowadzą do następującej reprezentacji harmonik sferycznych:


Y_{lm}(\theta, \phi) = (-1)^{m} \left[
\frac{(2l+1)(l-m)!}{4\pi (l+m)!}\right]^{1/2}
P^{m}_{l}(\cos\theta)e^{im\phi}
,

gdzie:

l – liczba naturalna: 0, 1, 2, …,
m – liczba naturalna mniejsza lub równa l
P^{m}_{l}stowarzyszone funkcje Legendre'a.

Dla m ujemnych Y(\theta, \phi) definiuje się jako:

Y_{l,-m}(\theta, \phi) = (-1)^{m} Y^{*}_{lm}(\theta, \phi).

Wtedy dla dowolnej liczby l, dozwolonych jest 2l+1 wartości liczby : : m: -l, -l+1, ..., l.

Równanie to stosowane jest w mechanice kwantowej do wyznaczenia funkcji falowej równania Schrödingera, a zatem pośrednio gęstości prawdopodobieństwa znalezienia elektronu w atomie, po pierwotnym rozdzieleniu zmiennej radialnej od kątowych.

Własności harmonik sferycznych[edytuj | edytuj kod]

Ortonormalność:

\int\limits_{\Omega} d\Omega\, Y_{lm}^{*}(\theta, \phi) Y_{l'm'} (\theta, \phi) = 
\int\limits_{0} ^{2 \pi} d \phi \int\limits_{0} ^{\pi} d \theta \sin \theta Y_{lm}^{*}(\theta,\phi) Y_{l'm'}(\theta, \phi) = \delta_{ll'}\delta_{mm'}

Kilka pierwszych harmonik sferycznych[edytuj | edytuj kod]

l m Y_lm(\theta, \phi)
0 0 \frac{1}{\sqrt{4 \pi}}
1 0 \sqrt{ \frac{3}{4 \pi} }\cos \theta
1 ±1 \mp \sqrt{ \frac{3}{8 \pi} }\sin \theta e^{\pm i\phi}
2 0 \sqrt{ \frac{5}{4 \pi} } \left( \frac{3}{2} \cos^{2} \theta - \frac{1}{2} \right)
2 ±1 \mp \sqrt{ \frac{15}{8 \pi} } \cos \theta \sin \theta e^{\pm i\phi}
2 ±2 \sqrt{ \frac{15}{32 \pi} }\sin ^{2} \theta e^{\pm 2i\phi}
3 0 \sqrt{ \frac{7}{4 \pi} } \left( \cos ^{3} \theta -\frac{3}{2} \cos \theta \sin^{2}\theta \right)
3 ±1 \mp \sqrt{ \frac{21}{64 \pi} } \left( 4 \cos^{2} \theta \sin \theta - \sin^{3} \theta \right) e^{\pm i \phi}
3 ±2  \sqrt{ \frac{105}{32 \pi} } \cos \theta \sin ^{2} \theta e^{\pm 2i \phi}
3 ±3 \mp \sqrt{ \frac{35}{64 \pi} } \sin^{3} \theta e^{\pm 3i \phi}

Interpretacja graficzna harmonik[edytuj | edytuj kod]

Harmoniki sferyczne są funkcjami zmiennych \theta oraz \phi w układzie sferycznym. Po powrocie do układu kartezjańskiego, czyli owinięciu płaszczyzny harmonik na sferze o promieniu r, otrzymuje się reprezentację harmonik w układzie kartezjańskim. W fizyce harmoniki sferyczne obrazują orbitale elektronowe w atomie i wyglądają jak pokazao na rysunku powyżej.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]