Harmoniki sferyczne

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Przykładowe harmoniki sferyczne dla l = 0…3 oraz m = −l…l. Kolor czerwony obrazuje część dodatnią funkcji harmonik, a kolor zielony część ujemną.
Części rzeczywiste harmonik sferycznych Ym dla = 0, …, 4 (od góry do dołu) i m = 0, …, (z lewej do prawej).

Harmoniki sferyczne (harmoniki kuliste, funkcje kuliste) – funkcje zmiennych rzeczywistych będące rozwiązaniami równania różniczkowego Laplace'a zapisanego w układzie współrzędnych sferycznych:

gdzie:
- parametr równania

przy czym wartość współrzędnej radialnej współrzędnych sferycznych jest stała, co redukuje operator Laplace'a do powyżej podanej postaci. Pokazuje się, że aby rozwiązania były nieosobliwe, parametr musi przyjmować wartości dyskretne takie że , gdzie

Powyższe równanie można otrzymać np. w metodzie rozdzielania zmiennych podczas rozwiązywania równania Schrödingera z potencjałem sferycznie symetrycznym; wtedy jest stałą separacji tej metody.

Harmoniki sferyczne[edytuj]

Jeżeli parametr przyjmuje dyskretne wartości, , gdzie , to równanie Laplace'a ma rozwiązania nieosobliwe tradycyjnie oznaczane symbolami , przy czym indeks przyjmuje wartości całkowite oraz

(1) dla

gdzie:

- liczby naturalne
- liczby nie większe niż
- stowarzyszone funkcje Legendre'a
- jednostka urojona
- stała liczba, tzw. współczynnik normalizacyjny

(2) dla

gdzie:

- liczby nie mniejsze niż
sprzężenie zespolone funkcji zdefiniowanej w punkcie (1)

Funkcje nazywa się tradycyjnie harmonikami sferycznymi (lub harmonikami kulistymi, funkcjami kulistymi).

Dla danej liczby jest w sumie liniowo niezależnych rozwiązań postaci , gdzie .

Własności harmonik sferycznych[edytuj]

Ortonormalność:

tj. harmoniki różniące się od siebie conajmniej jedną z liczb lub są ortonormalne, jeżeli określa się je dla punktów na powierzchni sfery, tak że oraz .

Przykłady harmonik sferycznych[edytuj]

Poniższa tabela zawiera w danej kolumnie harmonik odpowiadających danej wartości

Kilka pierwszych harmonik sferycznych
l = 0 l = 1 l = 2 l = 3
m = -3
m = −2
m = −1
m = 0
m = 1
m = 2
m = 3

Wykresy harmonik[edytuj]

Harmoniki sferyczne są funkcjami zmiennych oraz . Ich wykresy w układzie sferycznym pokazano na rysunku powyżej.

Ogólne rozwiązanie równania Laplace'a[edytuj]

Ogólne rozwiązanie równania Laplace'a można wyrazić za pomocą kombinacji liniowej dwóch lub większej liczby funkcji o różnych wartościach parametrów . Rozwiązanie takie znajduje się żądając np. aby były spełnione odpowiednie warunki początkowe lub brzegowe. 

Równanie Laplace'a w fizyce kwantowej[edytuj]

W równaniu Schrödingera[edytuj]

Równanie Laplace'a pojawia się w fizyce kwantowej. Np. przy rozwiązywaniu równania Schrödingera dla atomu wodoru, na który nie działają żadne pola zewnętrzne (np. pole magnetyczne) operator Hamiltona ma postać

gdzie - masa elektronu, - operator Laplace'a trzech zmiennych, opisujących położenie elektronu w atomie. Ze względu na symetrię sferyczną energii potencjalnej elektronu oddziałującego siłami elektrycznymi z protonem

gdzie - wartość ładunku elektronu i protonu, wprowadza się współrzędne sferyczne oraz w zapisie operatora Hamiltona. Po rozdzieleniu zmiennej radialnej od zmiennych kątowych otrzymuje się z równania Schrödingera dwa równania, z których jedno jest równaniem Laplace'a zmiennych . Rozwiązania tego równania stanowią część funkcji falowej elektronu, zwanej orbitalem; jej kwadrat przedstawia gęstość prawdopodobieństwa znalezienia elektronu w atomie.

W równaniu własnym operatora momentu pędu[edytuj]

Równanie Laplace'a pojawia się także w postaci operatora kwadrat momentu pędu, odpowiadającego operatorowi Hamiltona swobodnego atomu wodoru (omówionego wyżej), tj.

lub, zapisując go we współrzędnych sferycznych

Z rozwiązania równania własnego tego operatora

otrzymuje się jako funkcje własne harmoniki sferyczne

oraz wartości własne

które są dyskretne, gdyż Oznacza to, że także wartości moment pędu są dyskretne (skwantowane), bo.

Danej wartości momentu pędu odpowiada różnych funkcji własnych , operatora mających różne wartości liczby . Wartości własne operatora Hamiltona (czyli energie atomu) są także identyczne dla wszystkich tych liczb , a tej samej liczbie . W takiej sytuacji mówi się, że poziomy energetyczne swobodnego atomu są zdegenerowane.

Magnetyczna liczba kwantowa m[edytuj]

Degenerację energii usuwa umieszczenie atomu w zewnętrznym polu magnetycznym - obserwuje się wtedy rozszczepienie linii widmowych atomu (zjawisko Zemana). W opisie kwantowomechanicznym tego przypadku każdej parze liczb oraz odpowiada inna wartość energii. Dyskretność wartości liczby implikuje dyskretność poziomów energetycznych atomu w polu. Z tego względu liczbę nazywa się magnetyczną liczbą kwantową. Opis kwantowomechaniczny tego przypadku wymaga dodania dodatkowego składnika do operatora Hamiltona, odpowiadającego za oddziaływanie elektronu z polem.

Zobacz też[edytuj]