Funkcja błędu

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Wykres funkcji błędu
Wykres funkcji błędu (2)

Funkcja błędu Gaussafunkcja nieelementarna, która występuje w rachunku prawdopodobieństwa, statystyce oraz w teorii równań różniczkowych cząstkowych. Jest zdefiniowana jako

Funkcja jest ściśle związana z uzupełniającą funkcją błędu :

Definiuje się także zespoloną funkcję błędu nazywaną także funkcją Faddiejewej:

Najważniejsze własności i zastosowania[edytuj | edytuj kod]

Funkcja błędu jest nieparzysta:

Ponadto należy zauważyć, że prawdziwe jest równanie:

gdzie oznacza sprzężenie zespolone liczby

Dla osi rzeczywistej funkcja błędu przyjmuje następujące granice:

natomiast dla osi urojonej:

Funkcja błędu jest ściśle związana z rozkładem normalnym Gaussa. Można to zauważyć wyliczając pochodną i funkcję pierwotną funkcji błędu:

Szereg Taylora[edytuj | edytuj kod]

Przez zapisanie prawej strony definicji jako szereg Taylora i całkowanie, można dowieść, że

dla każdego rzeczywistego x.

Dla wartość funkcji błędu można wygodnie wyliczyć z rozwinięcia

gdzie k!! oznacza silnię podwójną liczby k.

Dla wygodne jest następujące rozwinięcie

Przybliżenie przy pomocy funkcji elementarnych[edytuj | edytuj kod]

Jak można łatwo sprawdzić graficznie funkcje błędu można dobrze i zwięźle przybliżyć przez podobnie wyglądające i trochę zdeformowane funkcje cyklometryczne i funkcje hiperboliczne typu tangens, tzn. i :

i

Są one więc także odwracalne poprzez rozwiązanie zredukowanego równania czwartego i piątego stopnia.

Także bardzo dokładne i odwracalne przybliżenie funkcji błędu (błąd poniżej 0,00035) można uzyskać poprzez deformacje odjęcia funkcji Gaussa od jedynki:

gdzie:

jest przybliżeniem Padégo rzędu z

zmieniającej się szerokości funkcji Gaussa.

Przybliżenie to można jeszcze poprawić redukując błąd do

gdzie jest uciąglonym przy pomocy wzoru Stirlinga rozkładem Poissona dla

Tablica wartości[edytuj | edytuj kod]

x erf(x) erfc(x) x erf(x) erfc(x)
0,00 0,0000000 1,0000000 1,30 0,9340079 0,0659921
0,05 0,0563720 0,9436280 1,40 0,9522851 0,0477149
0,10 0,1124629 0,8875371 1,50 0,9661051 0,0338949
0,15 0,1679960 0,8320040 1,60 0,9763484 0,0236516
0,20 0,2227026 0,7772974 1,70 0,9837905 0,0162095
0,25 0,2763264 0,7236736 1,80 0,9890905 0,0109095
0,30 0,3286268 0,6713732 1,90 0,9927904 0,0072096
0,35 0,3793821 0,6206179 2,00 0,9953223 0,0046777
0,40 0,4283924 0,5716076 2,10 0,9970205 0,0029795
0,45 0,4754817 0,5245183 2,20 0,9981372 0,0018628
0,50 0,5204999 0,4795001 2,30 0,9988568 0,0011432
0,55 0,5633234 0,4366766 2,40 0,9993115 0,0006885
0,60 0,6038561 0,3961439 2,50 0,9995930 0,0004070
0,65 0,6420293 0,3579707 2,60 0,9997640 0,0002360
0,70 0,6778012 0,3221988 2,70 0,9998657 0,0001343
0,75 0,7111556 0,2888444 2,80 0,9999250 0,0000750
0,80 0,7421010 0,2578990 2,90 0,9999589 0,0000411
0,85 0,7706681 0,2293319 3,00 0,9999779 0,0000221
0,90 0,7969082 0,2030918 3,10 0,9999884 0,0000116
0,95 0,8208908 0,1791092 3,20 0,9999940 0,0000060
1,00 0,8427008 0,1572992 3,30 0,9999969 0,0000031
1,10 0,8802051 0,1197949 3,40 0,9999985 0,0000015
1,20 0,9103140 0,0896860 3,50 0,9999993 0,0000007

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]