Funkcja η

Funkcja eta Dirichleta – funkcja określona dla argumentów zespolonych, zdefiniowana jako:

$\eta (z)=\left(1-2^{1-z}\right)\zeta (z),$

gdzie $\zeta (z)$ – funkcja dzeta Riemanna.

Lub w postaci równoważnej z wykorzystaniem szeregów nieskończonych:

$\eta (z)=\sum _{n=1}^{+\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n^{z}}}.$

Można też przedstawić tę funkcję jako obliczenie całki w myśl wzoru:

$\eta (z)={\frac {1}{\Gamma (z)}}\int \limits _{0}^{+\infty }{\frac {x^{z-1}}{\exp(x)+1}}\,dx,$

gdzie $\Gamma (z)$ – funkcja gamma Eulera.

Własności funkcji η

Należy zauważyć, że funkcję η warto rozłożyć na dwie funkcje – jej część rzeczywistą $\Re (\eta (z))$ i część urojoną $\Im (\eta (z)).$ Mają one własności:

$\Re (\eta (z))=\Re (\eta ({\overline {z}})),$

$\Im (\eta (z))=-\Im (\eta ({\overline {z}})),$

gdzie ${\overline {z}}$ oznacza sprzężenie zespolone liczby $z.$ Z ostatniego równania wynika, że funkcja η przyjmuje wartości rzeczywiste dla rzeczywistych z.

Ponadto możemy zapisać granicę:

$\lim _{\Re (z)\to \infty }\eta (z)=1.$

Wynika z tego bezpośrednio, że $\lim _{\Re (z)\to \infty }\Re (\eta (z))=1$ i $\lim _{\Re (z)\to \infty }\Im (\eta (z))=0,$ co można zaobserwować od razu na wykresie poniżej.

Wykresy funkcji η

• 
  Wykres funkcji η(x) dla osi rzeczywistej. Część urojona jest równa zeru.
• 
  Wykres funkcji η(z) dla całej płaszczyzny zespolonej. Odcień oznacza argument funkcji, zaś nasycenie reprezentuje jej moduł (im bliższy 0 tym ciemniejszy). Oś rzeczywista – poziomo, oś urojona – pionowo.