Siła zachowawcza

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Układ planetarny tworzy układ odosobniony ciał oddziałujących siłami grawitacji. Energia mechaniczna poszczególnych ciał układu nie ulega zmianie, gdyż siły grawitacyjne oddziaływań ciał układu są siłami centralnymi.

Siłę F(r) zależną od położenia r ciała w przestrzeni nazywamy zachowawczą, jeśli całkowita energia mechaniczna ciała poddanego działaniu tej siły jest zachowana czyli nie ulega zmianie w czasie. Układy mechaniczne, których energia jest zachowana nazywa się układami zachowawczymi[1]s.23.

Praca wykonana przez siłę zachowawczą na drodze zamkniętej jest równa zeru. Oznacza to, że np. po kolejnym okrążeniu Słońca prędkość dowolnej planety powinna być taka sama, jak w chwili rozpoczęcia tego ruchu. Wynika stąd też, że praca wykonana przez siłę zachowawczą przy przemieszczaniu ciała na drodze o początku A i końcu B zależy tylko od położenia punktów A i B, nie zależy zaś od przebiegu drogi, czyli od toru ruchu (objaśniono to w części głównej artykułu)[2] s.65.

Siłami zachowawczymi są wszystkie siły centralne (tzn. takie, że wektor siły działającej na ciało jest skierowany centralnie, tj. do lub od środka jego masy)[2] s.72. Np. siłami centralnymi są siły grawitacyjne klasycznej teorii grawitacji Newtona, siły kulombowskie oddziaływań między ciałami posiadającymi ładunki elektryczne[2] s.72-73. Także siły sprężystości ciał doskonale sprężystych są siłami centralnymi[2] s.71.

Siła niecentralna może być siłą zachowawczą, ale nie może zależeć od wektora prędkości ciała skierowanej zgodnie z wektorem siły. Jednak gdy siła działa prostopadle do wektora prędkości (jak jest w przypadku siły Lorentza), to jest zachowawcza[2] s.76. Jest tak dlatego, że siła ta nie wykonuje pracy. Zmiana zaś energii danego układu może nastąpić jedynie na skutek wykonania pracy nad układem przez siły zewnętrzne[2] s.72.

Siłę, która nie jest zachowawcza nazywa się siłą niezachowawczą. Siłami niezachowawczymi są np. siła tarcia, siła oporu ruchu powstające w trakcie przemieszczania się ciała w ośrodku materialnym (np. w powietrzu). Siły te zależą od prędkości ciała i są skierowane przeciwnie do wektora prędkości. Ciało w wyniku tego oddziaływania traci energię mechaniczną.

Niezależność pracy siły zachowawczej od drogi[edytuj | edytuj kod]

Praca w polu sił zachowawczych nie zależy od toru, po jakim przemieszcza się ciało. Pokazano tu dwa spośród wielu możliwych torów prowadzących od A do B.

Definicja siły zachowawczej implikuje, iż praca wykonana przy przemieszczaniu ciała w polu sił zachowawczych po torze zamkniętym jest równa zeru. Wtedy bowiem energia całkowita ciała pozostanie bez zmian.

Korzystając z definicji pracy i oznaczając przez S dowolny tor zamknięty powyższą własność można zapisać w postaci

\oint\limits_{S}{\vec F(\vec r)\cdot d\vec{s}}=0

Wynika stąd niezależność pracy wykonana przez tę siłę zachowawczą od toru, po jakim przemieszcza się ciało pod jej wpływem miedzy dowolnymi punktami A i B. Dowód tego jest następujący :

Niech W_{AC_1B} oznacza pracę przy przemieszczaniu ciała na drodze zamkniętej AC_1B, a W_{AC_2B} oznacza pracę przy przemieszczaniu ciała na drodze AC_2B. Praca wykonana na całej drodze jest sumą prac na poszczególnych odcinkach i wynosi 0, czyli

W_{AC_1BC_2A}=W_{AC_1B}+W_{BC_2A}=0

Stąd wynika, że

W_{AC_1B}=-W_{BC_2A}

Ponieważ praca wykonana przy przemieszczaniu ciała od A do B oraz przeciwnie, tj. od B do A po tym samym torze ma wartość przeciwną, czyli np.

W_{BC_2A}=-W_{AC_2B},

gdyż \int\limits_A^B{\vec F(\vec r)\cdot d\vec{s}}=-\int\limits_B^A{\vec F(\vec r)\cdot d\vec{s}}

Z powyższych dwóch równań otrzymuje się

W_{AC_1B}=W_{AC_2B}

co oznacza, że praca od A do B nie zależy od drogi, cnd.

Siła zachowawcza układu odosobnionego[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli układ N ciał jest odosobniony (tzn. złożony jest z ciał oddziałujących jedynie ze sobą, a nie oddziałujących z innymi ciałami), to okazuje się, że można wprowadzić pojęcie energii potencjalnej, która zależy jedynie od położeń ciał układu, a nie zależy od ich prędkości ani czasu

U(\vec r)=U(\vec r_1,\ldots,\vec r_N)

gdzie r=(\vec r_1,\ldots,\vec r_N)\in \mathbf{R}^{3N} jest wektorem położenia całego układu w przestrzeni konfiguracyjnej, \vec r_a jest wektorem wodzącym a-tego ciała wyrażonym w układzie współrzędnych kartezjańskich.

Wtedy siła wypadkowa, jaką inne ciała układu działają na a-te ciało znajdujące się w położeniu \vec r_a wyraża się przez gradient energii potencjalnej, obliczony względem wektora \vec r_a

\vec F_a(\vec r_a) = - \nabla_a U(\vec r_1,\ldots,\vec r_N)=- \frac{\part_a U(\vec r_1,\ldots,\vec r_N)}{\part {\vec r_a}}

W układzie współrzędnych kartezjańskich jest \vec r_a=(r_a,y_a, z_a) i powyższy wzór przyjmuje postać:

\vec F_a(\vec r_a) = - \Bigg( 
\frac{\partial{U}}{\partial x_a},
\frac{\partial{U}}{\partial y_a},
\frac{\partial{U}}{\partial z_a} 
\Bigg)

Siła zachowawcza niezależnego od czasu pola sił[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli ciało niewielkich rozmiarów porusza się w polu sił grawitacyjnym Ziemi, to pole sił nie zmienia się w czasie, a siła zależy jedynie od położenia ciała względem Ziemi. Energia całkowita tego ciała nie zmienia się w czasie. Jest to przykład układu nieodosobnionego, na który działa siła zachowawcza. W ogólności dowodzi się (teoria pola), że jeżeli układ nie jest odosobniony, ale oddziałuje z otoczeniem tak, że pole sił wytwarzane przez otoczenie nie zależy od czasu

\vec F=\vec F(\vec r)

oraz rotacja siły równa się 0 w każdym punkcie pola , czyli

\text{rot}\,\,\vec F=0

to siła jest zachowawcza i energia całkowita układu jest zachowana (wynika to z twierdzenia Stokesa)[2] s.66 [3].

Pojęcie potencjału i energii potencjalnej[edytuj | edytuj kod]

Definicja potencjału[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli siła spełnia powyżej omówione wymagania, to można znaleźć pole skalarne  V(\vec r) niezależne od czasu zwane polem potencjału, którego gradient jest równy tej sile (z dokładnością do znaku)[1]s.19

\vec F(\vec r)=-\text{grad}\,\,V(\vec r)

Np. w przypadku ruchu jednego ciała w polu sił zachowawczych siła ta wyraża się wzorem

\vec F(\vec r) = - \Bigg( 
\frac{\partial{U}}{\partial x},
\frac{\partial{U}}{\partial y},
\frac{\partial{U}}{\partial z} 
\Bigg)

gdzie \vec r=(x,y,x) jest wektorem położenia ciała.

Definicja energii potencjalnej[edytuj | edytuj kod]

Siła Lorentza jest siłą zachowawczą, choć nie jest siłą potencjalną. Jest to siła wywierana na cząstkę naładowaną przez pole magnetyczne \mathbf B . Cząstka poruszając się w polu zmienia kierunek swego ruchu, ale nie zmienia prędkości, dlatego energia cząstki jest zachowana. Zwrot siły Lorentza zależy od znaku q ładunku cząstki.

Ponadto, takie pole skalarne pozwala wprowadzić pojęcie energii potencjalnej ciała. Energię potencjalną w danym punkcie \vec r definiuje się jako różnicą potencjałów między tym punktem a ustalonym punktem (dla którego energia potencjalna ma wartość zerową)

E_p(\vec r)=V(\vec r)-V(\vec r_0)

Wszystkie siły związane z potencjalnym polem sił są siłami zachowawczymi. Powyższy warunek jest warunkiem dostatecznym na to by siła była zachowawcza. Nie jest to jednak warunek konieczny -istnieją bowiem siły, które nie spełniają tego warunku, a są siłami zachowawczymi.

Siła zachowawcza niepotencjalna[edytuj | edytuj kod]

Istnieją siły, które nie są siłami potencjalnymi, mimo to są siłami zachowawczymi. Przykładem może być siła Lorentza działająca na naładowaną cząstkę poruszającą się w polu magnetycznym. Siła ta działa zawsze prostopadle do wektora prędkości ciała, nie wykonuje więc pracy, a tym samym nie zmienia energii cząstki. Podobnie jak dla innych sił zachowawczych praca siły Lorentza nie zależy od drogi, jaką pokonuje cząstka między dwoma punktami - w tym wypadku praca ta zawsze jest równa zeru[4][5].

Niektórzy autorzy utożsamiają siły potencjalne z siłami zachowawczymi[6].

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. 1,0 1,1 L. D. Landau, E. M. Lifszyc: Mechanika. Warszawa: PWN, 2011.
  2. 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 W. Królikowski, W. Rubinowicz: Mechanika teoretyczna. Warszawa: PWN, 2012.
  3. I. I. Olchowski: Mechanika teoretyczna. Warszawa: PWN, 1978, s. 65.
  4. Jay Orear, Fizyka, t. 1, wydanie VI, Wydawnictwa Naukowo Techniczne, Warszawa 1998, ISBN 83-204-2451-8, s.100
  5. Ilustrowana encyklopedia dla wszystkich. Fizyka, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa 1991, wyd.3, ISBN 83-204-1192-0, 256
  6. Robert Resnick, David Halliday, Fizyka 1, wydanie IX, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1993, ISBN 83-01-09323-4