Ułamek: Różnice pomiędzy wersjami
[wersja nieprzejrzana] | [wersja przejrzana] |
jest git teraz Znaczniki: usuwanie dużej ilości tekstu (filtr nadużyć) VisualEditor |
m Wycofano edycje użytkownika 153.19.5.161 (dyskusja). Autor przywróconej wersji to Jeż0216. |
||
Linia 1: | Linia 1: | ||
'''Ułamek''' – wyrażenie postaci <math>\tfrac{a}{b}</math>, gdzie <math>a</math>, nazywane '''licznikiem''', oraz <math>b</math>, nazywane '''mianownikiem''', są dowolnymi [[wyrażenie algebraiczne|wyrażeniami algebraicznymi]]. Linię oddzielającą licznik od mianownika nazywa się '''kreską ułamkową'''. |
|||
Wartością ułamka jest wartość jego licznika [[dzielenie|podzielona]] przez wartość mianownika, dlatego ułamek jest ilorazem. Z tego też powodu o mianowniku ułamka zakłada się, że jest różny od zera, bowiem iloraz <math>\tfrac{a}{0}</math> jest [[dzielenie przez zero|nieokreślony]]. |
|||
== Liczby wymierne == |
== Liczby wymierne == |
||
Jeżeli licznikiem i mianownikiem ułamka są [[liczby całkowite]], wówczas wartością ułamka jest [[Liczby wymierne|liczba wymierna]]. |
Jeżeli licznikiem i mianownikiem ułamka są [[liczby całkowite]], wówczas wartością ułamka jest [[Liczby wymierne|liczba wymierna]]. |
||
Ułamek będący liczbą wymierną nazywa się '''właściwym''', gdy jego [[wartość bezwzględna]] jest mniejsza od jedności, a '''niewłaściwym''', gdy jest ona od niej większa lub równa. Ułamek o dodatnim liczniku i mianowniku jest właściwy, gdy jego licznik jest mniejszy od mianownika, niewłaściwy – gdy jest większy lub równy. Ułamek |
Ułamek będący liczbą wymierną nazywa się '''właściwym''', gdy jego [[wartość bezwzględna]] jest mniejsza od jedności, a '''niewłaściwym''', gdy jest ona od niej większa lub równa. Ułamek o dodatnim liczniku i mianowniku jest właściwy, gdy jego licznik jest mniejszy od mianownika, niewłaściwy – gdy jest większy lub równy. Ułamek niewłaściwy można przedstawić w postaci ''liczby mieszanej'', tj. sumy liczby całkowitej i ułamka właściwego; aby tego dokonać należy wykonać dzielenie z resztą licznika przez mianownik. Zwyczajowo sumę zapisuje się już bez [[Plus i minus|znaku dodawania]], np. <math>1 + \tfrac{2}{3}</math> staje się <math>1\tfrac{2}{3}</math> |
||
=== Działania na ułamkach === |
|||
Dla każdego <math>c \ne 0\;</math> ułamek <math>\tfrac{a}{b}</math> jest równy <math>\tfrac{ac}{bc}</math>. Operację zamiany <math>\tfrac{a}{b}</math> na <math>\tfrac{ac}{bc}</math> nazywamy '''rozszerzeniem ułamka''', odwrotną zaś nazywa się '''skróceniem ułamka'''. |
|||
[[Mnożenie]] i [[dzielenie]] wykonuje się wg wzorów: |
[[Mnożenie]] i [[dzielenie]] wykonuje się wg wzorów: |
||
: <math>\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}</math>, na przykład: <math>\frac{2}{9} \cdot \frac{4}{5}=\frac{8}{45}</math> |
|||
: qwe |
|||
: <math>\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{ad}{bc}</math>. |
|||
: |
|||
⚫ | |||
: <math>\frac{a}{b} \cdot k = \frac{ak}{b}</math>, |
|||
: <math>\frac{a}{b} : k = \frac{a}{bk}</math>. |
|||
Aby [[dodawanie|dodać]] lub [[odejmowanie|odjąć]] od siebie ułamki o identycznych mianownikach należy skorzystać z następujących wzorów: |
|||
: <math>\frac{a}{m} + \frac{b}{m} = \frac{a + b}{m},\quad\quad \frac{a}{m} - \frac{b}{m} = \frac{a - b}{m}</math>. |
|||
Jeżeli mianowniki są różne, należy uprzednio '''sprowadzić je do wspólnego mianownika''', co polega na takim rozszerzeniu ułamków, aby ich mianowniki zrównały się. Prawdziwe są wzory: |
|||
: <math>\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd},\quad\quad \frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{ad - bc}{bd}</math>. |
|||
Liczba <math>bd\;</math> może zawsze pełnić rolę wspólnego mianownika, jednak często warto jest poszukać mniejszych wartości, najmniejszą możliwą jest [[najmniejsza wspólna wielokrotność]] liczb <math>b\;</math> i <math>d\;</math>. |
|||
== Wyrażenia wymierne == |
|||
⚫ | Jeżeli licznik i mianownik danego ułamka są [[wielomian]]ami, to nazywa się go [[wyrażenie wymierne|wyrażeniem wymiernym]]; reprezentuje ono wówczas w naturalny sposób [[funkcja wymierna|funkcję wymierną]]. Jeżeli [[stopień wielomianu|stopień]] licznika jest większy lub równy stopniowi mianownika, to można wykonać dzielenie wielomianowe i otrzymać, podobnie jak w przypadku dzielenia liczb, wynik jako sumę wielomianu oraz funkcji wymiernej. |
||
== Ciało ułamków == |
|||
{{osobny artykuł|ciało ułamków}} |
|||
Dla każdego [[Dziedzina całkowitości|pierścienia całkowitego]] <math>P\;</math> (zatem i struktur takich jak pierścień [[liczby całkowite|liczb całkowitych]] czy pierścień wielomianów o współczynnikach całkowitych) można zdefiniować [[ciało (matematyka)|ciało]] nazywane '''[[ciało ułamków|ciałem ułamków]]'''. |
|||
=== Istotność założenia całkowitości pierścienia === |
|||
Jeżeli [[pierścień przemienny]] ma [[dzielnik zera|dzielniki zera]], to nie można skonstruować na nim ciała ułamków: jeśli <math>xy = 0</math> dla niezerowych <math>x, y\in P</math>, to |
|||
: <math>[1, 1] \sim [x, x] = [x, 1] \cdot [1, x] \sim [xy, y] \cdot [1, x] = [0, y] \cdot [1, x] \sim [0, 1] \cdot [1,x] = [0, x] \sim [0,1]</math>, |
|||
czyli |
|||
: <math>[1, 1] \sim [0,1]\;</math>, |
|||
stąd zaś dla dowolnego |
|||
: <math>[a, b] = [a, b] \cdot [1, 1] \sim [a, b] \cdot [0, 1] = [0, b] \sim [0, 1]</math>, |
|||
więc jest tylko jedna klasa abstrakcji – klasa <math>[0, 1]</math>, a z definicji [[Ciało (matematyka)|ciało]] ma przynajmniej dwa różne elementy. |
|||
Dla pierścieni nieprzemiennych tworzenie ułamków bardzo się komplikuje. |
|||
⚫ | |||
== qwe == |
|||
⚫ | [[wyrażenie wymierne| |
||
== Typografia == |
== Typografia == |
||
{{Oznaczenia matematyczne}} |
|||
Licznik i mianownik zwykle oddziela się linią; jeżeli jest ona pochyła, to nazywa się ją '''[[ukośnik]]iem''', np. {{Uł|3|4}}; jeśli linia ta jest pozioma, to nazywa się ją '''kreską ułamkową''', np. <math>\tfrac{3}{4}</math>. |
Licznik i mianownik zwykle oddziela się linią; jeżeli jest ona pochyła, to nazywa się ją '''[[ukośnik]]iem''', np. {{Uł|3|4}}; jeśli linia ta jest pozioma, to nazywa się ją '''kreską ułamkową''', np. <math>\tfrac{3}{4}</math>. |
||
Linia 20: | Linia 54: | ||
! Nazwa !! Znak !! [[Unicode]] !! Kod [[HTML]] |
! Nazwa !! Znak !! [[Unicode]] !! Kod [[HTML]] |
||
|- |
|- |
||
| style="text-align:left" | ''Jedna czwarta'' || style="font-size: 3em; line-height: 1.0; font-family: serif" | ¼ || U+00BC || |
| style="text-align:left" | ''Jedna czwarta'' || style="font-size: 3em; line-height: 1.0; font-family: serif" | ¼ || U+00BC || <code>&#xBC;</code> lub <code>&#188;</code> |
||
|- |
|- |
||
| style="text-align:left" | ''Jedna druga'' || style="font-size: 3em; line-height: 1.0; font-family: serif" | ½ || U+00BD || |
| style="text-align:left" | ''Jedna druga'' || style="font-size: 3em; line-height: 1.0; font-family: serif" | ½ || U+00BD || <code>&#xBD;</code> lub <code>&#189;</code> |
||
|- |
|- |
||
| style="text-align:left" | ''Trzy czwarte'' || style="font-size: 3em; line-height: 1.0; font-family: serif" | ¾ || U+00BE || |
| style="text-align:left" | ''Trzy czwarte'' || style="font-size: 3em; line-height: 1.0; font-family: serif" | ¾ || U+00BE || <code>&#xBE;</code> lub <code>&#190;</code> |
||
|- |
|- |
||
| style="text-align:left" | ''Jedna siódma'' || style="font-size: 3em; line-height: 1.0; font-family: serif" | ⅐ |||| <code>&#x2150;</code> lub <code>&#8528;</code> |
| style="text-align:left" | ''Jedna siódma'' || style="font-size: 3em; line-height: 1.0; font-family: serif" | ⅐ || U+2150 || <code>&#x2150;</code> lub <code>&#8528;</code> |
||
|- |
|- |
||
| style="text-align:left" | ''Jedna dziewiąta'' || style="font-size: 3em; line-height: 1.0; font-family: serif" | ⅑ || U+2151 || <code>&#x2151;</code> lub <code>&#8529;</code> |
| style="text-align:left" | ''Jedna dziewiąta'' || style="font-size: 3em; line-height: 1.0; font-family: serif" | ⅑ || U+2151 || <code>&#x2151;</code> lub <code>&#8529;</code> |
||
|- |
|- |
||
| style="text-align:left" | ''Jedna dziesiąta'' || style="font-size: 3em; line-height: 1.0; font-family: serif" ||||| |
| style="text-align:left" | ''Jedna dziesiąta'' || style="font-size: 3em; line-height: 1.0; font-family: serif" | ⅒ || U+2152 || <code>&#x2152;</code> lub <code>&#8530;</code> |
||
|- |
|- |
||
| style="text-align:left" | ''Jedna trzecia'' || style="font-size: 3em; line-height: 1.0; font-family: serif" ||||| |
| style="text-align:left" | ''Jedna trzecia'' || style="font-size: 3em; line-height: 1.0; font-family: serif" | ⅓ || U+2153 || <code>&#x2153;</code> lub <code>&#8531;</code> |
||
|- |
|- |
||
| style="text-align:left" | ''Dwie trzecie'' || style="font-size: 3em; line-height: 1.0; font-family: serif" ||||| |
| style="text-align:left" | ''Dwie trzecie'' || style="font-size: 3em; line-height: 1.0; font-family: serif" | ⅔ || U+2154 || <code>&#x2154;</code> lub <code>&#8532;</code> |
||
|- |
|- |
||
| style="text-align:left" | ''Jedna piąta'' || style="font-size: 3em; line-height: 1.0; font-family: serif" | ⅕ || U+2155 || <code>&#x2155;</code> lub <code>&#8533;</code> |
| style="text-align:left" | ''Jedna piąta'' || style="font-size: 3em; line-height: 1.0; font-family: serif" | ⅕ || U+2155 || <code>&#x2155;</code> lub <code>&#8533;</code> |
||
|- |
|- |
||
| style="text-align:left" ||| style="font-size: 3em; line-height: 1.0; font-family: serif" ||||| |
| style="text-align:left" | ''Dwie piąte'' || style="font-size: 3em; line-height: 1.0; font-family: serif" | ⅖ || U+2156 || <code>&#x2156;</code> lub <code>&#8534;</code> |
||
|- |
|- |
||
| style="text-align:left" ||| style="font-size: 3em; line-height: 1.0; font-family: serif" ||||| |
| style="text-align:left" | ''Trzy piąte'' || style="font-size: 3em; line-height: 1.0; font-family: serif" | ⅗ || U+2157 || <code>&#x2157;</code> lub <code>&#8535;</code> |
||
|- |
|- |
||
| style="text-align:left" ||| style="font-size: 3em; line-height: 1.0; font-family: serif" ||||| |
| style="text-align:left" | ''Cztery piąte'' || style="font-size: 3em; line-height: 1.0; font-family: serif" | ⅘ || U+2158 || <code>&#x2158;</code> lub <code>&#8536;</code> |
||
|- |
|- |
||
| style="text-align:left" ||| style="font-size: 3em; line-height: 1.0; font-family: serif" ||||| |
| style="text-align:left" | ''Jedna szósta'' || style="font-size: 3em; line-height: 1.0; font-family: serif" | ⅙ || U+2159 || <code>&#x2159;</code> lub <code>&#8537;</code> |
||
|- |
|- |
||
| style="text-align:left" ||| style="font-size: 3em; line-height: 1.0; font-family: serif" ||||| |
| style="text-align:left" | ''Pięć szóstych'' || style="font-size: 3em; line-height: 1.0; font-family: serif" | ⅚ || U+215A || <code>&#x215A;</code> lub <code>&#8538;</code> |
||
|- |
|- |
||
| style="text-align:left" ||| style="font-size: 3em; line-height: 1.0; font-family: serif" ||||| |
| style="text-align:left" | ''Jedna ósma'' || style="font-size: 3em; line-height: 1.0; font-family: serif" | ⅛ || U+215B || <code>&#x215B;</code> lub <code>&#8539;</code> |
||
|- |
|- |
||
| style="text-align:left" ||| style="font-size: 3em; line-height: 1.0; font-family: serif" ||||| |
| style="text-align:left" | ''Trzy ósme'' || style="font-size: 3em; line-height: 1.0; font-family: serif" | ⅜ || U+215C || <code>&#x215C;</code> lub <code>&#8540;</code> |
||
|- |
|- |
||
| style="text-align:left" | ''Pięć ósmych'' || style="font-size: 3em; line-height: 1.0; font-family: serif" | ⅝ || U+215D || <code>&#x215D;</code> lub <code>&#8541;</code> |
| style="text-align:left" | ''Pięć ósmych'' || style="font-size: 3em; line-height: 1.0; font-family: serif" | ⅝ || U+215D || <code>&#x215D;</code> lub <code>&#8541;</code> |
Wersja z 14:45, 31 paź 2017
Ułamek – wyrażenie postaci , gdzie , nazywane licznikiem, oraz , nazywane mianownikiem, są dowolnymi wyrażeniami algebraicznymi. Linię oddzielającą licznik od mianownika nazywa się kreską ułamkową.
Wartością ułamka jest wartość jego licznika podzielona przez wartość mianownika, dlatego ułamek jest ilorazem. Z tego też powodu o mianowniku ułamka zakłada się, że jest różny od zera, bowiem iloraz jest nieokreślony.
Liczby wymierne
Jeżeli licznikiem i mianownikiem ułamka są liczby całkowite, wówczas wartością ułamka jest liczba wymierna.
Ułamek będący liczbą wymierną nazywa się właściwym, gdy jego wartość bezwzględna jest mniejsza od jedności, a niewłaściwym, gdy jest ona od niej większa lub równa. Ułamek o dodatnim liczniku i mianowniku jest właściwy, gdy jego licznik jest mniejszy od mianownika, niewłaściwy – gdy jest większy lub równy. Ułamek niewłaściwy można przedstawić w postaci liczby mieszanej, tj. sumy liczby całkowitej i ułamka właściwego; aby tego dokonać należy wykonać dzielenie z resztą licznika przez mianownik. Zwyczajowo sumę zapisuje się już bez znaku dodawania, np. staje się
Działania na ułamkach
Dla każdego ułamek jest równy . Operację zamiany na nazywamy rozszerzeniem ułamka, odwrotną zaś nazywa się skróceniem ułamka.
Mnożenie i dzielenie wykonuje się wg wzorów:
- , na przykład:
- .
Przedstawienie liczby w postaci ułamka prowadzi do wzorów:
- ,
- .
Aby dodać lub odjąć od siebie ułamki o identycznych mianownikach należy skorzystać z następujących wzorów:
- .
Jeżeli mianowniki są różne, należy uprzednio sprowadzić je do wspólnego mianownika, co polega na takim rozszerzeniu ułamków, aby ich mianowniki zrównały się. Prawdziwe są wzory:
- .
Liczba może zawsze pełnić rolę wspólnego mianownika, jednak często warto jest poszukać mniejszych wartości, najmniejszą możliwą jest najmniejsza wspólna wielokrotność liczb i .
Wyrażenia wymierne
Jeżeli licznik i mianownik danego ułamka są wielomianami, to nazywa się go wyrażeniem wymiernym; reprezentuje ono wówczas w naturalny sposób funkcję wymierną. Jeżeli stopień licznika jest większy lub równy stopniowi mianownika, to można wykonać dzielenie wielomianowe i otrzymać, podobnie jak w przypadku dzielenia liczb, wynik jako sumę wielomianu oraz funkcji wymiernej.
Ciało ułamków
- Osobny artykuł:
Dla każdego pierścienia całkowitego (zatem i struktur takich jak pierścień liczb całkowitych czy pierścień wielomianów o współczynnikach całkowitych) można zdefiniować ciało nazywane ciałem ułamków.
Istotność założenia całkowitości pierścienia
Jeżeli pierścień przemienny ma dzielniki zera, to nie można skonstruować na nim ciała ułamków: jeśli dla niezerowych , to
- ,
czyli
- ,
stąd zaś dla dowolnego
- ,
więc jest tylko jedna klasa abstrakcji – klasa , a z definicji ciało ma przynajmniej dwa różne elementy.
Dla pierścieni nieprzemiennych tworzenie ułamków bardzo się komplikuje.
Typografia
Szablon:Oznaczenia matematyczne Licznik i mianownik zwykle oddziela się linią; jeżeli jest ona pochyła, to nazywa się ją ukośnikiem, np. Szablon:Uł; jeśli linia ta jest pozioma, to nazywa się ją kreską ułamkową, np. .
W Unicode niektóre ułamki kodowane są za pomocą jednego znaku. Są to:
Nazwa | Znak | Unicode | Kod HTML |
---|---|---|---|
Jedna czwarta | ¼ | U+00BC | ¼ lub ¼
|
Jedna druga | ½ | U+00BD | ½ lub ½
|
Trzy czwarte | ¾ | U+00BE | ¾ lub ¾
|
Jedna siódma | ⅐ | U+2150 | ⅐ lub ⅐
|
Jedna dziewiąta | ⅑ | U+2151 | ⅑ lub ⅑
|
Jedna dziesiąta | ⅒ | U+2152 | ⅒ lub ⅒
|
Jedna trzecia | ⅓ | U+2153 | ⅓ lub ⅓
|
Dwie trzecie | ⅔ | U+2154 | ⅔ lub ⅔
|
Jedna piąta | ⅕ | U+2155 | ⅕ lub ⅕
|
Dwie piąte | ⅖ | U+2156 | ⅖ lub ⅖
|
Trzy piąte | ⅗ | U+2157 | ⅗ lub ⅗
|
Cztery piąte | ⅘ | U+2158 | ⅘ lub ⅘
|
Jedna szósta | ⅙ | U+2159 | ⅙ lub ⅙
|
Pięć szóstych | ⅚ | U+215A | ⅚ lub ⅚
|
Jedna ósma | ⅛ | U+215B | ⅛ lub ⅛
|
Trzy ósme | ⅜ | U+215C | ⅜ lub ⅜
|
Pięć ósmych | ⅝ | U+215D | ⅝ lub ⅝
|
Siedem ósmych | ⅞ | U+215E | ⅞ lub ⅞
|
Jedna ... | ⅟ | U+215F | ⅟ lub ⅟
|