Ortogonalność: Różnice pomiędzy wersjami
[wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
drobne redakcyjne |
→Przykłady: drobne redakcyjne |
||
Linia 33: | Linia 33: | ||
; Przestrzenie funkcyjne |
; Przestrzenie funkcyjne |
||
Ortogonalność pojawia się również w kontekście [[przestrzeń funkcyjna|przestrzeni funkcyjnych]], |
Ortogonalność pojawia się również w kontekście [[przestrzeń funkcyjna|przestrzeni funkcyjnych]], w których określony jest pewien iloczyn skalarny. Z tego powodu mówi się często o ''funkcjach ortogonalnych'', czy ''[[wielomiany ortogonalne|wielomianach ortogonalnych]]''. Klasycznym przykładem jest [[przestrzeń Lp|przestrzeń <math>L^2[a, b]</math>]], tj. przestrzeń wszystkich funkcji, określonych na przedziale <math>\scriptstyle [a, b]</math> o wartościach [[liczby zespolone|zespolonych]], [[funkcja całkowalna|całkowalnych]] w drugiej potędze. Iloczyn skalarny elementów <math>f</math> i <math>g</math> tej przestrzeni definiuje się wzorem |
||
: <math>\langle f, g \rangle = \int\limits_a^b f(t) \overline{g(t)} \mathrm dt.</math> |
: <math>\langle f, g \rangle = \int\limits_a^b f(t) \overline{g(t)} \mathrm dt.</math> |
||
Wersja z 23:39, 12 mar 2011
Ortogonalność (z gr. ortho – proste, gonia – kąt) – uogólnienie pojęcia prostopadłości znanego z geometrii euklidesowej na abstrakcyjne przestrzenie z określonym iloczynem skalarnym, jak np. przestrzenie unitarne (w tym przestrzenie Hilberta) czy przestrzenie ortogonalne. Pojęcie ortogonalności bywa uogólnianie również na przestrzenie unormowane w których nie ma naturalnej struktury iloczynu skalarnego (ortogonalność w sensie Pitagorasa, ortogonalność w sensie Jamesa, ortogonalność w sensie Birkhoffa, T-ortogonalność)[1].
Prostopadłość wektorów w przestrzeni trójwymiarowej
Długość wektora w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej wyraża się wzorem
- .
Jeżeli i są wektorami z przestrzeni trójwymiarowej, to długość wektora wynosi
Liczby są długościami boków trójkąta , gdzie .
Wektory są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy trójkąt jest prostokątny, a więc spełnia założenia twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa
tzn.
Zastosowanie wzoru na kwadrat różnicy do powyższej równości implikuje równość
- ,
która upraszcza się do wyrażenia
- .
Lewa strona powyższej równości pokrywa się ze wzorem na iloczyn skalarny wektorów i w przestrzeni trójwymiarowej.
Definicja
Elementy i przestrzeni unitarnej z iloczynem skalarnym nazywa się ortogonalnymi, gdy
Relację zapisuje się symbolicznie . Podzbiór przestrzeni unitarnej nazywa się układem ortogonalnym, gdy każde dwa różne jego elementy są ortogonalne.
Przykłady
- Przestrzenie euklidesowe
- Zobacz też:
Wektory i na płaszczyźnie są ortogonalne (prostopadłe), ponieważ
- .
Wektor zerowy jest ortogonalny do każdego wektora.
- Przestrzenie funkcyjne
Ortogonalność pojawia się również w kontekście przestrzeni funkcyjnych, w których określony jest pewien iloczyn skalarny. Z tego powodu mówi się często o funkcjach ortogonalnych, czy wielomianach ortogonalnych. Klasycznym przykładem jest przestrzeń , tj. przestrzeń wszystkich funkcji, określonych na przedziale o wartościach zespolonych, całkowalnych w drugiej potędze. Iloczyn skalarny elementów i tej przestrzeni definiuje się wzorem
W przypadku, gdy , to rodzina funkcji
jest przykładem układu ortogonalnego. Inne przykłady ortogonalnych układów funkcji to np. wielomiany Legendre'a czy wielomiany Czebyszewa.
- ↑ Roman Ger: Orthogonalities in linear spaces and difference operators, Aequationes Mathematicae Volume 60, Number 3, 268-282, DOI:10.1007/s000100050153