Algebra Banacha: Różnice pomiędzy wersjami
[wersja nieprzejrzana] | [wersja nieprzejrzana] |
m drobne redakcyjne |
m interwiki - kolejność |
||
Linia 40: | Linia 40: | ||
[[de:Banachalgebra]] |
[[de:Banachalgebra]] |
||
⚫ | |||
[[fr:Algèbre de Banach]] |
[[fr:Algèbre de Banach]] |
||
[[he:אלגברת בנך]] |
[[he:אלגברת בנך]] |
||
Linia 45: | Linia 46: | ||
[[nl:Banach-algebra]] |
[[nl:Banach-algebra]] |
||
[[pt:Álgebra de Banach]] |
[[pt:Álgebra de Banach]] |
||
⚫ |
Wersja z 21:59, 19 sie 2007
Algebra Banacha – w analizie funkcjonalnej, unormowana algebra nad ciałem liczb zespolonych, w której metryka dyktowana przez normę jest zupełna. Swoją nazwę zawdzięczają polskiemu matematykowi, Stefanowi Banachowi, który badał je jako pierwszy.
Algebra zespolona
Algebrą nad ciałem liczb zespolonych (-algebrą lub algebrą zespoloną) nazywamy przestrzeń unormowaną , z określonym łącznym i obustronnie rozdzielnym względem skalarów działaniem dwuargumentowym
- ,
czyli takim które dla dowolnych spełnia warunki:
- ,
- ,
- .
Jeżeli dodatkowo działanie jest przemienne, , to nazywamy algebrą przemienną. Algebra zespolona może nie mieć jedynki. Skrajnym przykładem jest dowolna przestrzeń liniowa z określonym działaniem mnożenia dla wszelkich [1].
Definicja
Algebrę zespoloną nazywamy unormowaną, jeśli jest przestrzenią unormowaną, której norma jest podmultyplikatywna, tj. dla dowolnych :
- Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikipedia.org/v1/”:): {\displaystyle \|xy\| \leqslant \|x\| \|y\|} . Jeżeli ponadto norma ta jest zupełna, tj. metryka przez nią dyktowana jest zupełna, to nazywamy algebrą Banacha.
Przykłady
- Niech będzie przestrzenią Banacha i niech oznacza algebrę wszystkich ograniczonych operatorów przestrzeni ze składnianiem jako działaniem mnożenia. jest algebrą Banacha z jedynką oraz .
- Niech będzie zwartą przestrzenią Hausdorffa oraz niech oznacza przestrzeń wszystkich funkcji ciągłych z działaniami dodawania i mnożenia określonymi punktowo, tj. dla dowolnych funkcji zachodzi
- ,
- ,
- z normą supremum. jest algebrą Banacha z jedynką.
- Niech Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikipedia.org/v1/”:): {\displaystyle \mathcal L(\mathbb R)}
oznacza przestrzeń Banacha funkcji całkowalnych w sensie Lebesgue'a na prostej z działaniem mnożenia określonym przez splot, tj.
- .
- Jest to przykład algebry Banacha bez jedynki, którą jednak można aproksymować w takim sensie, że istnieje ciąg funkcji ortonormalnych spełniających warunek:
- .
- Przykładem skończeniewymiarowej[2] algebry Banacha jest przestrzeń macierzy z działaniem zwykłego mnożenia macierzy i normą np. daną wzorem
- .
- Kwaterniony tworzą 4-wymiarową algebrę Banacha z normą daną przez ich moduł.
- Każda C*-algebra jest algebrą Banacha.
- Niech będzie lokalnie zwartą, hausdorffowską grupą topologiczną oraz określoną na niej miarą Haara. Przestrzeń funkcji -całkowalnych na z działaniem mnożenia, określonym jak niżej, jest algebrą Banacha.
- dla
Źródła
- William Arveson: A Short Course on Spectral Theory. Nowy Jork: Springer-Verlag, 2001.
- ↑ Jeśli jest przestrzenią Banacha, to jest przykładem algebry Banacha, w której jedność nie może być aproksymowana jak pokazano w przykładzie 3.
- ↑ w sensie wymiaru przestrzeni unormowanej