Średnia arytmetyczno-geometryczna

Średnią arytmetyczno-geometryczną dwóch liczb rzeczywistych dodatnich $a$ i $b,$ oznaczaną często w nomenklaturze anglojęzycznej przez $AGM(a,b)$ lub $M(a,b),$ nazywamy wspólną granicę następujących ciągów określonych rekurencyjnie:

$a_{n+1}={\frac {a_{n}+b_{n}}{2}},$

$b_{n+1}={\sqrt {a_{n}b_{n}}},$

gdzie $a_{0}=a$ oraz $b_{0}=b,$ przy czym średnią tę można rozszerzyć dla liczb zespolonych. Granica ta istnieje dla dowolnych $a,b$ rzeczywistych dodatnich, ponieważ $b_{n}\leqslant b_{n+1}\leqslant a_{n+1}\leqslant a_{n},$ co wynika z nierówności Cauchy’ego między średnimi, i równocześnie kolejne różnice pomiędzy odpowiednimi wyrazami ciągów $(a_{n})$ i $(b_{n})$ dążą do zera:

$\lim _{n\to \infty }(a_{n}-b_{n})=0.$

Z samej konstrukcji mamy:

${\sqrt {ab}}\leqslant M(a,b)\leqslant {\frac {a+b}{2}}.$

Przykład

Aby wyznaczyć średnią arytmetyczno-geometryczną liczb $a_{0}=24$ i $b_{0}=6,$ najpierw wyliczamy wartości średnich:

$a_{1}={\tfrac {24+6}{2}}=15,$

$b_{1}={\sqrt {24\cdot 6}}=12$

i dalej rekurencyjnie:

$a_{2}={\tfrac {15+12}{2}}=13{,}5,$

$b_{2}={\sqrt {15\cdot 12}}=13{,}4164078649\dots$

$\dots .$

Po pięciu początkowych iteracjach otrzymujemy:

$n$	$a_{n}$	$b_{n}$
0	24	6
1	15	12
2	13,5	13,416407864998738178455042…
3	13,458203932499369089227521…	13,458139030990984877207090…
4	13,458171481745176983217305…	13,458171481706053858316334…
5	13,458171481725615420766820…	13,458171481725615420766806…

Jak widzimy na przykładzie, ciąg zgodnych cyfr po przecinku (zaznaczonych podkreśleniem) wydłuża się mniej więcej dwukrotnie z każdym powtórzeniem. Średnia arytmetyczno-geometryczna liczb 24 i 6 jest wspólną granicą podanych dwóch ciągów, równą w przybliżeniu 13,4581714817256154207668131569743992430538388544.

Własności

Badania nad nią zapoczątkowane zostały jeszcze przez Gaussa, który w początkowym okresie swojej twórczości naukowej poświęcił jej dużo miejsca. W jego dzienniku z 30 maja 1799 roku czytamy nawet, że badania nad nią „stworzyły nowe pola rozwoju analizy”. Wkrótce odkrył on zaskakującą równość:

$\int \limits _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\alpha }{\sqrt {a^{2}\cos ^{2}\alpha +b^{2}\sin ^{2}\alpha }}}={\frac {\pi }{2M(a,b)}},$

z której wynika, że długość ćwiartki lemniskaty Bernoulliego wyraża się zależnością:

$\int \limits _{0}^{1}{\frac {dt}{\sqrt {1-t^{4}}}}={\frac {\pi }{2M(1,{\sqrt {2}})}}.$

Wielkość $M(1,{\sqrt {2}})$ nazywa się stałą Gaussa i wynosi w przybliżeniu $1{,}198\,140\,234\,735\,592\,207\,439\,9\ldots$

Czasami stałą Gaussa nazywa się odwrotność powyższej liczby.

Średnia arytmetyczno-geometryczna ma wiele ciekawych własności m.in.:

$M(\lambda a,\lambda b)=\lambda M(a,b),{\mbox{dla }}\lambda \geqslant 0,$

$M(a,b)=M({\tfrac {a+b}{2}},{\sqrt {ab}}),$

czyli w szczególności dla $0<x<1$

$M(1-x,1+x)=M(1,{\sqrt {1-x^{2}}}).$

Obecnie średnią arytmetyczno-geometryczną Gaussa wykorzystuje się w przeróżnych algorytmach służących do obliczania liczby π, z których najważniejszym wydaje się być odnaleziony w 1976 przez E. Salamina i R. Brenta:

$\pi ={\frac {4[M(1,2^{-{\frac {1}{2}}})]^{2}}{1-\sum \limits _{j=1}^{\infty }2^{j+1}c_{j}^{2}}},$

gdzie:

$c_{n}={\tfrac {1}{2}}(a_{n}-b_{n})$

oraz $a_{0}=1$ i $b_{0}={\tfrac {1}{\sqrt {2}}},$ zaś $a_{n}$ i $b_{n}$ dla $n>0$ otrzymujemy ze wzorów powyżej.

Bibliografia

• L. Berggren, J. Borwein, P. Borwein, Pi: A Source Book, Springer-Verlag, 2000, ISBN 0-387-98946-3.

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Arithmetic-Geometric Mean, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-13]  (ang.).