Skala alefów

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Skala alefów – ciąg wszystkich początkowych liczb porządkowych indeksowany liczbami porządkowymi.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Mówimy, że liczba porządkowa \alpha jest początkową liczbą porządkową (albo liczbą kardynalną), jeśli \alpha nie jest równoliczna z żadną liczbą porządkową od niej mniejszą. Przez indukcję po wszystkich liczbach porządkowych \alpha\in {\mathbf{ON}} definiujemy ciąg \langle\aleph_\alpha\colon\,\alpha\in {\mathbf{ON}}\rangle (jest to klasa właściwa):

  • \aleph_0 jest pierwszą nieskończoną liczbą porządkową,
  • \aleph_{\alpha+1} jest pierwszą początkową liczbą porządkową większą od \aleph_\alpha,
  • jeśli \gamma jest liczbą graniczną, to
\aleph_\gamma=\sup\limits_{\alpha<\gamma}\aleph_\alpha=\bigcup\limits_{\alpha<\gamma}\aleph_\alpha.

Należy zauważyć, że czasami stosuje się oznaczenie \omega_\alpha na \aleph_\alpha. Zwykle ma to miejsce wtedy, gdy chcemy podkreślić że jesteśmy zainteresowani strukturą porządkową a nie tylko mocą zbioru. Tak więc zapis "\omega_\alpha" oznacza często \alpha-tą początkową liczbę porządkową z porządkiem, natomiast "\aleph_\alpha" to ten sam zbiór, ale bez struktury porządkowej.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Alef-zero, pierwsza nieskończona liczba kardynalna.
  • \aleph_0 (też nazywane \omega lub \omega_0) jest liczebnością zbioru liczb naturalnych. \aleph_0 jest najmniejszą nieskończoną liczbą kardynalną,
  • \aleph_1 (też nazywane \omega_1 jest pierwszą nieprzeliczalną liczbą porządkową.
  • \aleph_{\aleph_0} (zwykle nazywane \aleph_\omega) jest najmniejszą liczbą, która jest większa niż \aleph_0, \aleph_1, \aleph_2, \ldots . Innymi słowy, \aleph_{\omega} jest pierwszą liczbą \kappa z właśnością, że istnieje nieskończenie wiele liczb nieskończonych mniejsze od \kappa,
  • \aleph_{\omega_1} jest pierwszą liczbą \kappa z właśnością, że istnieje nieprzeliczalnie wiele liczb kardynalnych mniejsze od \kappa,

Własności[edytuj | edytuj kod]

  • W ZFC, każdy nieskończony zbiór X jest równoliczny z pewnym alefem (nazywanym mocą zbioru X).
  • Istnieją liczby porządkowe \alpha takie że \alpha=\aleph_\alpha (są to tzw. punkty stałe skali alefów). Jeśli \aleph_\alpha jest liczbą nieosiągalną, to \aleph_\alpha=\alpha, ale punkty stałe skali alefów można spotkać dużo wcześniej. Pierwszą taką liczbą jest granica (kres górny) ciągu \aleph_0, \aleph_{\aleph_0}, \aleph_{\aleph_{\aleph_0}},\ldots
  • Hipoteza continuum mówi, że zbiór {\mathbb R} jest równoliczny z \aleph_1.
  • \aleph_\omega ma tę ciekawą własność, że jest pierwszą nieprzeliczalną liczbą kardynalną, która nie może być mocą zbioru liczb rzeczywistych. Sporo badań było poświęconych zagadnieniu jakie wartości może mieć \aleph_\omega^{\aleph_0}. Po serii wyników niezależnościowych otrzymywanych przy założeniu dużych liczb kardynalnych przez wielu matematyków, Saharon Shelah podał następujące niespodziewane ograniczenie górne:
\aleph_\omega^{\aleph_0}\leqslant 2^{\aleph_0}+\aleph_{\omega_4}.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]