Liczba mierzalna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Liczba mierzalnanieprzeliczalna liczba kardynalna \kappa na której istnieje \kappa-zupełny niegłówny ultrafiltr. Liczba rzeczywiście mierzalna to nieprzeliczalna liczba kardynalna \kappa na której istnieje \kappa-addytywna miara która znika na punktach i która mierzy wszystkie podzbiory \kappa.

Liczby mierzalne są punktem wyjściowym dla części hierarchii dużych liczb kardynalnych związanej z zanurzeniami elementarnymi V w model wewnętrzny M.

Rys historyczny[edytuj | edytuj kod]

  • W 1905, Giuseppe Vitali podał przykład podzbioru liczb rzeczywistych {\mathbb R} który nie może być mierzalny względem żadnej przeliczalnie addytywnej miary niezmienniczej na przesunięcia (zbiór Vitalego).
  • Stefan Banach sformułował następujący problem: Czy istnieje przeliczalnie addytywna miara μ mierząca wszystkie podzbiory {\mathbb R} i znikająca na punktach.
  • W 1929, Stefan Banach i Kazimierz Kuratowski wykazali, że przy założeniu CH taka miara nie istnieje[1].
  • W 1930, Stanisław Ulam[2] wykazał, że każda rzeczywiście mierzalna liczba kardynalna jest (słabo) nieosiągalna. W tym samym artykule Ulam rozważał miary o wartościach w \{0,1\} wprowadzając tak pojęcie liczby mierzalnej.

Definicje[edytuj | edytuj kod]

Niech κ będzie liczbą kardynalną.

  • κ-addytywna miara na κ to taka funkcja
\mu:{\mathcal P}(\kappa)\longrightarrow [0,1],
że
(a) \mu(\kappa)=1 ale \mu(\{x\})=0 dla każdego x\in \kappa, oraz
(b) jeśli \{A_\alpha:\alpha<\lambda\}\subseteq {\mathcal P}(\kappa) jest rodziną parami rozłącznych podzbiorów κ oraz λ < κ, to
\mu\left(\bigcup\limits_{\alpha<\lambda}A_\alpha\right)=\sum\limits_{\alpha<\lambda}\mu(A_\alpha):=\sup\Bigg\{\sum_{i\in I}\mu(A_i): I jest skończonym podzbiorem \lambda\Bigg\}.
  • Filtr F podzbiorów zbioru S jest
(i) κ-zupełny jeśli przekrój mniej niż κ zbiorów z F należy do F,
(ii) filtrem głównym jeśli F=\{X\subseteq S:A\subseteq X\} dla pewnego zbioru A\subseteq S.

Nieprzeliczalna liczba kardynalna κ jest liczbą rzeczywiście mierzalną jeśli istnieje κ-addytywna miara na κ. Nieprzeliczalna liczba kardynalna κ jest liczbą mierzalną jeśli istnieje κ-addytywna miara na κ o wartościach w {0,1}. Jeśli

\mu:{\mathcal P}(\kappa)\longrightarrow \{0,1\}

jest κ-addytywną miarą na \kappa, to

U=\{A\subseteq\kappa:\mu(A)=1\}

jest κ-zupełnym niegłównym ultrafiltrem na κ. Każdy taki ultrafiltr wyznacza też odpowiednią miarę. Zatem nieprzeliczalna liczba kardynalna κ jest mierzalna wtedy i tylko wtedy gdy istnieje κ-zupełny niegłówny ultrafiltr podzbiorów κ. (To ostatnie sformułowanie jest najczęściej używaną definicją liczby mierzalnej.)

Przykładowe własności[edytuj | edytuj kod]

  • Każda liczba mierzalna jest rzeczywiście mierzalna.
  • W ZFC, każda liczba rzeczywiście mierzalna jest granicą liczb słabo nieosiągalnych a każda liczba mierzalna jest liczbą silnie nieosiągalną. Zatem nie można udowodnić w ZFC że istnieją liczby rzeczywiście mierzalne. Natomiast jeśli ZF jest niesprzeczne, to także teoria "ZFC + nie istnieją liczby rzeczywiście mierzalne" jest niesprzeczna.
  • Zakładając ZF+AD:
  1. \aleph_1 jest liczbą mierzalną (a nawet filtr generowany przez cluby jest ultrafiltrem) oraz
  2. \aleph_2 jest liczbą mierzalną.
(i) Jeśli \kappa jest liczbą mierzalną, to pewne pojęcie forsingu {\mathbb P} forsuje że
2^{\aleph_0}=\kappa i \kappa jest rzeczywiście mierzalna.
(ii) Jeśli \kappa jest liczbą rzeczywiście mierzalną, to \kappa jest mierzalna w pewnym modelu wewnętrznym ZFC.
  • Jeśli \kappa jest liczbą mierzalną oraz 2^\lambda=\lambda^+ dla każdej nieskończonej liczby kardynalnej \lambda<\kappa, to również 2^\kappa=\kappa^+.
  • Jeśli istnieje liczba mierzalna, to każda przestrzeń Banacha ma własność Lebesgue-PIP.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. Banach, S.; Kuratowski, C.: Sur une généralisation du problème de la mesure. "Fundamenta Mathematicae"14 (1929), s. 127-131.
  2. Ulam, S.: Zur Maßtheorie in der allgemeinen Mengenlehre. "Fundamenta Mathematicae" 16 (1930), s. 140-150.
  3. Martin, Donald A.: Measurable cardinals and analytic games. "Fundamenta Mathematicae" 66 (1969/1970), s. 287-291.
  4. Solovay, R.M.: Real-valued measurable cardinals. "Axiomatic set theory (Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XIII, Part I, Univ. California, Los Angeles, Calif., 1967)", Amer. Math. Soc., Providence, R.I., 1971, s. 397-428.