Liczba mierzalna

Liczba mierzalna – nieprzeliczalna liczba kardynalna $\kappa$ na której istnieje $\kappa$-zupełny niegłówny ultrafiltr. Liczba rzeczywiście mierzalna to nieprzeliczalna liczba kardynalna $\kappa$ na której istnieje $\kappa$-addytywna miara która znika na punktach i która mierzy wszystkie podzbiory $\kappa$.

Liczby mierzalne są punktem wyjściowym dla części hierarchii dużych liczb kardynalnych związanej z zanurzeniami elementarnymi V w model wewnętrzny M.

Rys historyczny

• W 1905, Giuseppe Vitali podał przykład podzbioru liczb rzeczywistych ${\mathbb R}$ który nie może być mierzalny względem żadnej przeliczalnie addytywnej miary niezmienniczej na przesunięcia (zbiór Vitalego).
• Stefan Banach sformułował następujący problem: Czy istnieje przeliczalnie addytywna miara μ mierząca wszystkie podzbiory ${\mathbb R}$ i znikająca na punktach.
• W 1929, Stefan Banach i Kazimierz Kuratowski wykazali, że przy założeniu CH taka miara nie istnieje.
• W 1930, Stanisław Ulam wykazał, że każda rzeczywiście mierzalna liczba kardynalna jest (słabo) nieosiągalna. W tym samym artykule Ulam rozważał miary o wartościach w $\{0,1\}$ wprowadzając tak pojęcie liczby mierzalnej.

Definicje

Niech $\kappa$ będzie liczbą kardynalną.

• $\kappa$-addytywna miara na $\kappa$ to funkcja $\mu:{\mathcal P}(\kappa)\longrightarrow [0,1]$ taka, że

(a) $\mu(\kappa)=1$ ale $\mu(\{x\})=0$ dla każdego $x\in \kappa$, oraz

(b) jeśli $\{A_\alpha:\alpha<\lambda\}\subseteq {\mathcal P}(\kappa)$ jest rodziną parami rozłącznych podzbiorów $\kappa$ oraz $\lambda<\kappa$, to

$\mu\left(\bigcup\limits_{\alpha<\lambda}A_\alpha\right)=\sum\limits_{\alpha<\lambda}\mu(A_\alpha):=\sup\Bigg\{\sum_{i\in I}\mu(A_i): I$ jest skończonym podzbiorem $\lambda\Bigg\}$.

• Filtr $F$ podzbiorów zbioru $S$ jest

(i) $\kappa$-zupełny jeśli przekrój mniej niż $\kappa$ zbiorów z $F$ należy do $F$,

(ii) filtrem głównym jeśli $F=\{X\subseteq S:A\subseteq X\}$ dla pewnego zbioru $A\subseteq S$.

Nieprzeliczalna liczba kardynalna $\kappa$ jest liczbą rzeczywiście mierzalną jeśli istnieje $\kappa$-addytywna miara na $\kappa$. Nieprzeliczalna liczba kardynalna $\kappa$ jest liczbą mierzalną jeśli istnieje $\kappa$-addytywna miara na $\kappa$ o wartościach w $\{0,1\}$.

Należy zauważyć, że jeśli $\mu:{\mathcal P}(\kappa)\longrightarrow \{0,1\}$ jest $\kappa$-addytywną miarą na $\kappa$, to $U=\{A\subseteq\kappa:\mu(A)=1\}$ jest $\kappa$-zupełnym niegłównym ultrafiltrem na $\kappa$. Każdy taki ultrafiltr wyznacza też odpowiednią miarę. Zatem nieprzeliczalna liczba kardynalna $\kappa$ jest mierzalna wtedy i tylko wtedy gdy istnieje $\kappa$-zupełny niegłówny ultrafiltr podzbiorów $\kappa$. (To ostatnie sformułowanie jest najczęściej używaną definicją liczby mierzalnej.)

Przykładowe własności

• Każda liczba mierzalna jest rzeczywiście mierzalna.
• W ZFC, każda liczba rzeczywiście mierzalna jest granicą liczb słabo nieosiągalnych a każda liczba mierzalna jest liczbą silnie nieosiągalną. Zatem nie można udowodnić w ZFC że istnieją liczby rzeczywiście mierzalne. Natomiast jeśli ZF jest niesprzeczne, to także teoria "ZFC + nie istnieją liczby rzeczywiście mierzalne" jest niesprzeczna.
• Zakładając ZF+AD:

1. $\aleph_1$ jest liczbą mierzalną (a nawet filtr generowany przez cluby jest ultrafiltrem) oraz
2. $\aleph_2$ jest liczbą mierzalną.

• Jeśli istnieje liczba mierzalna, to wszystkie gry nieskończone na analityczne podzbiory ${\mathcal N}$ są zdeterminowane.
• Robert M. Solovay udowodnił, że

(i) Jeśli $\kappa$ jest liczbą mierzalną, to pewne pojęcie forsingu ${\mathbb P}$ forsuje że

$2^{\aleph_0}=\kappa$ i $\kappa$ jest rzeczywiście mierzalna.

(ii) Jeśli $\kappa$ jest liczbą rzeczywiście mierzalną, to $\kappa$ jest mierzalna w pewnym modelu wewnętrznym ZFC.

• Jeśli $\kappa$ jest liczbą mierzalną oraz $2^\lambda=\lambda^+$ dla każdej nieskończonej liczby kardynalnej $\lambda<\kappa$, to również $2^\kappa=\kappa^+$.
• Jeśli istnieje liczba mierzalna, to każda przestrzeń Banacha ma własność Lebesgue-PIP.

Zobacz też

• teoria mnogości
• duże liczby kardynalne
• liczba nieosiągalna