Duże liczby kardynalne

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Duże liczby kardynalne (ang. large cardinals) – liczby kardynalne, których istnienia nie można udowodnić w ZFC i co więcej takie, dla których niesprzeczność istnienia nie wynika z niesprzeczności ZFC, a jednocześnie można wykazać niesprzeczność nieistnienia tych liczb.

Ściśle mówiąc, to rozważa się różne własności liczb kardynalnych (i duże liczby to liczby kardynalne mające pewne z tych własności). Postulaty, że istnieją liczby kardynalne spełniające określonego rodzaju własności dużych liczb, noszą wspólną nazwę aksjomatów dużych liczb (ang. Large Cardinals Axioms).

Hierarchia niesprzeczności[edytuj | edytuj kod]

Cechą definiującą własności dużych liczb kardynalnych jest to, że nie można udowodnić, że niesprzeczność ZFC implikuje niesprzeczność istnienia liczby z odpowiednią własnością. Wyjaśnijmy to na przykładzie liczb nieosiągalnych. Zauważmy najpierw, że (w ZFC), jeśli \kappa jest liczbą silnie nieosiągalną, to Vκ jest modelem ZFC. Niech I będzie zdaniem istnieje liczba silnie nieosiągalna. Na podstawie poprzedniego stwierdzenia,

(* ) w ZFC+I można udowodnić że istnieje model dla ZFC, a więc
(**) w ZFC+I można udowodnić że ZFC jest niesprzeczne.

Przypuśćmy teraz nie wprost, że wykazaliśmy iż

(!) jeśli ZFC jest niesprzeczne, to także ZFC+I jest niesprzeczne.

Zakładając rzecz jasna że "ZFC jest niesprzeczne", wiemy iż także "ZFC+I jest niesprzeczne". Używając stwierdzenia (**) możemy teraz zaargumentować, że zdanie "ZFC+I jest niesprzeczne" jest dowodliwe w ZFC+I. To z kolei przeczy drugiemu twierdzeniu Gödla o niezupełności.

Z drugiej strony, jeśli istnieją liczby nieosiągalne i \kappa jest pierwszą taką liczbą, to Lκ jest modelem dla "ZFC + nie istnieją liczby nieosiągalne". Zatem jeśli teoria ZF jest niesprzeczna, to także teoria "ZFC + nie istnieją liczby nieosiągalne" jest niesprzeczna.

Większość własności dużych liczb kardynalnych tworzy ciąg liniowo uporządkowany ze względu na "siłę niesprzeczności istnienia danej liczby". Można to sformalizować następująco. Dla danych własności W1 i W2 dużych liczb, dokładnie jedno z następujących stwierdzeń jest prawdziwe:

  • W ZFC można udowodnić, że
"ZFC+(\exists\kappa)(W_1(\kappa)) jest niesprzeczne" wtedy i tylko wtedy gdy "ZFC+(\exists\kappa)(W_2(\kappa)) jest niesprzeczne".
  • W ZFC+(\exists\kappa)(W_1(\kappa)) można udowodnić, że "ZFC+(\exists\kappa)(W_2(\kappa)) jest niesprzeczne".
  • W ZFC+(\exists\kappa)(W_2(\kappa)) można udowodnić, że "ZFC+(\exists\kappa)(W_1(\kappa)) jest niesprzeczne".

Liczby niesprzeczne z V=L[edytuj | edytuj kod]

Dla wielu matematyków fakt że nie można udowodnić w ZFC niesprzeczności istnienia dużych liczb jest trochę odstraszającym. Jednak w miarę akumulacji istotnych wyników mówiących o definiowalnych podzbiorach prostej rzeczywistej a wymagających założenia istnienia pewnych dużych liczb, liczba przeciwników tego typu postulatów maleje. Można zaryzykować tezę, że współcześni matematycy nie mają wątpliwości że założenia istnienia dużych liczb które są niesprzeczne z aksjomatem konstruowalności są całkowicie akceptowalne. Wśród liczb które mogą istnieć w L znajdują się następujące liczby.

  • Nieprzeliczalna liczba kardynalna \kappa jest (słabo) nieosiągalna jeśli jest ona graniczną regularną liczbą kardynalną, a jest nazywana liczbą silnie nieosiągalną jeśli jest ona silnie graniczna i regularna.
  • Liczba słabo Mahlo to słabo nieosiągalna liczba \kappa taka, że zbiór \{\mu<\kappa: \mu jest regularną liczbą kardynalną \} jest stacjonarnym podzbiorem \kappa.
    Jeśli \kappa jest liczbą słabo Mahlo, to nawet zbiór \{\mu<\kappa: \mu jest słabo nieosiągalna \} jest stacjonarny.
  • Liczba Mahlo to silnie nieosiągalna liczba \kappa taka, że zbiór \{\mu<\kappa: \mu jest regularną liczbą kardynalną \} jest stacjonarnym podzbiorem \kappa.
    Jeśli \kappa jest liczbą Mahlo, to nawet zbiór \{\mu<\kappa: \mu jest silnie nieosiągalna \} jest stacjonarny.
  • Nieprzeliczalna liczba kardynalna \kappa jest liczbą słabo zwartą jeśli
dla każdej funkcji F:[\kappa]^2\longrightarrow \{0,1\} istnieje zbiór H\subseteq \kappa mocy \kappa taki, że obcięcie F\upharpoonright [H]^2 jest funkcją stałą.
Powyżej, dla zbioru X, [X]^2 oznacza rodzinę wszystkich dwuelementowych podzbiorów X.

Większe liczby[edytuj | edytuj kod]

  • Liczba Ramseya to taka liczba kardynalna \kappa, że
dla każdej funkcji F:\bigcup\limits_{n<\omega}[\kappa]^n\longrightarrow \{0,1\} istnieje zbiór H\subseteq \kappa mocy \kappa taki, że dla każdej liczby naturalnej n obcięcie F\upharpoonright [H]^n jest funkcją stałą.
Powyżej, dla zbioru X, [X]^n oznacza rodzinę wszystkich n-elementowych podzbiorów X.
  • Nieprzeliczalna liczba kardynalna \kappa jest mierzalna jeśli istnieje \kappa-zupełny niegłówny ultrafiltr podzbiorów \kappa.
  • Nieprzeliczalna liczba kardynalna \kappa jest silnie zwarta jeśli dla każdego zbioru X, każdy \kappa-zupełny filtr podzbiorów X jest zawarty w pewnym \kappa-zupełnym ultrafiltrze podzbiorów X.
  • Niech \kappa będzie nieprzeliczalną liczbą kardynalną. Dla zbioru A mocy co najmniej \kappa niech [A]^{<\kappa} będzie rodziną wszystkich podzbiorów A mocy mniejszej niż \kappa. Powiemy, że \kappa jest liczbą super-zwartą jeśli dla każdego zbioru A mocy co najmniej \kappa istnieje \kappa-zupełny ultrafiltr U podzbiorów [A]^{<\kappa} taki że
(i) dla każdego zbioru D\in [A]^{{<}\kappa} mamy \{B\in [A]^{<\kappa}:D\subseteq B\}\in U, oraz
(ii) każda funkcja f:[A]^{<\kappa}\longrightarrow A taka że \{B\in [A]^{<\kappa}:f(B)\in B\}\in U jest stała na zbiorze z U.

Zanurzenia elementarne[edytuj | edytuj kod]

Większość własności dużych liczb powyżej liczby mierzalnej związana jest z istnieniem zanurzeń elementarnych V w pewien model wewnętrzny M. Przypuśćmy, że \kappa jest liczbą mierzalną, oraz U jest \kappa-zupełnym ultrafiltrem na \kappa. Wówczas ultrapotęga {\rm Ult}({\bold V},U) jest modelem ufundowanym; niech M będzie kolapsem Mostowskiego tego ultraproduktu. Z kanonicznego zanurzenia V w ultrapotęgę otrzymujemy zanurzenie elementarne {\bold j}:{\bold V}\longrightarrow{\bold M} takie, że \kappa=\min\{\delta\in {\bold{ON}}:{\bold j}(\delta)\neq \delta\}. Duża część własności większych liczb kardynalnych może być zdefiniowana przez użycie zanurzeń elementarnych {\bold j}:{\bold V}\longrightarrow{\bold M}, spełniających pewne dodatkowe własności (a odpowiednie liczby są opisane wówczas jako pierwsze które zostały ruszone przez takie zanurzenia).

Zalecana dalsza lektura[edytuj | edytuj kod]

  • Guzicki, Wojciech; Zbierski, Paweł: Podstawy teorii mnogości. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa, 1978.
  • Jech, Thomas: Set theory. The third millennium edition. "Springer Monographs in Mathematics". Springer-Verlag, Berlin, 2003. ISBN 3-540-44085-2
  • Kanamori, Akihiro: The higher infinite. Large cardinals in set theory from their beginnings. Wydanie II. "Springer Monographs in Mathematics". Springer-Verlag, Berlin, 2003. ISBN 3-540-00384-3

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]