Równoległość

Z Wikipedii

Skocz do: nawigacji, szukaj
Proste równoległe.png

Równoległość – w geometrii relacja między obiektami takimi jak proste, płaszczyzny[1], wektory, odcinki, półproste, kierunki.

Spis treści

[edytuj] Aksjomaty

Parallel lines.png
Aksjomat Euklidesa 
Jeżeli prosta (transwersalna) t przecina proste a,b tak, że kąty sobie odpowiadające są sobie równe, to proste a,b są równoległe, co oznacza się a \parallel b. Proste c,d, które nie są do siebie równoległe, opisuje się symbolem a \nparallel b.


Szkocki matematyk John Playfair określił następujący aksjomat:

Aksjomat Playfaira 
Przez dowolny punkt można przeprowadzić prostą równoległą do zadanej prostej.

[edytuj] Geometria euklidesowa

Information icon.svg Osobny artykuł: postulat Euklidesa.

Geometrie euklidesowe to geometrie wykorzystujące aksjomat Euklidesa. Dwie proste na płaszczyźnie są równoległe, jeżeli nie przecinają się w żadnym punkcie lub mają ich nieskończenie wiele (pokrywają się).

Planes parallel.svg

Dwie płaszczyzny w przestrzeni trójwymiarowejrównoległe, jeśli nie mają punktów wspólnych lub pokrywają się.

Prosta i płaszczyzna w przestrzeni trójwymiarowej są do siebie równoległe, jeśli nie mają punktów wspólnych lub prosta leży na tej płaszczyźnie.

Analogicznie można definiować równoległość dla obiektów mających więcej wymiarów.

[edytuj] Własności

Ponieważ równoległość jest relacją równoważności, a więc jest

zwrotna: a \parallel a,
symetryczna: a \parallel b pociąga b \parallel a,
przechodnia: a \parallel b oraz b \parallel c, to a \parallel c,

[edytuj] Geometria analityczna

Proste równoległe zadane równaniem w postaci kierunkowej, mają równe współczynniki kierunkowe.

Dwie proste w przestrzeni kartezjańskiej są interpretacją graficzną układu dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi. Proste równoległe odpowiadają układowi sprzecznemu (brak punktów wspólnych) lub zawsze spełnionemu (proste pokrywające się). Stąd dwie proste zadane równaniami ogólnymi

\begin{cases} A_1x + B_1y + C_1 = 0 \\ A_2x + B_2y + C_2 = 0 \end{cases},

nie przecinają się lub pokrywają się, jeżeli wyznacznik (macierzy głównej) tego układu jest równy zeru:

\begin{vmatrix} A_1 & B_1 \\ A_2 & B_2 \end{vmatrix} = 0 \iff A_1B_2 = A_2B_1.

[edytuj] Geometrie nieeuklidesowe

Stub sekcji Ta sekcja jest zalążkiem. Jeśli możesz, rozbuduj ją.

W geometrii rzutowej każde dwie proste mają co najmniej jeden punkt przecięcia. Te o których geometria euklidesowa mówi, iż są równoległe (mają wspólny kierunek), w tej geometrii przecinają się w tzw. punkcie w nieskończoności.

W geometrii eliptycznej również każde dwie proste mają punkt wspólny, toteż pojęcie równoległości nie istnieje.

Przypisy

  1. Ogólniej podprzestrzenie co najwyżej n-1-wymiarowe przestrzeni n-wymiarowej

[edytuj] Zobacz też