Równoległość

Z Wikipedii

Równoległość – w geometrii relacja między obiektami takimi jak proste, płaszczyzny^[1], wektory, odcinki, półproste, kierunki.

Spis treści 1 Aksjomaty 2 Geometria euklidesowa 2.1 Własności 2.2 Geometria analityczna 3 Geometrie nieeuklidesowe 4 Przypisy 5 Zobacz też

[edytuj] Aksjomaty

Aksjomat Euklidesa 

Jeżeli prosta (transwersalna) t przecina proste a,b tak, że kąty sobie odpowiadające są sobie równe, to proste a,b są równoległe, co oznacza się . Proste c,d, które nie są do siebie równoległe, opisuje się symbolem .

Szkocki matematyk John Playfair określił następujący aksjomat:

Aksjomat Playfaira 

Przez dowolny punkt można przeprowadzić prostą równoległą do zadanej prostej.

[edytuj] Geometria euklidesowa

 Osobny artykuł: postulat Euklidesa.

Geometrie euklidesowe to geometrie wykorzystujące aksjomat Euklidesa. Dwie proste na płaszczyźnie są równoległe, jeżeli nie przecinają się w żadnym punkcie lub mają ich nieskończenie wiele (pokrywają się).

Dwie płaszczyzny w przestrzeni trójwymiarowej są równoległe, jeśli nie mają punktów wspólnych lub pokrywają się.

Prosta i płaszczyzna w przestrzeni trójwymiarowej są do siebie równoległe, jeśli nie mają punktów wspólnych lub prosta leży na tej płaszczyźnie.

Analogicznie można definiować równoległość dla obiektów mających więcej wymiarów.

[edytuj] Własności

Ponieważ równoległość jest relacją równoważności, a więc jest

zwrotna: ,

symetryczna: pociąga ,

przechodnia: oraz , to ,

[edytuj] Geometria analityczna

Proste równoległe zadane równaniem w postaci kierunkowej, mają równe współczynniki kierunkowe.

Dwie proste w przestrzeni kartezjańskiej są interpretacją graficzną układu dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi. Proste równoległe odpowiadają układowi sprzecznemu (brak punktów wspólnych) lub zawsze spełnionemu (proste pokrywające się). Stąd dwie proste zadane równaniami ogólnymi

,

nie przecinają się lub pokrywają się, jeżeli wyznacznik (macierzy głównej) tego układu jest równy zeru:

.

[edytuj] Geometrie nieeuklidesowe

Ta sekcja jest zalążkiem. Jeśli możesz, rozbuduj ją.

W geometrii rzutowej każde dwie proste mają co najmniej jeden punkt przecięcia. Te o których geometria euklidesowa mówi, iż są równoległe (mają wspólny kierunek), w tej geometrii przecinają się w tzw. punkcie w nieskończoności.

W geometrii eliptycznej również każde dwie proste mają punkt wspólny, toteż pojęcie równoległości nie istnieje.

Przypisy

[edytuj] Zobacz też

• prostopadłość