Relacja dwuargumentowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Ujednoznacznienie Zobacz też: relacja.

Relacja dwuargumentowa, dwuczłonowa albo binarna – w teorii mnogości dowolny podzbiór iloczynu kartezjańskiego dwóch zbiorów, która formalizuje intuicję pewnego związku, czy zależności między elementami wspomnianych zbiorów (dane dwa elementy pozostają w związku albo łączy je pewna zależność lub nie). Do najważniejszych relacji tego rodzaju należy zaliczyć funkcje i działania jednoargumentowe (zob. Własności). Pojęcie relacji (dwuargumentowych) uogólnia się na klasy: ma to na celu opisanie przykładowo równości różnych obiektów jako relacji między nimi i ominięcie przy tym różnych paradoksów związanych z teorią mnogości (np. paradoks zbioru wszystkich zbiorów).

Wprowadzenie do zagadnienia można znaleźć w artykule o relacjach skończonej liczby argumentów.

Definicje[edytuj | edytuj kod]

Relacja dwuargumentowa \scriptstyle \varrho jako podzbiór iloczynu kartezjańskiego \scriptstyle X i \scriptstyle Y jest zbiorem par uporządkowanych postaci \scriptstyle (x, y) należących do zbioru \scriptstyle X \times Y; czasami zamiast \scriptstyle (x, y) \in \varrho pisze się \scriptstyle x\ \varrho\ y i mówi, że element \scriptstyle x jest w relacji \scriptstyle \varrho z elementem \scriptstyle y, bądź między elementami \scriptstyle x, y zachodzi relacja \scriptstyle \varrho. Istnieje pewna rozbieżność względem nazewnictwa dotyczącego zbiorów; tutaj dziedziną i przeciwdziedziną nazywane będą odpowiednio zbiory \scriptstyle X i \scriptstyle Y; z kolei zbiór

\mathrm{D_L}(\varrho) = \Big\{x \in X\colon \exists_{y \in Y}\; (x, y) \in \varrho\Big\},

tzn. zbiór złożony ze wszystkich poprzedników par należących do relacji \scriptstyle \varrho, nazywany będzie dziedziną lewostronną (często nazywa się ją nieprecyzyjnie po prostu dziedziną), zaś zbiór

\mathrm{D_R}(\varrho) = \Big\{y \in Y\colon \exists_{x \in X}\; (x, y) \in \varrho\Big\},

tzn. zbiór złożony ze wszystkich następników par należących do relacji \scriptstyle \varrho, nazywany będzie dziedziną prawostronną lub obrazem tej relacji (zob. Własności). Sumę dziedzin lewostronnej i prawostronnej (dziedziny i obrazu) nazywa się polem relacji. Zbiór \scriptstyle \mathrm{Rel}(X, Y) wszystkich relacji dwuargumentowych między zbiorami \scriptstyle X, Y ma moc \scriptstyle |\mathrm{Rel}(X, Y)| = 2^{|X||Y|}.

Własności[edytuj | edytuj kod]

Całkowita, niesuriektywna relacja funkcyjna będąca iniekcją
Odpowiedniość jednoznaczna tylko prawostronnie
Jednoznaczność
  • jednoznaczność lewostronna lub iniektywność,
    \forall_{x, z \in X}\; \forall_{y \in Y}\; x\ \varrho\ y \and z\ \varrho\ y \Rightarrow x = z;
  • jednoznaczność prawostronna lub funkcyjność,
    \forall_{x \in X}\; \forall_{y, z \in Y}\; x\ \varrho\ y \and x\ \varrho\ z \Rightarrow y = z;
  • jednoznaczność obustronna bądź wzajemna (1-1),
    iniektywność i funkcyjność.
Całkowitość
  • całkowitość lewostronna lub krótko całkowitość,
    \forall_{x \in X}\; \exists_{y \in Y}\; x\ \varrho\ y,
  • całkowitość prawostronna lub suriektywność,
    \forall_{y \in Y}\; \exists_{x \in X}\; x\ \varrho\ y,
  • odpowiedniość,
    całkowitość i suriektywność.

Funkcją nazywa się dowolną relację funkcyjną całkowitą (lewostronnie), jeśli \scriptstyle X = Y, to funkcję nazywa się zwykle działaniem jednoargumentowym; z kolei wzajemnie jednoznaczną odpowiedniość, nazywaną bijektywnością, nazywa się funkcją wzajemnie jednoznaczną lub bijekcją. W przypadku funkcji pojęcia dziedziny, przeciwdziedziny i obrazu pokrywają się z definicjami dla funkcji; nazywanie wtedy dziedziną dziedziny lewostronnej nie prowadzi do niejasności, gdyż są one sobie równe.

Relacje w zbiorze[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli \scriptstyle Y = X, tzn. \scriptstyle \varrho \subseteq X^2, to o relacji \scriptstyle \varrho mówi się, że jest określona w/na zbiorze \scriptstyle X. Zbiór par \scriptstyle \{(x, x)\colon x \in X\} nazywa się wtedy przekątną. W tym przypadku możliwe jest określenie kolejnych własności tego rodzaju funkcji;

Relacje dwuargumentowe wg własności
Nazwa relacji Zwrot. Symetr. Przech. Symbol Przykład
graf skierowany \scriptstyle \to
graf nieskierowany Nie Tak
turniej Nie Nie porządek dziobania
zależność Tak Tak
słaby porządek Tak \scriptstyle \leqslant
praporządek Tak Tak \scriptstyle \leqslant preferencja
częściowy porządek Tak Nie Tak \scriptstyle \leqslant zawieranie
częściowa równoważność Tak Tak
równoważność Tak Tak Tak \scriptstyle \sim, \approx, \simeq, \cong, \equiv równość
ostry częściowy porządek Nie Nie Tak \scriptstyle < zawieranie właściwe

Relacja jest:

  • trychotomiczna wtedy i tylko wtedy, gdy jest przeciwzwrotna, antysymetryczna i spójna (nie: porównywalność);
  • przeciwsymetryczna wtedy i tylko wtedy, gdy jest antysymetryczna i przeciwzwrotna;
  • antysymetryczna wtedy, gdy jest przeciwzwrotna i przechodnia;
  • zwrotna wtedy, gdy jest porównywalna (spójna);
  • pod założeniem symetryczności – euklidesowa wtedy i tylko wtedy, gdy jest przechodnia;
  • symetryczna i przechodnia wtedy, gdy jest euklidesowa i zwrotna.

Rodzaje[edytuj | edytuj kod]

Ustalone kombinacje powyższych własności mają swoje własne nazwy:

  • tolerancja lub podobieństwo – zwrotność i symetryczność; zależność – dodatkowo skończone pole;
  • opozycja – przeciwzwrotność i symetryczność; niezależność – dodatkowo skończone pole;
  • równoważność – zwrotność, symetryczność i przechodniość; zwrotność i euklidesowość;
  • równość – równoważność i antysymetryczność (relacja równa przekątnej);
  • praporządek lub quasi-porządek – zwrotność i przechodniość;
  • częściowy porządek – zwrotność, antysymetryczność i przechodniość; wariant ostry: przeciwzwrotność bądź antysymetryczność i przechodniość (zob. wyżej);
  • porządek liniowy albo całkowity lub łańcuch – zwrotność, antysymetryczność i porównywalność/całkowitość (spójność); wariant ostry: przechodniość i trychotomiczność.

Wśród pozostałych własności można wymienić dobre ufundowanie i konfluentości: słabą i silną, seryjność oraz gęstość; relacjami, definiowanymi za pomocą wymienionych wyżej własności, są m.in. dobry porządek (dobre ufundowanie, ostry porządek liniowy) i relacja równoważności (seryjność, symetryczność, przechodniość).

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Niespójna figura geometryczna na płaszczyźnie jako przykład relacji na zbiorze liczb rzeczywistych.

Najprostszą relacją, którą można określić na dowolnych dziedzinach, jest relacja pusta równa zbiorowi pustemu \scriptstyle \varnothing. Określona na jednym zbiorze jest symetryczna, antysymetryczna, przeciwsymetryczna, przeciwzwrotna i przechodnia, ale nie spójna ani zwrotna (chyba, że jest określona na zbiorze pustym), jest ona bijekcją zbioru pustego, szczególnym przypadkiem tzw. funkcji pustej.

Na „drugim biegunie” można znaleźć relację pełną równą \scriptstyle X \times Y. Określona na zbiorze jest tam zwrotna, symetryczna, spójna, przechodnia (relacja równoważności o jednej klasie abstrakcji), nie jest przeciwzwrotna, antysymetryczna, przeciwsymetryczna (o ile nie jest określona na zbiorze pustym).

W zbiorze liczb rzeczywistych \scriptstyle \mathbb R obok struktury algebraicznej jaką jest ciało wprowadza się również relacje równoważności i porządku (zob. ciało uporządkowane), np. równość \scriptstyle =, czy porządek liniowy \scriptstyle \leqslant („mniejsze-równe”) liczb rzeczywistych. Relacje na zbiorze liczb rzeczywistych można traktować jak figury na płaszczyźnie: relacją pustą jest wtedy figura pusta, relacją pełną jest cała płaszczyzna, a przekątną tworzy prosta będąca wykresem funkcji tożsamościowej (w modelu analitycznym płaszczyzny euklidesowej, czyli z wybranym układem współrzędnych); relacjami równoważności na płaszczyźnie są np. przystawanie, czy podobieństwo.