Twierdzenie Riemanna-Lebesgue’a

Twierdzenie lub lemat Riemanna–Lebesgue’a – twierdzenie analizy harmonicznej, noszące nazwiska Bernharda Riemanna i Henriego Lebesgue’a, mówiące o tym, że transformata Fouriera lub transformata Laplace’a funkcji bezwzględnie całkowalnej w sensie Lebesgue’a znika w nieskończoności.

Twierdzenie

Niech $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {C}$ będzie funkcją mierzalną należącą do przestrzeni Lebesgue’a $\mathrm {L} ^{1}(\mathbb {R} ),$ tzn. spełniającą nierówność

$\int _{\mathbb {R} }|f|<\infty .$

Wówczas transformata Fouriera

${\hat {f}}(t)=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }f(x)e^{-itx}\,dx\to 0,\quad {\mbox{ przy }}|t|\to \infty ,$

bądź innymi słowy: obraz ${\hat {f}}$ należy do podprzestrzeni $C_{0}(\mathbb {R} )$ funkcji ciągłych znikających w nieskończoności przestrzeni $\mathrm {L} ^{1}(\mathbb {R} ).$

Dowód

Niech $f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C}$ będzie funkcją mierzalną z przestrzeni$\mathrm {L} ^{1}(\mathbb {R} ^{n}),$ czyli $\|f\|_{L_{1}(\mu )}<+\infty ,$ wówczas:

$\lim _{\|\omega \|_{L_{\infty }}\to +\infty }\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)e^{-i\omega x}=0,$

(1)

gdzie $\omega =(\omega _{1},\omega _{2},...,\omega _{n})\in \mathbb {R} ^{n}.$

Zacznijmy obliczenia od funkcji charakterystycznej przesuniętego o dowolny wektor hipersześcianu o bieżącym punkcie centralnym $P_{0}=(p_{1},p_{2},...,p_{n})$ i boku o długości równej $\Delta .$ Zbiór będzie oznaczany dalej jako $[P_{0},\Delta ].$

$\int \limits _{[P_{0},\Delta ]}1_{[P_{0},\Delta ]}e^{-i\omega x}dx=\prod _{j=1}^{n}\left(\;\int \limits _{p_{j}-{\frac {\Delta }{2}}}^{p_{j}+{\frac {\Delta }{2}}}e^{-i\omega _{j}x_{j}}dx_{j}\;\right).$

Fakt, że $\|\omega \|_{L_{\infty }}\to +\infty ,$ wskazuje iż przynajmniej jedna ze składowych wektora $\omega ,$ dąży do nieskończoności, bez utraty ogólności można przyjąć, że jest to $\omega _{1}$ a zatem:

$0\leqslant \lim _{\omega _{1}\to \infty }\left|\;\int \limits _{p_{1}-{\frac {\Delta }{2}}}^{p_{1}+{\frac {\Delta }{2}}}e^{-i\omega _{1}x_{1}}dx_{1}\;\right|=\lim _{\omega _{1}\to \infty }\left|\left[{\frac {e^{-i\omega _{1}x_{1}}}{-i\omega _{1}}}\right]_{p_{1}-{\frac {\Delta }{2}}}^{p_{1}+{\frac {\Delta }{2}}}\right|\leqslant \lim _{\omega _{1}\to \infty }{\frac {2}{\left|\omega _{1}\right|}}=0,$

skutkiem czego, korzystając między innymi z nierówności trójkąta, uzyskuje się:

${\begin{aligned}0\leqslant \lim _{\|\omega \|_{L_{\infty }}\to +\infty }\left|\int \limits _{[P_{0},\Delta ]}1_{[P_{0},\Delta ]}e^{-i\omega x}dx\right|&=\lim _{\omega _{1}\to \infty }\left|\int \limits _{p_{1}-{\frac {\Delta }{2}}}^{p_{1}+{\frac {\Delta }{2}}}e^{-i\omega _{1}x_{1}}dx_{1}\right|\prod _{j=2}^{n}\left|\int \limits _{p_{j}-{\frac {\Delta }{2}}}^{p_{j}+{\frac {\Delta }{2}}}e^{-i\omega _{j}x_{j}}dx_{j}\right|\\&\leqslant \lim _{\omega _{1}\to \infty }\left|\int \limits _{p_{1}-{\frac {\Delta }{2}}}^{p_{1}+{\frac {\Delta }{2}}}e^{-i\omega _{1}x_{1}}dx_{1}\right|\prod _{j=2}^{n}\int \limits _{p_{j}-{\frac {\Delta }{2}}}^{p_{j}+{\frac {\Delta }{2}}}\left|e^{-i\omega _{j}x_{j}}\right|dx_{j}\\&\leqslant \lim _{\omega _{1}\to \infty }\left|\int \limits _{p_{1}-{\frac {\Delta }{2}}}^{p_{1}+{\frac {\Delta }{2}}}e^{-i\omega _{1}x_{1}}dx_{1}\right|\Delta ^{n-1}=0.\end{aligned}}$

(2)

Niech $A$ będzie dowolnym zbiorem mierzalnym takim, że jego miara Lebesgue’a $\mu (A)$ ma pewną skończoną wartość liczbową, natomiast ${\widetilde {A}}$ przybliżeniem $A$ takim, że $A\subseteq {\widetilde {A}},$ ponadto:

${\widetilde {A}}=\bigcup _{m=1}^{\infty }[P(m),\Delta (m)],\quad {\text{ gdzie }}\forall _{(k,j)\in \mathbb {Z} _{+}^{2}:k\neq j}\ (P(k),\Delta (k))\cap (P(j),\Delta (j))=\emptyset$

$\chi _{\widetilde {A}}=\sum _{m=1}^{\infty }1_{(P(m),\Delta (m))}+\chi _{S},$

gdzie $(P(m),\Delta (m))$ jest maksymalnym zbiorem otwartym zawartym w $[P(m),\Delta (m)],$ $S=\bigcup _{m=1}^{\infty }[P(m),\Delta (m)]-(P(m),\Delta (m)).$

$0\leqslant \left|\;\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}\chi _{S}e^{-i\omega x}\right|\leqslant \int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}\chi _{S}=\mu (S)\leqslant \sum _{m=1}^{\infty }\mu ([P(m),\Delta (m)]-(P(m),\Delta (m)))=0.$

Zastosowana metoda aproksymacji $A$ przez ${\widetilde {A}}$ daje pozytywny rezultat, gdyż standardowa konstrukcja pokrycia zbioru mierzalnego opiera się na przedziałach, których funkcje charakterystyczne są nieciągłe na zbiorze miary zero taka sama sytuacja zajdzie zatem również w przypadku $\chi _{\widetilde {A}}.$ Można dokonać podziału na przeliczalną liczbę obszarów z których każdy jest się w stanie pokryć przy pomocy ciągu $[P(m),\Delta (m)]$ z odpowiednio dopasowaną deltą. Ostatecznie jego wyrazy jako zbiór równoliczny z podzbiorem iloczynu kartezjańskiego (przeliczalna liczba obszarów to też przeliczalna liczba oddzielnych sum) są przeliczalne.

Stosując zależność (2), można obliczyć granicę iterowaną:

${\begin{aligned}0\leqslant L&=\lim \limits _{{\widetilde {A}}\to A}\left\{\lim \limits _{m\to +\infty }\left[\lim _{\|\omega \|_{L_{\infty }}\to +\infty }\left|\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}\left(\chi _{S}+\sum _{j=1}^{m}1_{(P(j),\Delta (j))}\right)e^{-i\omega x}\right|\right]\right\}\\&\leqslant \lim \limits _{{\widetilde {A}}\to A}\left\{\lim \limits _{m\to +\infty }\left[\sum _{j=1}^{m}\left(\lim _{\|\omega \|_{L_{\infty }}\to +\infty }\left|\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}1_{[P(j),\Delta (j)]}e^{-i\omega x}dx\right|\right)\right]\right\}=0\end{aligned}}$

na mocy nierówności trójkąta:

$\lim \limits _{{\widetilde {A}}\to A}\left\{\lim \limits _{m\to +\infty }\left(\lim _{\|\omega \|_{L_{\infty }}\to +\infty }\left|\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}\chi _{A}e^{-i\omega x}\right|\right)\right\}\leqslant \lim \limits _{{\widetilde {A}}\to A}\left\{\lim \limits _{m\to +\infty }\left(\lim _{\|\omega \|_{L_{\infty }}\to +\infty }\left|\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}\chi _{A}e^{-i\omega x}-\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}\left(\chi _{S}+\sum _{j=1}^{m}1_{(P(j),\Delta (j))}\right)e^{-i\omega x}\right|\right)\right\}+L$

ponowne skorzystanie z nierówności trójkąta pozwala na wyrugowanie $\omega$ po prawej stronie, zatem:

$\lim \limits _{{\widetilde {A}}\to A}\left\{\lim \limits _{m\to +\infty }\left(\lim _{\|\omega \|_{L_{\infty }}\to +\infty }\left|\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}\chi _{A}e^{-i\omega x}\right|\right)\right\}\leqslant \lim \limits _{{\widetilde {A}}\to A}\left\{\lim \limits _{m\to +\infty }\left(\lim _{\|\omega \|_{L_{\infty }}\to +\infty }\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}\left|\chi _{A}-\left(\chi _{S}+\sum _{j=1}^{m}1_{(P(j),\Delta (j))}\right)\right|\right)\right\},$

stąd:

$\lim _{\|\omega \|_{L_{\infty }}\to +\infty }\left|\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}\chi _{A}e^{-i\omega x}\right|\leqslant \lim \limits _{{\widetilde {A}}\to A}\left\{\lim \limits _{m\to +\infty }\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}\left|\chi _{A}-\left(\chi _{S}+\sum _{j=1}^{m}1_{(P(j),\Delta (j))}\right)\right|\right\},$

pamiętając, że zbiory $(P(j),\Delta (j))$ i $S$ nie mają ze sobą części wspólnej:

$\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}\left|\chi _{A}-\left(\chi _{S}+\sum _{j=1}^{m}1_{(P(j),\Delta (j))}\right)\right|=\mu \left(\left[S\cup \bigcup _{j=1}^{m}(P(j),\Delta (j))\right]{\dot {-}}A\right)$

$\lim \limits _{m\to +\infty }\mu \left(\left[S\cup \bigcup _{j=1}^{m}(P(j),\Delta (j))\right]{\dot {-}}A\right)=\mu \left(\left[S\cup \bigcup _{j=1}^{+\infty }(P(j),\Delta (j))\right]{\dot {-}}A\right)=\mu ({\widetilde {A}}{\dot {-}}A)=\mu ({\widetilde {A}})-\mu (A).$

Równość powyżej jest naturalną konsekwencją iż na mocy przyjętych założeń $A\subseteq {\widetilde {A}},$ wobec czego różnica symetryczna zbiorów ${\widetilde {A}}{\dot {-}}A={\widetilde {A}}\setminus A$ natomiast miara Lebesgue’a będzie różnicą miar. Uwzględniając, że $A$ jest zbiorem mierzalnym o skończonej mierze, można wyznaczyć granicę:

$0\leqslant \lim _{\|\omega \|_{L_{\infty }}\to +\infty }\left|\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}\chi _{A}e^{-i\omega x}\right|\leqslant \lim \limits _{{\widetilde {A}}\to A}\mu ({\widetilde {A}})-\mu (A)=0.$

(3)

Niech $g:\mathbb {R} ^{n}\to [0,+\infty )$ będzie funkcją mierzalną z przestrzeni $\mathrm {L} ^{1}(\mathbb {R} ^{n}),$ jej całkę Lebesgue’a można zatem obliczyć jako:

$\int \limits _{A}g=\lim \limits _{\delta \to 0^{+}}\left(\lim \limits _{m\to +\infty }\sum _{j=1}^{m}\delta \mu (A_{j})\right),$

(4)

zaś samą funkcję $g$ przedstawić wyrażeniem:

$g=\lim \limits _{\delta \to 0^{+}}\left(\lim \limits _{m\to +\infty }\sum _{j=1}^{m}\delta \chi _{r_{j}}\right),$

gdzie $A_{j}=\{x\in {\text{obszaru całkowania A}}:g(x)>j\delta \}$ zaś $r_{j}=\{x\in \mathbb {R} ^{n}:g(x)>j\delta \}.$

Licząc granicę iterowaną i korzystając z faktu, iż $\forall _{x\in \mathbb {R} ^{n}}\left(g(x)\geqslant 0\ \wedge \ \int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}|g|=\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}g<+\infty \right)$ powoduje, że $\forall _{(j,\delta )\in \mathbb {Z} _{+}\times \mathbb {R} _{+}}\ \mu (r_{j})<+\infty$ co pozwala skorzystać z zależności (3) a zatem:

$0\leqslant L_{g}=\lim \limits _{\delta \to 0^{+}}\left\{\lim \limits _{m\to +\infty }\left[\lim _{\|\omega \|_{L_{\infty }}\to +\infty }\left|\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}\left(\sum _{j=1}^{m}\delta \chi _{r_{j}}\right)e^{-i\omega x}\right|\right]\right\}\leqslant \lim \limits _{\delta \to 0^{+}}\left\{\lim \limits _{m\to +\infty }\left[\sum _{j=1}^{m}\left(\delta \lim _{\|\omega \|_{L_{\infty }}\to +\infty }\left|\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}\chi _{r_{j}}e^{-i\omega x}\right|\right)\right]\right\}=0,$

stosując ponownie nierówność trójkąta:

${\begin{aligned}\lim \limits _{\delta \to 0^{+}}\left\{\lim \limits _{m\to +\infty }\left(\lim _{\|\omega \|_{L_{\infty }}\to +\infty }\left|\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}ge^{-i\omega x}\right|\right)\right\}&\leqslant \lim \limits _{\delta \to 0^{+}}\left\{\lim \limits _{m\to +\infty }\left(\lim _{\|\omega \|_{L_{\infty }}\to +\infty }\left|\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}ge^{-i\omega x}-\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}\left(\sum _{j=1}^{m}\delta \chi _{r_{j}}\right)e^{-i\omega x}\right|\right)\right\}+L_{g}\\&\leqslant \lim \limits _{\delta \to 0^{+}}\left\{\lim \limits _{m\to +\infty }\left(\lim _{\|\omega \|_{L_{\infty }}\to +\infty }\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}\left|g-\left(\sum _{j=1}^{m}\delta \chi _{r_{j}}\right)\right|\right)\right\},\end{aligned}}$

więc:

$\lim _{\|\omega \|_{L_{\infty }}\to +\infty }\left|\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}ge^{-i\omega x}\right|\leqslant \lim \limits _{\delta \to 0^{+}}\left\{\lim \limits _{m\to +\infty }\left(\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}\left|g-\sum _{j=1}^{m}\delta \chi _{r_{j}}\right|\right)\right\}.$

Uwzględniwszy, że na mocy założeń dla każdego $x\in \mathbb {R} ^{n}$ funkcja $g(x)\geqslant 0,$ a także, iż $\forall _{(m,\delta )\in \mathbb {Z} _{+}\times \mathbb {R} _{+}}\ g\geqslant \sum _{j=1}^{m}\delta \chi _{r_{j}}$ oraz zależność (4):

$\lim _{\|\omega \|_{L_{\infty }}\to +\infty }\left|\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}ge^{-i\omega x}\right|\leqslant \int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}g-\lim \limits _{\delta \to 0^{+}}\left\{\lim \limits _{m\to +\infty }\left(\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}\sum _{j=1}^{m}\delta \chi _{r_{j}}\right)\right\}=\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}g-\lim \limits _{\delta \to 0^{+}}\left\{\lim \limits _{m\to +\infty }\left(\sum _{j=1}^{m}\delta \mu (r_{j})\right)\right\}=0.$

(5)

Powyższy rezultat jest ściśle powiązany z przynależnością $g(x)$ do przestrzeni $\mathrm {L} ^{1}(\mathbb {R} ^{n}),$ oraz mierzalnością, co pozwala na uniknięcie braku istnienia granicy i symbolów nieoznaczonych typu $\infty -\infty .$

Niech $h:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ będzie funkcją mierzalną z przestrzeni $\mathrm {L} ^{1}(\mathbb {R} ^{n})$ wówczas jej całkę Lebesgue’a można przedstawić w postaci:

$\int h=\int h^{+}-\int h^{-},$

gdzie $h^{+}:=\max(h,0)$ zaś $h^{-}:=\max(-h,0).$ Uwzględnienie postulatu σ-skończoności, który cechuje miarę Lebesgue’a i implikuje mierzalnością zbiorów $\mathbb {R} _{+}$ i $\mathbb {R} _{-},$ prowadzi do wniosku, że funkcje $h^{+}$ i $h^{-}$ muszą być mierzalne jeżeli mierzalnym jest $h,$ ponadto:

$\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}|h|=\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}h^{+}+\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}h^{-}<+\infty ,$

więc $h^{+}\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})\ \wedge \ h^{-}\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n}),$ co pozwala mi na skorzystanie z zależności (5) a zatem:

$\lim _{\|\omega \|_{L_{\infty }}\to +\infty }\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}he^{-i\omega x}=\lim _{\|\omega \|_{L_{\infty }}\to +\infty }\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}h^{+}e^{-i\omega x}-\lim _{\|\omega \|_{L_{\infty }}\to +\infty }\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}h^{-}e^{-i\omega x}=0+0=0.$

(6)

Teraz można już przeprowadzić ostateczny dowód dla funkcji $f,$ scharakteryzowanej wraz z wyrażeniem (1). Założenie dotyczące mierzalności skutkuje mierzalnością $\Re {f}$ oraz $\Im {f}.$ Ponadto:

$0\leqslant \min \left(\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}\left|\Im {f}\right|,\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}\left|\Re {f}\right|\right)\leqslant \max \left(\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}\left|\Im {f}\right|,\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}\left|\Re {f}\right|\right)\leqslant \int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}|f|<+\infty ,$

wobec czego $\Im {f}\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})\ \wedge \ \Re {f}\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n}),$ dzięki czemu można użyć zależności (6), więc:

$\lim _{\|\omega \|_{L_{\infty }}\to +\infty }\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}fe^{-i\omega x}=\lim _{\|\omega \|_{L_{\infty }}\to +\infty }\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}\Re {f}e^{-i\omega x}+\lim _{\|\omega \|_{L_{\infty }}\to +\infty }\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}i\Im {f}e^{-i\omega x}=0+i0=0,$

co też należało wykazać. Zachodzenie całkowalności w sensie Riemanna, jest możliwe tylko w przypadku zachodzenia całkowalności w sensie Lebesgue’a, zatem odrębny dowód nie jest konieczny, gdyż prowadzi do identycznego rezultatu. Istnieje całkiem spora grupa funkcji z przestrzeni L¹, dla których granica (1) w sensie R-całki nie istnieje, czego przykładem jest chociażby ${\frac {1_{\mathbb {Q} }2-1}{1+x^{2}}},$ co nie jest wynikiem, który powinno się traktować jako miarodajny, gdyż dowolny zbiór przeliczalny $M\subset \mathbb {R} ^{n}$ można pokryć sumą o postaci $\bigcup _{m=1}^{\infty }\left[P(m),{\sqrt[{n}]{\frac {\varepsilon }{2^{m+1}}}}\right],$ gdzie $\varepsilon >0$ może być dowolnie bliski zeru, natomiast funkcja $P:\mathbb {Z} _{+}\to M,$ jest zazwyczaj bijekcją. Czuje się tutaj jednocześnie wyraźny sens istnienia nieprzeliczalności, gdyż w przypadku policzalności zbioru $\mathbb {R}$ wszystko byłoby skomasowane w dokładnie jednym punkcie, czyli nie miałoby sensu.

Uwagi

• W języku rachunku prawdopodobieństwa twierdzenie to można wyrazić następująco:

  Jeżeli $x$ jest zmienną losową o rozkładzie ciągłym, to jej funkcja charakterystyczna dąży do zera:

  $\lim \limits _{|t|\to +\infty }\varphi _{X}(t)=0.$

• Jeżeli nośnik $\mathrm {supp} \;f=(0,+\infty ),$ to teza zachodzi również dla transformaty Laplace’a, tj.

  $\lim \limits _{|t|\to \infty }{\mathcal {L}}f(t)=\lim \limits _{|t|\to \infty }\int \limits _{0}^{+\infty }f(x)e^{-tx}\,dx=0,\qquad {\text{gdy }}\Im (t)\geqslant 0.$

• Istnieje również wersja dla szeregów Fouriera:

  Jeśli $f$ jest funkcją całkowalną (w sensie Lebesgue’a) na przedziale, to współczynniki Fouriera $f_{n}\to 0$ przy $n\to \pm \infty ;$ wystarczy rozszerzyć $f,$ przyjmując 0 poza wspomnianym przedziałem, a następnie zastosować twierdzenie dla całej prostej.

• Tezę można uogólnić na wielowymiarowe przestrzenie euklidesowe: jeżeli $\mathbf {f} \in \mathrm {L} ^{1}(\mathbb {R} ^{n}),$ to wystarczy przyjąć

  $\mathbf {\hat {f}} (\mathbf {t} )=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\mathbf {f} (\mathbf {x} )\,{\boldsymbol {\exp(}}-i\mathbf {t} \cdot \mathbf {x} )\,\mathrm {d} \mathbf {x} .$