Całki Fresnela

Całka Fresnela – dwie funkcje specjalne $S(x)$ i $C(x),$ zwane odpowiednio sinusem i cosinusem Fresnela, zdefiniowane następująco:

S(x)=\int _{0}^{x}\sin(t^{2})\,dt=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{4n+3}}{(4n+3)(2n+1)!}},

C(x)=\int _{0}^{x}\cos(t^{2})\,dt=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{4n+1}}{(4n+1)(2n)!}}.

Należy zauważyć, że istnieje też inna definicja, w której powyższe całki są mnożone przez czynnik ${\sqrt {\tfrac {\pi }{2}}}.$

Nazwa tych funkcji została wprowadzona dla uhonorowania francuskiego fizyka i inżyniera Augustina Jeana Fresnela.

Całki te pojawiły się w związku z optycznym efektem dyfrakcji Fresnela.

Wybrane własności

Funkcje $C(x)$ i $S(x)$ dla $x$ rzeczywistego są funkcjami nieparzystymi.

Związek z funkcją błędu:

C(z)+iS(z)={\sqrt {\frac {\pi }{8}}}(1+i)\,\mathrm {erf} \left({\frac {(1-i)z}{2}}\right).

Wartości graniczne dla $x$ rzeczywistego:

\lim _{x\to \infty }C(x)=\lim _{x\to \infty }S(x)={\sqrt {\frac {\pi }{8}}},

\lim _{x\to -\infty }C(x)=\lim _{x\to -\infty }S(x)=-{\sqrt {\frac {\pi }{8}}}.

Klotoida

Osobny artykuł: Klotoida.

Klotoida znana także jako spirala Cornu lub spirala Eulera, to krzywa powstająca przez narysowanie wykresu parametrycznego funkcji $S(t)$ względem $C(t).$ Ponieważ $t$ jest miarą długości łukowej tejże spirali, zatem spirala ta ma nieskończoną długość. Klotoida znalazła też zastosowanie przy projektowaniu szos.

Linki zewnętrzne

Jerzy Kosek, Obliczenia całek Fresnela przez rozkład na szereg funkcji Bessela rzędu połówkowego. interferencja.republika.pl. [zarchiwizowane z tego adresu (2011-05-09)].