Funkcja wielu zmiennych

Wykresy funkcji 1 i 2 zmiennych (kolor fioletowy). Dziedziny zaznaczono na czerwono.

Funkcja wielu zmiennych – dwuznaczne pojęcie matematyczne:

• w sensie szerokim jest to każda funkcja $f\colon X\to Y,$ której dziedziną $X$ jest podzbiór iloczynu kartezjańskiego co najmniej dwóch zbiorów, tzn. $X\subseteq X_{1}\times \ldots \times X_{n};$
• w sensie wąskim jest to każda funkcja rzeczywista, której argumenty to co najmniej dwie liczby.

Częstym przykładem są zmienne rzeczywiste, tzn. $X\subseteq \mathbb {R} _{1}\times \ldots \times \mathbb {R} _{n}=\mathbb {R} ^{n};$ elementy dziedziny są wektorami $\mathbf {x} =[x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}].$ Przeciwdziedzina $Y$ funkcji może być przestrzenią liczb rzeczywistych $\mathbb {R}$ lub ogólnie – przestrzenią wielowymiarową $\mathbb {R} ^{m};$ w tym ogólnym przypadku wartościami funkcji są wektory $\mathbf {y} =[y_{1},y_{2},\dots ,y_{m}].$

Wiele podstawowych funkcji rozpatrywanych np. w matematyce, fizyce, chemii, biologii, ekonomii, inżynierii itp. jest funkcjami wielu zmiennych.

Zapis funkcji wielu zmiennych

Funkcję $f(\mathbf {x} )$ zależną od zmiennych postaci $\mathbf {x} =[x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}]$ zwykle zapisuje się pomijając nawiasy wewnętrzne, czyli pisze się $f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})$ zamiast $f([x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}]).$

W przypadku mniejszej liczby zmiennych zamiast oznaczeń $x_{1},x_{2},x_{3}$ stosuje się oznaczenia $x_{1}\equiv x,$ $x_{2}\equiv y,$ $x_{3}\equiv z.$

Często w zapisie funkcji wielu zmiennych nie podaje się jawnie zmiennych, domyślnie przyjmując, iż wszystkie literały oznaczają zmienne z wyjątkiem uznanych powszechnie za stałe, np. fizyczne lub matematyczne. Np. wzór na objętość walca obrotowego $V(r,h)=\pi r^{2}h$ jest funkcją dwóch zmiennych $r,h$ (gdzie $r$ – promień podstawy, $h$ – wysokość walca); w skrócie funkcję tę zapisuje się w postaci $V=\pi r^{2}h.$

Przykłady 1

Przykładowe funkcje wielu zmiennych:

• $f(x,y)=\sin(xy^{2})$
• $f(x,y,z)=x^{3}y-xyz+y\sin ^{2}z^{3}-x$
• $f(x_{1},\dots ,x_{n})={\sqrt {x_{1}^{2}+\ldots +x_{1}^{n}}}$ – długość wektora w przestrzeni $\mathbb {R} ^{n}$
• $f(x,y,z,t)=x+y+z+t$
• $f(x,y)=\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {1}{t}}\sin(t\cdot xy^{2})dt$
• $U(R,I)=IR$ – napięcie na oporniku jako funkcja oporu $R$ i natężenia $I$ prądu (według prawa Ohma)

Przykłady 2

Symetryczna funkcja falowa 2 bozonów. Na osiach płaszczyzny poziomej odłożone są możliwe położenia $x_{1},x_{2}$ bozonów, na osi pionowej – wartości funkcji.

Antysymetryczna funkcja falowa 2 fermionów. Na osiach płaszczyzny poziomej odłożone są możliwe położenia $x_{1},x_{2}$ fermionów, na osi pionowej – wartości funkcji.

• W matematyce elementarnej podstawowe działania (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie) – to funkcje dwóch zmiennych.
• W mechanice klasycznej wektor położenia układu w przestrzeni konfiguracyjnej jest funkcją czasu, przy czym liczba elementów wektora położenia jest równa liczbie stopni swobody układu. Np. w przypadku jednej cząstki poruszającej się swobodnie w przestrzeni wektor ten ma 3 składowe, a dla N takich cząstek wektor ten ma 3N składowych.
• W mechanice kwantowej stan układu opisuje funkcja falowa mająca wartości w zbiorze liczb zespolonych, która zależny od takiej liczby współrzędnych, jaka byłaby potrzebna do opisania układu w mechanice klasycznej, jeżeli przy tym nie uwzględnia się spinu cząstek; jeżeli zaś trzeba uwzględnić spin, to wartości funkcji falowej tworzą wektor mający tyle elementów, ile stanów spinowych może mieć układ.

Zobacz też

• pochodna cząstkowa
• równanie różniczkowe

Bibliografia

• W. Kołodziej, Analiza matematyczna, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2009.

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Multivariate Function, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2023-12-21].