Symbol Leviego-Civity

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
Wartości symbolu Leviego-Civity w praworęcznym systemie współrzędnych.
Wizualizacja symbolu Leviego-Civity jako trzech macierzy 3×3.
Wizualizacja symbolu Leviego-Civity dla leworęcznego systemu współrzędnych (pusty sześcian odpowiada liczbie 0, niebieski liczbie -1 i czerwony liczbie 1).

Symbol Leviego-Civity (symbol zupełnie antysymetryczny) jest antysymetrycznym symbolem podobnym do delty Kroneckera, który jest zdefiniowany jako:


\epsilon_{ijk} =
\begin{cases}
 0 & \mbox{gdy } i=j \mbox{ lub } j=k \mbox{ lub } k=i\\
 1 & \mbox{gdy } ijk \mbox{ to permutacja parzysta } (1,2,3) \\
-1 & \mbox{gdy } ijk \mbox{ to permutacja nieparzysta } (1,2,3) \\
\end{cases}
(1)

Symbol ten został nazwany na cześć matematyka włoskiego Tullio Levi-Civita, choć powszechnie stosowaną nazwą symbolu Leviego-Civity jest „epsilon z trzema indeksami”. Wartym wspomnienia jest fakt, iż w rachunku tensorowym stosuje się również „epsilony” z większą liczbą indeksów.

Symbol może zostać zastosowany do zapisu iloczynu wektorowego w konwencji Einsteina:

\vec c = \vec a \times \vec b =\vec{e}_{i} \epsilon_{ijk}a_{j}b_{k}
(2)

W notacji tensorowej w tej samej konwencji co poprzednio mamy natomiast:

\vec{c}=\vec a\times\vec b = a^{j}\vec e_{j}\times b^{k}\vec e_{k} =\vec e^{i}\epsilon_{ijk}a^{j}b^{k}
(3)
  • gdzie \hat e^{i} jest i-tym wektorem bazy kontrawariantej.

Symbol ten jest pomocny przy wyprowadzaniu skomplikowanych wzorów z operatorem nabla i umożliwia uniknięcie rozpisywania wszystkiego na pochodne cząstkowe, przykładowo w układzie kartezjańskim symbol Leviego-Civity jest wielkością stałą, którego wartość jest zależna od trzech indeksów według przedstawienia (1).

Związek symboli Leviego-Civity z symbolami Kroneckera[edytuj | edytuj kod]

Niech mamy podwójny iloczyn wektorowy napisanej jako wzór w punkcie (Podwójny iloczyn wektorowy-8) i zdefiniujmy wektory bazy kartezjańskiej prostokątnego układu współrzędnych wedle następującego sposobu:

\vec{e}_1=(1,0,0), \vec{e}_2=(0,1,0), \vec{e}_3=(0,0,1)
(4)

Wtedy odpowiedniki wektorów występującej we wspomnianym wzorze na podwójny iloczyn wektorowy są w postaci:

\vec{a}=\vec{e}_i, \vec{b}=\vec{e}_j, \vec{c}=\vec{e}_k
(5)

Wektory (5) możemy podstawić do wspomnianego powyżej wzoru, wtedy mamy:

\vec{e}_i\times(\vec{e}_j\times\vec{e}_k)=\vec{e}_j\cdot(\vec{e}_i\cdot\vec{e}_k)-\vec{e}_k\cdot(\vec{e_i}\cdot\vec{e}_j)
(6)

Ponieważ wektory (4) są wektorami bazy kartezjańskiej, zatem wedle wzoru (2) możemy napisać:

\vec{e}_i\times\vec{e}_j=\vec{e}_p\epsilon_{pij}
(7)

Jeśli wykorzystamy związek (7), i że wektory (4) są ortonormalne, wtedy przy pomocy symboli Leviego-Civity i symboli Kroneckera równość wynikająca z (6) możemy napisać następująco:

\epsilon_{pil}\epsilon_{ljk}=\delta_{pj}\delta_{ik}-\delta_{pk}\delta_{ij}\;
(8)

Zastosowanie symbolu Leviego-Civity w przykładach[edytuj | edytuj kod]

Aby pokazać zastosowania symbolu Leviego-Civity udowodnijmy dla przykładu dwa poniższe twierdzenia:

\nabla \times (f \vec a)=(\nabla f) \times \vec a + f(\nabla \times \vec a)\;
(9)
\nabla(\vec a \times \vec b)=\vec b(\nabla \times \vec a)-\vec a(\nabla \times \vec b)\;
(10)

Dowód twierdzenia (9) opiera się na własnościach operatora ∇, czyli korzystamy w tym przypadku z twierdzenia o pochodnej iloczynu.


\nabla \times (f \vec a) = \epsilon_{ijk}\vec e_{i} \frac{\partial }{\partial x_{j}}(fa_k)=
\epsilon_{ijk}\vec e_{i}\frac{\partial f}{\partial x_{j}}a_k+f\epsilon_{ijk}\vec e_{i}\frac{\partial}{\partial x_{j}}a_k=
(\nabla f) \times \vec a + f(\nabla \times \vec a)

Dowód twierdzenia (10) też opiera się na własnościach operatora ∇, czyli korzystamy w tym przypadku z twierdzenia o pochodnej iloczynu, a także rozwinięcia iloczynu skalarnego poprzez wzór (3).


\nabla(\vec a \times \vec b) = \vec e_{i} \frac{\partial}{\partial x_i}(\epsilon_{jkl}\vec e_j a_k b_l)=
\vec e_i \vec e_j \epsilon_{jkl}\frac{\partial}{\partial x_i}(a_k b_l) =
\delta_{ij}\epsilon_{jkl}(\frac{\partial a_k}{\partial x_i}b_l+a_k\frac{\partial b_l}{\partial x_i})=\;

=\epsilon_{ikl}\frac{\partial a_k}{\partial x_i}b_l+\epsilon_{ikl}a_k\frac{\partial b_l}{\partial x_i}=b_l\delta_{jl}\epsilon_{ikj}\frac{\partial a_k}{\partial x_i}+a_k\delta_{jk}\epsilon_{ijl}\frac{\partial b_l}{\partial x_i}=
b_l \vec e_l \vec e_j\epsilon_{ikj}\frac{\partial a_k}{\partial x_i}+a_k \vec e_k \vec e_j \epsilon_{ijl}\frac{\partial b_l}{\partial x_i}=\;
=
b_l \vec e_l \epsilon_{jik}\vec e_j \frac{\partial}{\partial x_i}a_k - a_k \vec e_k \epsilon_{jil} \vec e_j \frac{\partial }{\partial x_i}b_l=
\vec b(\nabla \times \vec a)-\vec a(\nabla \times \vec b)

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • \epsilon_{112}=0, z powodu powtarzającej się wartości indeksu (wystarczy wziąć i=1 oraz j=2 w powyższej definicji),
  • \epsilon_{123}=1, gdyż (1,2,3) jest parzystą permutacją (1,2,3),
  • \epsilon_{312}=1, gdyż (3,1,2), jest parzystą permutacją (1,2,3),
  • \epsilon_{213}=-1, gdyż (2,1,3), jest nieparzystą permutacją (1,2,3).

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]