Symbol Leviego-Civity

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Wartości symbolu Leviego-Civity w prawoskrętnym układzie współrzędnych.
Wizualizacja symbolu Leviego-Civity jako trzech macierzy 3×3.
Wizualizacja symbolu Leviego-Civity dla lewoskrętnego układu współrzędnych (pusty sześcian odpowiada liczbie 0, niebieski liczbie -1 i czerwony liczbie 1).

Symbol Leviego-Civity (symbol zupełnie antysymetryczny) jest antysymetrycznym symbolem podobnym do delty Kroneckera, który jest zdefiniowany jako:


(1)

Symbol ten został nazwany na cześć matematyka włoskiego Tullio Levi-Civita, choć powszechnie stosowaną nazwą symbolu Leviego-Civity jest „epsilon z trzema indeksami”. Wartym wspomnienia jest fakt, iż w rachunku tensorowym stosuje się również „epsilony” z większą liczbą indeksów.

Symbol może zostać zastosowany do zapisu iloczynu wektorowego w konwencji Einsteina:

(2)

W notacji tensorowej w tej samej konwencji co poprzednio mamy natomiast:

(3)
  • gdzie jest i-tym wektorem bazy kontrawariantej.

Symbol ten jest pomocny przy wyprowadzaniu skomplikowanych wzorów z operatorem nabla i umożliwia uniknięcie rozpisywania wszystkiego na pochodne cząstkowe, przykładowo w układzie kartezjańskim symbol Leviego-Civity jest wielkością stałą, którego wartość jest zależna od trzech indeksów według przedstawienia (1).

Związek symboli Leviego-Civity z symbolami Kroneckera[edytuj]

Niech mamy podwójny iloczyn wektorowy napisanej jako wzór w punkcie (Podwójny iloczyn wektorowy-8) i zdefiniujmy wektory bazy kartezjańskiej prostokątnego układu współrzędnych wedle następującego sposobu:

(4)

Wtedy odpowiedniki wektorów występującej we wspomnianym wzorze na podwójny iloczyn wektorowy są w postaci:

(5)

Wektory (5) możemy podstawić do wspomnianego powyżej wzoru, wtedy mamy:

(6)

Ponieważ wektory (4) są wektorami bazy kartezjańskiej, zatem wedle wzoru (2) możemy napisać:

(7)

Jeśli wykorzystamy związek (7), i że wektory (4) są ortonormalne, wtedy przy pomocy symboli Leviego-Civity i symboli Kroneckera równość wynikająca z (6) możemy napisać następująco:

(8)

Zastosowanie symbolu Leviego-Civity w przykładach[edytuj]

Aby pokazać zastosowania symbolu Leviego-Civity udowodnijmy dla przykładu dwa poniższe twierdzenia:

(9)
(10)

Dowód twierdzenia (9) opiera się na własnościach operatora ∇, czyli korzystamy w tym przypadku z twierdzenia o pochodnej iloczynu.

Dowód twierdzenia (10) też opiera się na własnościach operatora ∇, czyli korzystamy w tym przypadku z twierdzenia o pochodnej iloczynu, a także rozwinięcia iloczynu skalarnego poprzez wzór (3).




Przykłady[edytuj]

  • , z powodu powtarzającej się wartości indeksu (wystarczy wziąć oraz w powyższej definicji),
  • , gdyż jest parzystą permutacją ,
  • , gdyż , jest parzystą permutacją ,
  • , gdyż , jest nieparzystą permutacją .

Zobacz też[edytuj]