Przekształcenie unitarne

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Przekształcenie unitarne lub ortogonalne – w algebrze liniowej przekształcenie liniowe dwóch przestrzeni unitarnych (euklidesowych) zachowujące iloczyn skalarny, tzn. taka bijekcja \mathrm U\colon X \to Y tych przestrzeni, dla której zachodzi

\bigl\langle \mathrm U(\mathbf x), \mathrm U(\mathbf y) \bigr\rangle = \mathbf x \cdot \mathbf y

dla wszystkich \mathbf x, \mathbf y \in X, gdzie \cdot oznacza iloczyn skalarny w X, a \langle \cdot, \cdot \rangle jest iloczynem skalarnym w Y.

Macierzą tego przekształcenia jest macierz unitarna (lub macierz ortogonalna). Jeśli X = Y, to przekształcenie to nazywa się operatorem unitarnym na X. Każde przekształcenie unitarne jest izometrią. Pojęcie to odgrywa istotną rolę w teorii przestrzeni Hilberta (będącej przestrzenią unitarną).