Holomorficzność nieskończeniewymiarowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Holomorficzność nieskończeniewymiarowa – dział analizy funkcjonalnej, gałęzi matematyki badający uogólnienia funkcji holomorficznych na funkcje określone na zespolonych przestrzeniach Banacha (lub ogólniej: przestrzeniach Frécheta), najczęściej nieskończonego wymiaru, i przyjmujące w nich wartości. Można uważać ją za część nieliniowej analizy funkcjonalnej.

Funkcje holomorficzne o wartościach wektorowych na płaszczyźnie zespolonej[edytuj kod]

Pierwszym krokiem w rozszerzaniu teorii funkcji holomorficznych na więcej niż jeden wymiar zespolony jest rozważanie tzw. funkcji holomorficznych o wartościach wektorowych, które nadal są określone na płaszczyźnie zespolonej lecz przyjmują wartości w przestrzeniach Banacha. Tego rodzaju funkcje są istotne na przykład podczas budowania holomorficznej analizy funkcjonalnej (ang. holomorphic functional calculus) dla ograniczonych operatorów liniowych.

Funkcję określoną na podzbiorze otwartym płaszczyzny zespolonej o wartościach w zespolonej przestrzeni Banacha nazywa się holomorficzną, jeżeli jest różniczkowalna w sensie zespolonym, tzn. dla każdego punktu istnieje granica

Całkę krzywoliniową funkcji holomorficznej o wartościach wektorowych wzdłuż krzywej prostowalnej można zdefiniować w dokładnie ten sam sposób, co dla funkcji holomorficznych o wartościach zespolonych – jako granicę sum postaci

gdzie jest podziałem przedziału przy długościach podziałów dążących do zera.

Sprawdza się, że twierdzenie podstawowe Cauchy'ego zachodzi również dla funkcji holomorficznych o wartościach wektorowych. Istotnie, jeżeli jest taką funkcją i jest ograniczonym operatorem liniowym, to można wykazać, iż

Więcej, złożenie funkcji jest funkcją holomorficzną o wartościach zespolonych, stąd dla krzywej zwykłej zamkniętej, której wnętrze zawiera się w całka po prawej stronie jest równa zeru z klasycznego twierdzenia podstawowego Cauchy'ego. Zatem, ponieważ jest dowolny, to z twierdzenia Hahna-Banacha wynika, że

co kończy dowód twierdzenia podstawowego Cauchy'ego w przypadku funkcji o wartościach wektorowych.

Za pomocą tego silnego narzędzia można dowieść wzoru całkowego Cauchy'ego oraz tego, tak jak w przypadku klasycznym, że każda funkcja holomorficzna o wartościach wektorowych jest analityczna.

Użytecznym kryterium na holomorficzność funkcji jest, że jest funkcją holomorficzną o wartościach wektorowych dla każdego ciągłego funkcjonału liniowego Taka funkcja jest słabo holomorficzna. Można wykazać, że funkcja określona na otwartym podzbiorze płaszczyzny zespolonej o wartościach w przestrzeni Frécheta jest holomorficzna wtedy i tylko wtedy, gdy jest słabo holomorficzna.

Funkcje holomorficzne między przestrzeniami Banacha[edytuj kod]

Ogólniej, dla danych dwóch przestrzeni Banacha i nad liczbami zespolonymi i zbioru otwartego w funkcję nazywa się holomorficzną, jeżeli w każdym punkcie istnieje pochodna Frécheta funkcji W tym ogólniejszym kontekście również można pokazać, że funkcja holomorficzna także jest analityczna, tzn. może być lokalnie rozwinięta w szereg potęgowy. Nie jest jednak już prawdą, że jeżeli funkcja jest określona i holomorficzna w pewnej kuli, to szereg potęgowy wokół środka tej kuli jest zbieżny w całej kuli; np. istnieją funkcje holomorficzne określone na całej przestrzeni o skończonym promieniu zbieżności[1].

Funkcje holomorficzne między przestrzeniami liniowo-topologicznymi[edytuj kod]

W pełnej ogólności, dla danych dwóch przestrzeni liniowo-topologicznych i nad liczbami zespolonymi i zbioru otwartego w istnieje wiele sposobów definiowania holomorficzności funkcji W przeciwieństwie do przypadku skończeniewymiarowego, gdy oraz są nieskończonego wymiaru, własności funkcji holomorficznych mogą zależeć od wybranej definicji. Aby ograniczyć liczbę rozważanych przypadków omówiona zostanie holomorficzność w przypadku, gdy i lokalnie wypukłe.

Sekcja ta przedstawia listę definicji pojęcia od najsłabszego do najsilniejszego. Kończy się ona dyskusją na temat niektórych twierdzeń wiążących wspomniane definicje, gdy przestrzenie i spełniają pewne dodatkowe warunki.

Holomorficzność w sensie Gâteaux[edytuj kod]

Holomorficzność Gâteaux jest bezpośrednim uogólnieniem słabej holomorficzności na w pełni nieskończeniewymiarowy przypadek.

Niech i będą przestrzeniami liniowo-topologicznymi lokalnie wypukłymi, a będzie zbiorem otwartym. Funkcja jest holomorficzna w sensie Gâteaux, jeżeli dla dowolnych oraz i każdego ciągłego funkcjonału liniowego określonego na funkcja

jest funkcją holomorficzną zmiennej w otoczeniu Zbiór funkcji holomorficznych w sensie Gâteaux oznacza się symbolem

W analizie funkcji holomorficznych w sensie Gâteaux wszystkie własności skończeniewymiarowych funkcji holomorficznych są spełnione na podprzestrzeniach skończonego wymiaru. Jednak, tak jak w zwykłej analizie funkcjonalnej, własności te mogą nie składać się w sposób jednorodny w całość, by dać jakiekolwiek odpowiadające im własności tych funkcji na pełnych zbiorach otwartych.

Przykłady
  • Jeżeli jest określona na to ma ona pochodne Gâteaux wszystkich rzędów, ponieważ dla oraz pochodna Gâteaux -tego rzędu zawiera wyłącznie iterowane pochodne kierunkowe w kierunkach otoczki która jest przestrzenią skończenie wymiarową. W tym przypadku iterowane pochodne Gâteaux są wieloliniowe względem ale w ogólności nie są one liniowe, gdy rozważa się je jako określone na całej przestrzeni
  • Więcej, obowiązuje wersja twierdzenia Taylora:
Symbol oznacza wielomian jednorodny stopnia zmiennej związanej z operatorem wieloliniowym Zbieżność tego szeregu nie jest jednostajna: jeżeli jest ustaloną podprzestrzenią skończonego wymiaru, to szereg zbiega jednostajnie na dowolnie małych otoczeniach jednak jeżeli może być zmienna, to nie ma zbieżności – nie będzie jej w ogólności, o ile zezwoli się na tę zależność. Stoi to w całkowitej sprzeczności z przypadkiem skończeniewymiarowym.
  • dla funkcji holomorficznych w sensie Gâteaux zachodzi twierdzenie Hartoga w następującym sensie:
Jeżeli jest funkcją, która jest holomorficzna w sensie Gâteaux oddzielnie ze względu na każdy z jej argumentów, to wtedy jest holomorficzna w sensie Gâteaux na przestrzeni produktowej.

Hipoanalityczność[edytuj kod]

Funkcja jest hipoanalityczna (ang. hypoanalytic), jeżeli oraz jest ciągła na warunkowo zwartych podzbiorach

Holomorficzność[edytuj kod]

Funkcja jest holomorficzna, jeżeli dla każdego rozwinięcie w szereg Taylora

(którego istnienie wynika już z holomorficzności w sensie Gâteaux) jest zbieżne i ciągłe względem w otoczeniu Holomorficzność łączy więc pojęcia słabej holomorficzności ze zbieżnością rozwinięcia w szereg potęgowy. Zbiór funkcji holomorficznych oznacza się symbolem

Holomorficzność lokalnie ograniczona[edytuj kod]

O funkcji mówi się, że jest lokalnie ograniczona, jeżeli każdy punkt ma otoczenie, którego obraz względem jest ograniczony w Jeżeli jest dodatkowo holomorficzna w sensie Gâteaux na to jest lokalnie ograniczenie holomorficzna (ang. locally bounded holomorphic), co oznacza się

Przypisy

Bibliografia[edytuj kod]

  • Richard V. Kadison, John R. Ringrose, Fundamentals of the Theory of Operator Algebras, Vol. 1: Elementary theory. American Mathematical Society, 1997. ISBN 0-8218-0819-2. (zob. rozdział 3.3.)
  • Soo Bong Chae, Holomorphy and Calculus in Normed Spaces, Marcel Dekker, 1985. ISBN 0-8247-7231-8.