Pojęcie forsingu

Pojęcie forsingu – praporządek używany w teorii forsingu i jej zastosowaniach.

Jeśli $(\mathbb {P} ,\leqslant )$ jest pojęciem forsingu, to elementy zbioru $\mathbb {P}$ są nazywane warunkami, a dla $p,q\in \mathbb {P}$ takich że $q\leqslant p$ mówimy, że warunek $q$ jest silniejszy niż warunek $p$ . Ponieważ część matematyków używa odwrotnej notacji (głównie Saharon Szelach i jego współpracownicy), to zwyczajowo przyjmuje się konwencję alfabetyczną: warunki silniejsze są oznaczane przez późniejsze litery alfabetu.

Gdy nie istnieje warunek silniejszy od każdego z dwóch warunków q oraz r, to mówimy, że te dwa warunki są sprzeczne.

W artykule o forsingu, teoria leżąca u jego podstaw jest rozwinięta w oparciu o zupełne algebry Boole’a, jednak często rozwija się tę teorię bazując całkowicie na pojęciach forsingu^[1].

Związek z zupełnymi algebrami Boole’a

Każde pojęcie forsingu jest bardzo blisko związane z pewną zupełną algebrą Boole’a. Aby przedstawić ten związek, musimy wprowadzić algebry Boole’a regularnie otwartych podzbiorów przestrzeni topologicznej.

Niech $(X,\tau )$ będzie przestrzenią topologiczną. Powiemy, że zbiór $U\subseteq X$ jest regularnie otwarty jeśli $\mathrm {int} (\mathrm {cl} (U))=U$ (gdzie int jest operacją wnętrza zbioru a cl oznacza operację domknięcia). Na rodzinie $\mathrm {RO} (X)$ wszystkich regularnie otwartych podzbiorów przestrzeni X wprowadzamy operacje +, · oraz ∼ przez:

U+V=\mathrm {int} (\mathrm {cl} (U\cup V)),

U\cdot V=U\cap V

oraz

\sim U=X\setminus \mathrm {cl} (U).

Wówczas $(\mathrm {RO} (X),+,\cdot ,\sim ,\varnothing ,X)$ jest zupełną algebrą Boole’a.

Powiemy, że częściowy porządek $(\mathbb {P} ,\leqslant )$ jest separatywny jeśli dla każdych warunków $p,q\in \mathbb {P}$ takich że $q\not \leqslant p$ można znaleźć warunek $r\in \mathbb {P}$ który jest silniejszy niż q (tzn. $r\leqslant q$ ) oraz sprzeczny z p (tzn. nie ma żadnego warunku $s\in \mathbb {P}$ który by spełniał jednocześnie $s\leqslant p$ oraz $s\leqslant r$ ).

Przypuśćmy teraz, że $(\mathbb {P} ,\leqslant )$ jest separatywnym porządkiem częściowym. Dla $p\in \mathbb {P}$ połóżmy $U_{p}=\{q\in \mathbb {P} :q\leqslant p\}.$ Wówczas rodzina $\{U_{p}:p\in \mathbb {P} \}$ jest bazą pewnej topologii τ na zbiorze $\mathbb {P} .$ Każdy zbiór $U_{p}$ jest regularnie otwarty w tej topologii a odwzorowanie

p\mapsto U_{p}\colon \mathbb {P} \longrightarrow \mathrm {RO} (\mathbb {P} )

jest zanurzeniem porządkowym którego obraz jest gęstym podzbiorem algebry $\mathrm {RO} (\mathbb {P} )$ (tzn. każdy niepusty regularnie otwarty podzbiór $\mathbb {P}$ zawiera pewien zbiór $U_{p}$ $(p\in \mathbb {P} )$ ).

Tak więc każdy separatywny porządek częściowy może być traktowany jako gęsty podzbiór pewnej zupełnej algebry Boole’a. (Algebra ta jest wyznaczona jednoznacznie z dokładnością do izomorfizmu tożsamościowego na $\mathbb {P} .$ )

W ogólnym przypadku pojęć forsingu (czyli praporządków), dokonuje się najpierw pewnych utożsamień, aby otrzymać separatywny porządek częściowy.

Przykłady

Rodzina pojęć forsingu stosowanych w teorii mnogości jest olbrzymia. Duża część publikacji prezentujących nowe wyniki niezależnościowe wprowadza też nowe pojęcia forsingu używane w dowodach. Poniżej dajemy przykłady jednych ze starszych pojęć forsingu.

Forsing Cohena^[2]:

warunkami są skończone ciągi p liczb naturalnych,

porządkiem jest odwrotna relacja przedłużania ciągów (czyli

q\leqslant p

wtedy i tylko wtedy, gdy

p\trianglelefteq q

);

powyżej, symbol

\trianglelefteq

oznacza relację wydłużania ciągów. Jeśli ciągi są traktowane jako funkcje to relacja ta jest relacją zawierania (i

\trianglelefteq \ =\ \subseteq

).

Algebra Boole’a odpowiadająca temu pojęciu forsingu to algebra ilorazowa ${\mathcal {B}}/{\mathcal {K}},$ gdzie ${\mathcal {B}}$ jest $\sigma$ -ciałem borelowskich podzbiorów prostej rzeczywistej $\mathbb {R}$ a ${\mathcal {K}}$ jest rodziną wszystkich zbiorów $A\in {\mathcal {B}}$ które są pierwszej kategorii.

Forsing Solovaya^[3]:

warunkami są te domknięte podzbiory

\mathbb {R} ,

które mają dodatnią miarę Lebesgue’a,

porządkiem jest relacja zawierania (tzn.

q\leqslant p

wtedy i tylko wtedy, gdy

q\subseteq p

).

Algebra Boole’a odpowiadająca temu pojęciu forsingu to algebra ilorazowa ${\mathcal {B}}/{\mathcal {L}},$ gdzie ${\mathcal {B}}$ jest $\sigma$ -ciałem borelowskich podzbiorów $\mathbb {R}$ a ${\mathcal {L}}$ jest rodziną tych zbiorów $A\in {\mathcal {B}}$ które są miary zero.

Forsing Lavera^[4]:

warunkami są zbiory

T

skończonych ciągów liczb naturalnych takie że

(a)

(\forall t\in T)(\forall n)(t{\upharpoonright }n\in T)

oraz

(b)

(\exists s\in T)(\forall t\in T)([s\subseteq t\ \vee t\subseteq s]\ \wedge \ [s\subseteq t\ \Rightarrow \ \{n\in \mathbb {N} :t^{\frown }\langle n\rangle \in T\}

jest nieskończony]).

porządkiem jest relacja zawierania (tzn.

T\leqslant S

wtedy i tylko wtedy, gdy

T\subseteq S

).

Forsing Mathiasa^[5]:

warunkami są pary

(w,A)

takie, że

w

jest skończonym zbiorem liczb naturalych,

A

jest nieskończonym zbiorem liczb naturalnych oraz

\max(w)<\min(A),

porządek jest zdefiniowany przez

(w',A')\leqslant (w,A)

wtedy i tylko wtedy, gdy

w\subseteq w',

A'\subseteq A

oraz

w'\setminus w\subseteq A.

Forsing Hechlera:

warunkami są pary

(n,f)

takie, że

n

jest liczbą naturalną, a

f\colon \mathbb {N} \to \mathbb {N}

jest funkcją.

porządek jest zdefiniowany przez

(n',f')\leqslant (n,f)

wtedy i tylko wtedy, gdy

n\leqslant n',

f(k)\leqslant f'(k)

dla każdego

k,

i

f{\upharpoonright }n=f'{\upharpoonright }n

Forsing Sacksa:

warunkami są doskonałe podzbiory prostej rzeczywistej

\mathbb {R} ,

porządkiem jest relacja zawierania.

Rozważane własności

W teorii forsingu rozważa się szereg własności pojęć forsingu które mają wpływ na własności odpowiadającym im rozszerzeń generycznych modeli teorii mnogości. Poniżej wymieniamy parę najbardziej znanych własności tego typu.

Niech $\kappa$ będzie liczbą kardynalną. Powiemy, że pojęcie forsingu $(\mathbb {P} ,\leqslant )$ spełnia $\kappa$ -cc jeśli każdy antyłańcuch w $\mathbb {P}$ jest mocy mniejszej niż $\kappa .$ Jeśli $\mathbb {P}$ spełnia $\aleph _{1}$ -cc to mówimy wtedy też, że $\mathbb {P}$ spełnia warunek przeliczalnych antyłańcuchów albo $\mathbb {P}$ spełnia ccc („countable chain condition”)
Dla liczby kardynalnej κ, powiemy, że pojęcie forsingu $(\mathbb {P} ,\leqslant )$ jest $(<\kappa )$ -domknięte jeśli każdy łańcuch w $\mathbb {P}$ mocy mniejszej niż $\kappa$ ma ograniczenie dolne.
Niech $\chi$ będzie regularną liczbą kardynalną a ${\mathcal {H}}(\chi )$ będzie rodziną wszystkich zbiorów dziedzicznie mocy mniejszej niż $\chi .$ Przypuśćmy, że $\mathbb {P}$ jest pojęciem forsingu a $N$ jest przeliczalnym elementarnym podmodelem $({\mathcal {H}}(\chi ),\in )$ takim, że $\mathbb {P} \in N.$ Powiemy, że warunek $q\in \mathbb {P}$ jest warunkiem $(N,\mathbb {P} )$ -generycznym jeśli dla każdego maksymalnego antyłańcucha ${\mathcal {A}}\subseteq \mathbb {P}$ który należy do modelu $N$ mamy

dla każdego

r\in {\mathcal {A}},

jeśli

r,q

są niesprzeczne, to

r\in N.

(Przypomnijmy, że warunki

r,q

są niesprzeczne, jeśli istnieje warunek

s\in \mathbb {P}

silniejszy niż oba te warunki.)

Pojęcie forsingu

\mathbb {P}

jest proper^[6]^[7], jeśli dla każdej dostatecznie dużej regularnej liczby kardynalnej

\chi

istnieje

x\in {\mathcal {H}}(\chi )

taki, że:

jeśli

N

jest przeliczalnym elementarnym podmodelem

({\mathcal {H}}(\chi ),\in ),

\mathbb {P} ,x\in N

oraz

p\in \mathbb {P} \cap N,

to istnieje warunek

q\leqslant p

który jest

(N,\mathbb {P} )

-generyczny.

Zobacz też

Przypisy

↑ John P. Burgess: Forcing. [w:] Handbook of mathematical logic. [pod red.] Jona Barwise’a. „Studies in Logic and the Foundations of Mathematics”, Vol. 90. North-Holland Publishing Co., Amsterdam-New York-Oxford, 1977. ISBN 0-7204-2285-X.
↑ Cohen, Paul J.: Set theory and the continuum hypothesis. W.A. Benjamin, Inc., New York-Amsterdam 1966.
↑ Solovay, Robert M.: A model of set-theory in which every set of reals is Lebesgue measurable. „Ann. of Math.” (2) 92 1970 s. 1–56.
↑ Laver, Richard: On the consistency of Borel’s conjecture. „Acta Math.” 137 (1976), no. 3-4, s. 151–169.
↑ Mathias, A.R.D.: Happy families. „Ann. Math. Logic” 12 (1977), no. 1, s. 59–111.
↑ Szelach, Saharon: Proper and improper forcing. „Perspectives in Mathematical Logic”. Springer-Verlag, Berlin, 1998. ISBN 3-540-51700-6.
↑ Goldstern, Martin: Tools for your forcing construction. Set theory of the reals (Ramat Gan, 1991). „Israel Math. Conf. Proc.”, 6, Bar-Ilan Univ., Ramat Gan, 1993, s. 305–360.

[1] John P. Burgess: Forcing. [w:] Handbook of mathematical logic. [pod red.] Jona Barwise’a. „Studies in Logic and the Foundations of Mathematics”, Vol. 90. North-Holland Publishing Co., Amsterdam-New York-Oxford, 1977. ISBN 0-7204-2285-X.

[2] Cohen, Paul J.: Set theory and the continuum hypothesis. W.A. Benjamin, Inc., New York-Amsterdam 1966.

[3] Solovay, Robert M.: A model of set-theory in which every set of reals is Lebesgue measurable. „Ann. of Math.” (2) 92 1970 s. 1–56.

[4] Laver, Richard: On the consistency of Borel’s conjecture. „Acta Math.” 137 (1976), no. 3-4, s. 151–169.

[5] Mathias, A.R.D.: Happy families. „Ann. Math. Logic” 12 (1977), no. 1, s. 59–111.

[6] Szelach, Saharon: Proper and improper forcing. „Perspectives in Mathematical Logic”. Springer-Verlag, Berlin, 1998. ISBN 3-540-51700-6.

[7] Goldstern, Martin: Tools for your forcing construction. Set theory of the reals (Ramat Gan, 1991). „Israel Math. Conf. Proc.”, 6, Bar-Ilan Univ., Ramat Gan, 1993, s. 305–360.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]