Ortogonalność

Ortogonalność (z gr. ortho – proste, gonia – kąt) – w matematyce uogólnienie pojęcia prostopadłości znanego z geometrii euklidesowej na abstrakcyjne przestrzenie z określonym iloczynem skalarnym, czyli tzw. przestrzenie unitarne.

Motywacja

Niech dane będą dwa wektory trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej,

$\mathbf {a} =[a_{x},a_{y},a_{z}]$ oraz $\mathbf {b} =[b_{x},b_{y},b_{z}]$

o długościach odpowiednio

$|\mathbf {a} |={\sqrt {a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}}}$ oraz $|\mathbf {b} |={\sqrt {b_{x}^{2}+b_{y}^{2}+b_{z}^{2}}}.$

Z kolei wektor

$\mathbf {c} =\mathbf {b-a} =[b_{x}-a_{x},b_{y}-a_{y},b_{z}-a_{z}]$

ma długość

$|\mathbf {c} |=|\mathbf {b-a} |={\sqrt {(b_{x}-a_{x})^{2}+(b_{y}-a_{y})^{2}+(b_{z}-a_{z})^{2}}}.$

Trójkąt prostokątny o bokach $\scriptstyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} .$

Wartości $\scriptstyle |\mathbf {a} |,|\mathbf {b} |,|\mathbf {c} |$ są długościami boków trójkąta $\mathrm {oab} ,$ gdzie $\mathrm {o} =(0,0,0)$ jest początkiem układu. Wektory $\scriptstyle \mathbf {a} ,\mathbf {b}$ są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy wspomniany trójkąt jest prostokątny, a więc spełnia twierdzenie Pitagorasa

$|\mathbf {c} |^{2}=|\mathbf {a} |^{2}+|\mathbf {b} |^{2},$

co oznacza, iż

$(b_{x}-a_{x})^{2}+(b_{y}-a_{y})^{2}+(b_{z}-a_{z})^{2}=a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}+b_{x}^{2}+b_{y}^{2}+b_{z}^{2},$

a ze wzorów skróconego mnożenia wynika

$-2a_{x}b_{x}-2a_{y}b_{y}-2a_{z}b_{z}=0,$

co daje równość

$a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y}+a_{z}b_{z}=0,$

która wyrażona za pomocą standardowego iloczynu skalarnego przestrzeni euklidesowej,

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =0,$

jest podstawą definicji ortogonalności w ogólnych przestrzeniach wyposażonych w iloczyn skalarny.

Definicja

Niech $\scriptstyle X$ będzie przestrzenią unitarną wyposażoną w iloczyn skalarny $\scriptstyle \langle \cdot ,\cdot \rangle .$ Elementy $\scriptstyle x,y$ tej nazywa się ortogonalnymi zapisując często $\scriptstyle x\perp y,$ gdy

$\langle x,y\rangle =0.$

Układ $\scriptstyle A$ elementów przestrzeni $\scriptstyle X$ nazywa się układem ortogonalnym, jeżeli każde dwa różne jego elementy są ortogonalne – wynika stąd w szczególności, że każdy taki układ musi być podzbiorem przestrzeni $\scriptstyle X.$

Zasadniczą różnicą między prostopadłością a ortogonalnością jest fakt, iż prostopadłość wymaga pojęcia odległości (metryki), która umożliwia zdefiniowanie przystawania, podczas gdy do zdefiniowania ortogonalności potrzeba jedynie iloczynu skalarnego, za pomocą którego można wprowadzić pojęcie długości (normę), a dzięki niemu – odległość. W przypadku euklidesowym pojęcia te właściwie pokrywają się (ma to związek z żądaniem zgodności odpowiednich struktur), co znajduje swe odzwierciedlenie w stosowanej nomenklaturze (o elementach ortogonalnych mówi się często, szczególnie w przestrzeniach euklidesowych, że są prostopadłe) i oznaczeniach (w obu przypadkach korzysta się z symbolu $\scriptstyle \perp$). Mimo wszystko pojęcia te nie są równoważne nawet w tej sytuacji: wektor zerowy (opisujący w istocie punkt – początek przestrzeni) jest ortogonalny do każdego wektora, choć trudno mówić o jego prostopadłości względem innego wektora.

Przykłady

Przestrzenie euklidesowe

W przestrzeni euklidesowej $\mathbb {R} ^{2}$ ze standardowym iloczynem skalarnym

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =[a_{x},a_{y}]\cdot [b_{x},b_{y}]=a_{x}b_{y}+a_{y}b_{y}.$

wektory

• $[-1,3]$ i $[3,1]$ są ortogonalne (oraz prostopadłe), ponieważ

  $[-1,3]\cdot [3,1]=-1\cdot 3+3\cdot 1=0$;

• $[0,0]$ i $[3,1]$ są ortogonalne (ale nie są prostopadłe), gdyż

  $[0,0]\cdot [3,1]=0\cdot 3+0\cdot 1=0.$

Przestrzenie funkcyjne

Ortogonalność pojawia się również w kontekście przestrzeni funkcyjnych, gdzie określony jest pewien iloczyn skalarny. Z tego powodu mówi się często o funkcjach ortogonalnych, czy wielomianach ortogonalnych. Klasycznym przykładem jest tutaj przestrzeń $\scriptstyle \color {blue}L^{2}[a,b],$ tj. przestrzeń wszystkich funkcji, określonych na przedziale $\scriptstyle [a,b]$ o wartościach zespolonych, całkowalnych w drugiej potędze. Iloczyn skalarny elementów $\scriptstyle f$ i $\scriptstyle g$ tej przestrzeni definiuje się wzorem

$\langle f,g\rangle =\int \limits _{a}^{b}f(t){\overline {g(t)}}\mathrm {d} t.$

Jeżeli $\scriptstyle [a,b]=[-\pi ,\pi ],$ to ważnym przykładem układu ortogonalnego, studiowanego w analizie harmonicznej jest rodzina

$\left\{{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}},{\frac {\sin nx}{\sqrt {\pi }}},{\frac {\cos nx}{\sqrt {\pi }}}\colon n\in \mathbb {N} \right\}.$

Inne przykłady ortogonalnych układów funkcji to np. wielomiany Legendre'a czy wielomiany Czebyszewa.

Zobacz też

• macierz ortogonalna,
• ortogonalizacja Grama-Schmidta,
• ortonormalność,
• dopełnienie ortogonalne,
• operator ortogonalny.