Ortogonalność: Różnice pomiędzy wersjami
[wersja nieprzejrzana] | [wersja przejrzana] |
m Wycofano edycje użytkownika 88.156.95.210 (dyskusja). Autor przywróconej wersji to Szczureq. |
|||
Linia 1: | Linia 1: | ||
{{Inne znaczenia|pojęcia matematycznego|[[ortogonalność grup ochronnych]] w [[chemia|chemii]]}} |
{{Inne znaczenia|pojęcia matematycznego|[[ortogonalność grup ochronnych]] w [[chemia|chemii]]}} |
||
{{spis treści}} |
{{spis treści}} |
||
'''Ortogonalność''' (z gr. ''ortho'' – prosto, prosty, ''gonia'' – kąt) – uogólnienie pojęcia [[prostopadłość|prostopadłości]] znanego z [[geometria euklidesowa|geometrii euklidesowej]] na abstrakcyjne [[przestrzeń (matematyka)|przestrzenie]] z określonym [[iloczyn skalarny|iloczynem skalarnym]], jak np. [[przestrzeń unitarna|przestrzenie unitarne]] (w tym [[przestrzeń Hilberta|przestrzenie Hilberta]]) czy [[przestrzeń ortogonalna|przestrzenie ortogonalne]]. Pojęcie ortogonalności bywa uogólnianie również na [[przestrzeń unormowana|przestrzenie unormowane]] w których nie ma naturalnej struktury iloczynu skalarnego ([[ortogonalność w sensie Pitagorasa]], [[ortogonalność w sensie Jamesa]], [[ortogonalność w sensie Birkhoffa]], [[T-ortogonalność]])<ref>Roman Ger: ''Orthogonalities in linear spaces and difference operators'', Aequationes Mathematicae Volume 60, Number 3, 268-282, [http://www.springerlink.com/content/4ym3ed4368kcdxp5/ DOI:10.1007/s000100050153]</ref> |
'''Ortogonalność''' (z gr. ''ortho'' – prosto, prosty, ''gonia'' – kąt) – uogólnienie pojęcia [[prostopadłość|prostopadłości]] znanego z [[geometria euklidesowa|geometrii euklidesowej]] na abstrakcyjne [[przestrzeń (matematyka)|przestrzenie]] z określonym [[iloczyn skalarny|iloczynem skalarnym]], jak np. [[przestrzeń unitarna|przestrzenie unitarne]] (w tym [[przestrzeń Hilberta|przestrzenie Hilberta]]) czy [[przestrzeń ortogonalna|przestrzenie ortogonalne]]. Pojęcie ortogonalności bywa uogólnianie również na [[przestrzeń unormowana|przestrzenie unormowane]] w których nie ma naturalnej struktury iloczynu skalarnego ([[ortogonalność w sensie Pitagorasa]], [[ortogonalność w sensie Jamesa]], [[ortogonalność w sensie Birkhoffa]], [[T-ortogonalność]])<ref>Roman Ger: ''Orthogonalities in linear spaces and difference operators'', Aequationes Mathematicae Volume 60, Number 3, 268-282, [http://www.springerlink.com/content/4ym3ed4368kcdxp5/ DOI:10.1007/s000100050153]</ref>. |
||
== Prostopadłość wektorów w przestrzeni trójwymiarowej == |
== Prostopadłość wektorów w przestrzeni trójwymiarowej == |
Wersja z 22:46, 4 gru 2016
Ortogonalność (z gr. ortho – prosto, prosty, gonia – kąt) – uogólnienie pojęcia prostopadłości znanego z geometrii euklidesowej na abstrakcyjne przestrzenie z określonym iloczynem skalarnym, jak np. przestrzenie unitarne (w tym przestrzenie Hilberta) czy przestrzenie ortogonalne. Pojęcie ortogonalności bywa uogólnianie również na przestrzenie unormowane w których nie ma naturalnej struktury iloczynu skalarnego (ortogonalność w sensie Pitagorasa, ortogonalność w sensie Jamesa, ortogonalność w sensie Birkhoffa, T-ortogonalność)[1].
Prostopadłość wektorów w przestrzeni trójwymiarowej
Długość wektora w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej wyraża się wzorem
- .
Jeżeli i są wektorami z przestrzeni trójwymiarowej, to długość wektora wynosi
Liczby są długościami boków trójkąta , gdzie .
Wektory są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy trójkąt jest prostokątny, a więc spełnia założenia twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa
tzn.
Zastosowanie wzoru na kwadrat różnicy do powyższej równości implikuje równość
- ,
która upraszcza się do wyrażenia
- .
Lewa strona powyższej równości pokrywa się ze wzorem na iloczyn skalarny wektorów i w przestrzeni trójwymiarowej.
Definicja
Elementy i przestrzeni unitarnej z iloczynem skalarnym nazywa się ortogonalnymi, gdy
Relację zapisuje się symbolicznie . Podzbiór przestrzeni unitarnej nazywa się układem ortogonalnym, gdy każde dwa różne jego elementy są ortogonalne.
Przykłady
- Przestrzenie euklidesowe
- Zobacz też:
Wektory i na płaszczyźnie są ortogonalne (prostopadłe), ponieważ
- .
Wektor zerowy jest ortogonalny do każdego wektora.
- Przestrzenie funkcyjne
Ortogonalność pojawia się również w kontekście przestrzeni funkcyjnych, w których określony jest pewien iloczyn skalarny. Z tego powodu mówi się często o funkcjach ortogonalnych, czy wielomianach ortogonalnych. Klasycznym przykładem jest przestrzeń , tj. przestrzeń wszystkich funkcji, określonych na przedziale o wartościach zespolonych, całkowalnych w drugiej potędze. Iloczyn skalarny elementów i tej przestrzeni definiuje się wzorem
W przypadku, gdy , to rodzina funkcji
jest przykładem układu ortogonalnego. Inne przykłady ortogonalnych układów funkcji to np. wielomiany Legendre'a czy wielomiany Czebyszewa.
- ↑ Roman Ger: Orthogonalities in linear spaces and difference operators, Aequationes Mathematicae Volume 60, Number 3, 268-282, DOI:10.1007/s000100050153