Równanie Tolmana-Oppenheimera-Volkoffa: Różnice pomiędzy wersjami
[wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
m MalarzBOT: poprawiam link tożsamy z tekstem linka |
m Dodaję nagłówek przed Szablon:Przypisy |
||
Linia 70: | Linia 70: | ||
"Effect of Inhomogeneity on Cosmological Models"<ref>R. C. Tolman, ''Effect of Inhomogeneity on Cosmological Models'', Proc Natl Acad Sci U S A., 20(3), 169 (1934)</ref> oraz 1939 r., pt. "Static Solutions of Einstein's Field Equations for Spheres of Fluid"<ref>R. C. Tolman, ''Static Solutions of Einstein's Field Equations for Spheres of Fluid'', Phys. Rev. 55, 364 (1939)</ref>, w których przeprowadził analizę sferycznie symetrycznych metryk. |
"Effect of Inhomogeneity on Cosmological Models"<ref>R. C. Tolman, ''Effect of Inhomogeneity on Cosmological Models'', Proc Natl Acad Sci U S A., 20(3), 169 (1934)</ref> oraz 1939 r., pt. "Static Solutions of Einstein's Field Equations for Spheres of Fluid"<ref>R. C. Tolman, ''Static Solutions of Einstein's Field Equations for Spheres of Fluid'', Phys. Rev. 55, 364 (1939)</ref>, w których przeprowadził analizę sferycznie symetrycznych metryk. |
||
== Przypisy == |
|||
{{Przypisy}} |
{{Przypisy}} |
||
Wersja z 22:41, 19 sty 2018
Równanie Tolmana-Oppenheimera-Volkoffa (równanie TOV) – szczególny przypadek równań Einsteina, jego rozwiązanie przedstawia strukturę sferycznie symetrycznego i statycznego rozkładu materii opisanej danym równaniem stanu. Stosowane jest przede wszystkim przy modelowaniu budowy gwiazd o bardzo silnym polu grawitacyjnym (na przykład gwiazd neutronowych).
Założenia
Poniżej przedstawiono zarys wyprowadzenia równania. Ogólną metrykę sferycznie symetrycznego i niezależnego od czasu rozkładu materii można zapisać w następujący sposób:
gdzie standardowo t jest współrzędną czasową, r radialną a θ i φ kątowymi (odpowiednio, zenitalną i azymutalną). Zakładamy także, że materia jest nielepka, nie przewodzi ciepła i nie wykazuje napięć ścinających tj. tensor napięć-energii jest taki jak dla płynu doskonałego w Ogólnej Teorii Względności. Biorąc pod uwagę barotropowe równanie stanu (ciśnienie p jest funkcją tylko jednej zmiennej, gęstości masy-energii ρ), dostajemy następujący związek z funkcją metryczną ν(r):
funkcją λ(r):
a także związek pomiędzy masą zawartą w sferze o promieniu r a promieniem tej sfery, M(0)=0:
Przy tych założeniach równania Einsteina redukują się do
równanie TOV jest zatem niutonowskim równaniem równowagi hydrostatycznej zmodyfikowanym przez człony relatywistyczne (w nawiasach).
Warunki brzegowe
Jeśli równanie opisuje gwiazdę w próżni, do rozwiązania używa się następujących warunków brzegowych:
- znikanie ciśnienia na powierzchni gwiazdy, p(R) = 0 (warunek ten wyznacza współrzędną r = R, czyli promień gwiazdy),
- zszywania się rozwiązania dla wnętrza gwiazdy z rozwiązaniem zewnętrznym, opisywanym metryką Schwarzschilda:
dla r≥R funkcja metryczna eν(r) = 1 - 2GM/rc2, gdzie M jest całkowitą grawitacyjną masą gwiazdy mierzoną przez odległego obserwatora.
Masa grawitacyjna, masa właściwa, masa barionowa, energia wiązania dla gwiazdy neutronowej
Całkowita masa grawitacyjna M gwiazdy (mierzona przez odległego obserwatora znajdującego się np. na orbicie wokół gwiazdy), występująca w metryce dla odległości większych od promienia gwiazdy R, wyraża się następującym wzorem:
Pamiętając o tym, że element objętości dV pomiędzy sferami o promieniach r oraz r + dr jest równy
można definiować dwie inne charakterystyczne masy wynikające z równania TOV. Masą właściwą Mp gwiazdy nazywa się całkę gęstości masy-energii po objętości, biorąc pod uwagę lokalne zakrzywienie przestrzeni przez masę M(r),
Jako, że
Liczba barionów w objętości gwiazdy jest równa
gdzie nb(r) jest gęstością barionową, tj. liczbą barionów w określonej objętości (zwyczajowo fm3). Ab dla gwiazdy neutronowej o typowej masie grawitacyjnej 1,4 masy Słońca jest rzędu 1057 cząstek.
Masa barionowa (zwana również masą spoczynkową) jest równa liczbie barionowej Ab gwiazdy pomnożonej przez masę barionu mb≈mn:
Zdefiniowane wyżej masy używa się do obliczenia energii wiązania. Różnica
jest energią grawitacyjną gwiazdy (energią zmagazynowaną w gwieździe, którą można odzyskać przenosząc małe elementy dm do nieskończoności). Grawitacyjna energia wiązania to
Energia wewnętrzna gwiazdy (energia pochodząca z równania stanu, bez uwzględnienia gęstości spoczynkowej), to
z podobnie jak poprzednio zdefiniowaną wewnętrzną energią wiązania
Całkowita energia wiązania gwiazdy to zatem
Dla typowego równania stanu, gwiazda neutronowa o masie M=1,4 masy Słońca jest związana energią wiązania BE≈0,1M.
Rozwiązanie dla przypadku materii nieściśliwej
W ogólnym przypadku nie istnieje rozwiązanie analityczne, tj. zależność gęstości, ciśnienia od odległości od centrum gwiazdy itd. można otrzymać tylko numerycznie. Równanie TOV można rozwiązać analitycznie dla równania stanu ρ = const. Mamy wtedy:
Korzystając z tego związku, równanie równowagi hydrostatycznej można analitycznie scałkować. Otrzymujemy:
Zwiększanie masy gwiazdy prowadzi do wzrostu ciśnienia centralnego, pc = p(r=0). Warunek pc = ∞ stanowi ograniczenie na stosunek promienia Schwarzschilda do promienia gwiazdy:
Ograniczenie to, dla ustalonej gęstości, wyznacza maksymalną masę gwiazdy, czyli granicę TOV.
Historia
Równanie TOV w postaci przedstawionej powyżej zostało opublikowane w roku 1939 w czasopiśmie naukowym "Physical Review" przez Roberta Oppenheimera i Georga M. Volkoffa w artykule pt. "On Massive Neutron Cores"[2], jednak fundamentalne znaczenie mają prace Richarda C. Tolmana z roku 1934, pt. "Effect of Inhomogeneity on Cosmological Models"[3] oraz 1939 r., pt. "Static Solutions of Einstein's Field Equations for Spheres of Fluid"[4], w których przeprowadził analizę sferycznie symetrycznych metryk.
Przypisy
- ↑ F. Douchin, P. Haensel, A unified equation of state of dense matter and neutron star structure, Astron. Astrophys. 380, 151 (2001)
- ↑ J. R. Oppenheimer, G. M. Volkoff, On Massive Neutron Cores, Phys. Rev. 55, 374 (1939)
- ↑ R. C. Tolman, Effect of Inhomogeneity on Cosmological Models, Proc Natl Acad Sci U S A., 20(3), 169 (1934)
- ↑ R. C. Tolman, Static Solutions of Einstein's Field Equations for Spheres of Fluid, Phys. Rev. 55, 364 (1939)