Twierdzenie Lagrange’a (teoria grup)

Twierdzenie Lagrange’a – twierdzenie teorii grup mówiące, że w grupie skończonej rząd dowolnej jej podgrupy jest dzielnikiem rzędu grupy, tzn. zachodzi równość

$|G|=|G:H|\cdot |H|$,

gdzie $|G:H|$ oznacza indeks podgrupy $H\,$ w $G\,$, zaś $|G|,|H|$ odpowiednio rząd grupy i podgrupy.

Nazwa twierdzenia pochodzi od nazwiska Josepha Louisa Lagrange'a.

Dowód

Niech $G$ będzie grupą skończoną. Zbiór warstw lewostronnych $\{gH\colon g\in G\}$ grupy $G$ względem podgrupy $H$ stanowi rozbicie zbioru $G$ na $n=|G\colon H|$ (wprost z definicji) równolicznych ze zbiorem $H$ zbiorów: $g_{1}H,g_{2}H,\dots ,g_{n}H$.

Stąd

$G=g_{1}H\cup g_{2}H\cup \dots \cup g_{n}H$,

ponieważ poszczególne warstwy są rozłączne, to

$|G|=|g_{1}H|+|g_{2}H|+\dots +|g_{n}H|$,

a skoro zaś wszystkie warstwy są równoliczne z $H$, jest więc

$|G|=|H|+|H|+\dots +|H|=n|H|$,

zatem

$|G|=|G:H|\cdot |H|$.

Wnioski i uwagi

• Rząd dowolnego elementu grupy jest dzielnikiem rzędu grupy (wynika to wprost z definicji rzędu). W szczególności, dla dowolnego elementu $g$ danej grupy $G$ prawdziwa jest równość $g^{n}=e$, gdzie $e$ jest elementem neutralnym grupy, a $n$ oznacza jej rząd.
• Jeżeli rząd grupy jest liczbą pierwszą, to jest ona grupą cykliczną.
• Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Lagrange’a nie jest prawdziwe, tzn. nie gwarantuje, że dla każdego dzielnika rzędu grupy istnieje podgrupa, której rząd jest równy danemu dzielnikowi. Częściowym rozwiązaniem problemu istnienia podgrup danego rzędu są twierdzenie Cauchy’ego oraz twierdzenie Sylowa.
• Twierdzenie to rozumiane jako stwierdzenie o liczbach kardynalnych jest równoważne aksjomatowi wyboru.

Uogólnienia

Twierdzenie 

Jeżeli $G$ jest skończona oraz $K\leqslant H\leqslant G,$ to zachodzi

$|G:H|\cdot |H:K|=|G:K|.$

Dowód 

Z twierdzenia Lagrange’a wynika, że

$|G|=|G:H|\cdot |H|=|G:K|\cdot |K|$

oraz

$|H|=|H:K|\cdot |K|,$

skąd

$|G:H|\cdot |H:K|\cdot |K|=|G:K|\cdot |K|.$

Zobacz też

• twierdzenie Lagrange’a o rozkładach liczb naturalnych
• twierdzenie Lagrange’a (rachunek różniczkowy)