Grupoid

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Grupoid (rzad. magma) – zbiór G z określonym na nim dowolnym działaniem dwuargumentowym, czyli pewną funkcją

\cdot\colon G \times G \to G[1].

Zazwyczaj zamiast \cdot(x,y) stosuje się notację multyplikatywną x \cdot y lub po prostu xy, rzadziej notację addytywną x + y. Działanie opisywane notacją multyplitywną nazywa się mnożeniem, a addytywną - dodawaniem. Notację i terminologię addytywną stosuje się zazwyczaj, gdy działanie grupoidu jest przemienne.

Grupoid jest algebrą \mathcal A, której sygnatura składa się z jednej operacji 2-arnej.

Podgrupoidy i zbiory generujące[edytuj | edytuj kod]

Niepusty podzbiór P grupoidu G nazywamy jego podgrupoidem, jeśli z a \in P i b \in P wynika, że ab \in P.

Jeśli A jest podzbiorem grupoidu G, to część wspólna wszystkich podgrupoidów G zawierających A jest podgrupoidem <A> grupoidu G zawierającym zbiór A. <A> nazywamy podgrupiodem G generowanym przez A. Na przykład w grupoidzie liczb naturalnych \mathbb{N} z działaniem dodawania podgrupoid generowany przez {2} jest podgrupoidem liczb parzystych. W grupoidzie liczb naturalnych \mathbb{N} z działaniem mnożenia podgrupoidem generowanym przez {2} jest podgrupoid potęg liczby 2 o wykładnikach całkowitych nieujemnych.

Jeśli <A> = G, to A jest zbiorem generującym G. W grupoidzie liczb naturalnych \mathbb{N} z działaniem dodawania zbiorem generującym \mathbb{N} jest {1}. W grupoidzie liczb naturalnych \mathbb{N} z działaniem mnożenia zbiorem generującym \mathbb{N} jest zbiór liczb pierwszych. Wynika to z podstawowego twierdzenia arytmetyki.

Rząd grupoidu[edytuj | edytuj kod]

Jeśli G jest grupoidem, to moc |G| zbioru G nazywamy jego rzędem. Jeśli rząd grupoidu jest skończony, możemy jego działanie opisać za pomocą tablicy Cayleya. Grupoid  \mathbb{Z}_4 reszt z dzielenia przez 4 jest rzędu 4, bo  \mathbb{Z}_4 = {0, 1, 2, 3}. Grupoid przekształceń zbioru 2-elementowego (z działaniem składania przekształceń}, też jest rzędu 4.

Elementy neutralne grupoidu[edytuj | edytuj kod]

W grupoidzie G element e (f) nazywamy lewostronnym (prawostronnym) elementem neutralnym, jeśli dla każdego  x \in G spełniona jest równość ex = x (xf = x). Jeśli grupoid G zawiera zarówno lewostronny element neutralny e, jak i prawostronny element neutralny f, to e = f, bo e = ef = f. Taki element nazywamy albo obustronnym elementem neutralnym, albo po prostu elementem neutralnym. Dlatego w grupoidzie zachodzi jedna z czterech ewentualności:

  1. grupoid nie zawiera ani prawostronnych ani lewostronnych elementów neutralnych,
  2. grupoid zawiera przynajmniej jeden lewostronny element neutralny, a nie zawiera prawostronnego elementu neutralnego,
  3. grupoid zawiera przynajmniej jeden prawostronny element neutralny, a nie zawiera lewostronnego elementu neutralnego,
  4. grupoid zawiera obustronny element neutralny i nie zawiera żadnych innych lewostronnych bądź prawostronnych elementów neutralnych.

Ideały grupoidu[edytuj | edytuj kod]

Jeśli A i B są podzbiorami grupoidu G, to ich iloczynem AB nazywamy zbiór wszystkich elementów postaci ab, gdzie  a \in G, b \in G . Jeśli A = {a} (B = {b}), to iloczyn AB zapisujemy aB (odpowiednio Ab).

Lewym (prawym) ideałem grupoidu G nazywamy taki niepusty podzbiór A zbioru G, że GA \subseteq G (AG \subseteq G). Ideałem dwustronnym, albo po prostu ideałem grupoidu G nazywamy podzbiór, który jest jednocześnie prawym i lewym. Jeżeli działanie w grupoidzie jest przemienne, to każdy jego ideał jest dwustronny. W grupoidzie liczb naturalnych  \mathbb{N} z działaniem mnożenia ideałami są sumy mnogościowe zbiorów wielokrotności poszczególnych liczb

Grupoid jest swoim ideałem dwustronnym. Grupoid G nazywamy grupoidem prawostronnie pierwszym (lewostronnie pierwszym), jeśli G jest swoim jedynym prawym (lewym) ideałem. Grupoid nazywamy grupoidem pierwszym, jeśli jest swoim jedynym ideałem dwustronnym. Grupa jest grupoidem pierwszym, zarówno lewostronnie, jak i prawostronnie.

Jeśli A jest niepustym podzbiorem grupoidu G, to część wspólna wszystkich ideałów (lewych, prawych lub obustronnych) zawierających A nazywamy ideałem (odp. lewym, prawym lub obustronnym) generowanym przez A.

Homomorfizm grupoidów[edytuj | edytuj kod]

Odwzorowanie \varphi: G \to H, gdzie (G, \circ) i (H, \cdot) są grupoidami nazywamy homomorfizmem grupoidów, jeśli:

 \varphi (a \circ b) = \varphi (a) \cdot \varphi (b)

Jeśli homomorfizm grupoidów jest odwzorowaniem wzajemnie jednoznacznym, to jest nazywany izomorfizmem.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. A. H. Clifford, G. B. Preston: The algebraic theory of semigroups (wyd. rosyjskie). Wyd. 1. Moskwa: Nauka, 1972, s. 15.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • A. H. Clifford, G. B. Preston: The algebraic theory of semigroups. American Mathematical Society, 1964.
  • A. G. Kurosz: Wykłady z algebry ogólnej (wyd. ros.). Wyd. 2. Nauka, 1973.