Pi

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Ujednoznacznienie Zobacz też: inne znaczenia.
π

Liczba π (czytaj: liczba pi), ludolfinastała matematyczna, która pojawia się w wielu dziedzinach matematyki i fizyki. W geometrii euklidesowej π jest równe stosunkowi długości obwodu koła do długości jego średnicy. Można też zdefiniować π na inne sposoby, na przykład jako pole koła o promieniu równym 1 albo jako najmniejszą dodatnią wartość x, dla której funkcja sinus przyjmuje wartość 0.

Liczba π z dokładnością do 200 miejsc po przecinku:

π ≈ 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679 82148 08651 32823 06647 09384 46095 50582 23172 53594 08128 48111 74502 84102 70193 85211 05559 64462 29489 54930 38196...[1]

Symbol π wprowadził w 1706 roku William Jones w książce Synopsis Palmariorum Mathesos (π jest pierwszą literą greckiego słowa περίμετρονperimetron, czyli obwód) a rozpowszechnił go później Leonhard Euler. Liczba π jest znana także jako stała Archimedesa lub ludolfina – tak została nazwana na cześć Ludolpha van Ceulena (obaj obliczyli przybliżone wartości π przy czym van Ceulen podał wartość liczby π z dokładnością do 35 miejsc po przecinku).

Niewymierność i przestępność liczby π[edytuj | edytuj kod]

Jeśli średnica koła = 1, jego obwód wynosi π.

Liczba π jest liczbą niewymierną, co oznacza, że nie może być zapisana jako iloraz dwóch liczb całkowitych. Udowodnił to w roku 1761 Johann Heinrich Lambert. Co więcej, jest ona liczbą przestępną, co w 1882 roku wykazał Ferdinand Lindemann. Oznacza to, że nie istnieje wielomian o współczynnikach całkowitych, którego π jest pierwiastkiem. W rezultacie nie jest możliwe zapisanie π za pomocą skończonego zapisu złożonego z liczb całkowitych, działań arytmetycznych, ułamków oraz potęg i pierwiastków.

Przybliżona konstrukcja Kochańskiego

To ostatecznie rozstrzyga, że niemożliwa jest klasyczna konstrukcja (wyłącznie przy pomocy linijki i cyrkla) kwadratu o powierzchni równej powierzchni danego koła, gdyż współrzędne wszystkich punktów, które mogą być skonstruowane w taki sposób, należą do zbioru liczb nazywanych liczbami algebraicznymi. Problem ten zwany jest kwadraturą koła i choć nie ma on ścisłego rozwiązania, to istnieją konstrukcje przybliżone. Powiązanym, również niemożliwym do rozwiązania problemem, jest problem rektyfikacji okręgu, do którego również istnieją konstrukcje przybliżone, z których za jedną z najprostszych uchodzi konstrukcja Adama Adamandego Kochańskiego.

Dowód niewymierności π Ivana Nivena[2][edytuj | edytuj kod]

Dowód przez sprowadzenie do sprzeczności. Zakładamy, że

\,{\pi} = \frac{p}{q}

dla pewnych dodatnich liczb naturalnych p i q.

Niech dla liczby naturalnej n dane będą wielomiany

f(x) = \frac{x^n(p-qx)^n}{n!}

oraz

F(x) = f(x) - f^{(2)}(x) + \ldots + (-1)^n f^{(2n)}(x) .

Ponieważ wielomian n!f(x) ma współczynniki całkowite oraz stopień równy n, wszystkie pochodne f(i) mają w x = 0 wartości całkowite. Także dla x = π wartości te są całkowite, gdyż f(x) = f(p/qx). Zachodzi ponadto związek

\frac{\mbox{d}}{\mbox{d}x}(F^\prime(x)\sin x - F(x)\cos x) = F^{\prime\prime}(x)\sin x +F^\prime(x)\cos x - F^\prime(x) \cos x + F(x)\sin x= F^{\prime\prime}(x)\sin x + F(x)\sin x =f(x)\sin x

Ponadto,

\int\limits_0^\pi f(x)\sin x\,\mbox{d}x = [F^\prime(x)\sin x - F(x)\cos x]_{0}^{\pi} = F(\pi) + F(0).

Ponieważ liczby f(i)(0) i f(i)(π) są całkowite, całkowita jest więc wartość F(π) + F(0). Z drugiej strony, dla 0 < x < π zachodzi oszacowanie

0 < f(x)\sin x < \frac{\pi^n p^n}{n!}.

Z dowolności n i powyższego oszacowania, całka

\int\limits_0^\pi f(x)\sin x\,\mbox{d}x= F(\pi) + F(0)

jest dowolnie mała, co prowadzi do sprzeczności.

Często występujące przekształcenia π[edytuj | edytuj kod]

\pi^{2}= 9{,}869\,604\,401\,089\,358\,618\,834\,490\,999\,876\,2\ldots\quad
\pi^{3}= 31{,}006\,276\,680\,299\,820\,175\,476\,315\,067\,101\ldots\quad
\sqrt{\pi}=1{,}772\,453\,850\,905\,516\,027\,298\,167\,483\,341\,1\ldots\quad

Najpopularniejsze aproksymacje wartości π[edytuj | edytuj kod]

Liczne wzory pozwalające wyliczać π z dowolną dokładnością podane są na końcu artykułu. W praktyce posługujemy się przybliżonymi wartościami 3,14 lub 22/7, rzadko kiedy trzeba korzystać z przybliżeń dokładniejszych: 3,1416 lub 3,14159 albo w postaci ułamka zwykłego 355/113 lub 52163/16604 (dwa ostatnie ułamki są równe π z dokładnością do 6 miejsc po przecinku).

Historia obliczeń wartości π[edytuj | edytuj kod]

Przybliżanie liczby π w starożytności[edytuj | edytuj kod]

Metoda aproksymacji liczby π zaproponowana przez Archimedesa

Z liczbą π, jakkolwiek pojawia się ona w wielu wzorach z różnych dziedzin (włączając w to nawet fizykę kwantową), ludzie zetknęli się już w starożytności, zauważając, że stosunek obwodu koła do jego średnicy jest wartością stałą. Babilończycy przyjmowali, że jest on równy w przybliżeniu 3.

Pierwsze źródła świadczące o świadomym korzystaniu z własności liczby π pochodzą ze starożytnego Babilonu. Na jednej z kamiennych tablic, datowanej na lata 1900-1680 p.n.e. pojawia się opis wartości obwodu koła o średnicy 1, przybliżony przez wartość 3,125.

Na pochodzącym sprzed 1650 r. p.n.e. egipskim papirusie Rhinda, autorstwa skryby (według niektórych źródeł tylko kopisty oryginału) króla Ahmesa zatytułowanym Wprowadzenie do wiedzy o wszystkich istniejących rzeczach można znaleźć rozwiązania zadań matematycznych zawierające m.in. odniesienia do wartości liczby π, przybliżanej wartością  \tfrac{4^4}{3^4} = 3,1604\dots

Podejście starożytnych uczonych do matematyki, w szczególności do liczby π było ściśle użytkowe, nie stosowano właściwie żadnej abstrakcji, a reguły matematyczne opisywane były prostymi przykładami użytkowymi, niezbędnymi w architekturze czy księgowości.

W biblijnej Drugiej Księdze Kronik (Biblia Tysiąclecia, rozdział 4, werset 2) pochodzące z V – IV w. p.n.e. można znaleźć słowa:

Następnie sporządził odlew okrągłego „morza” o średnicy dziesięciu łokci, o wysokości pięciu łokci i o obwodzie trzydziestu łokci.

Z opisu tego wynika, iż wykonawca owego „morza” przyjął oszacowanie \pi =3.

Archimedes, będący prawdopodobnie pierwszym matematykiem badającym dokładniej własności liczby π w III w. p.n.e. oszacował ją z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku. Użył do tego metody bazującej na zależnościach geometrycznych, metody pozwalającą oszacowywać π z (teoretycznie) dowolną dokładnością, przez następne wieki była metodą najlepszą, często niezależnie od prac Archimedesa wykorzystywaną przez późniejszych matematyków. Wynikiem jego pracy było podanie przedziału, w jakim mieści się liczba π: \pi \in \left(3 \tfrac{10}{71}; 3\tfrac {1}{7}\right). Archimedes uzyskał ten wynik wyznaczając długości boków dwóch 96-kątów foremnych – opisanego na okręgu i wpisanego w ten sam okrąg. Następnie obliczył średnią arytmetyczną obwodów tych wielokątów, otrzymując przybliżenie długości okręgu. Obliczenia były bardzo żmudne i czasochłonne. Mimo wielkich wysiłków Archimedesowi nie udało się dokonać analogicznych obliczeń dla 192-kątów, co pozwoliłoby mu wyznaczyć wartość ludolfiny z jeszcze większą dokładnością.

Przybliżanie liczby π w średniowieczu[edytuj | edytuj kod]

Liu Hui, chiński matematyk żyjący w III wieku naszej ery, metodą Archimedesa dla wieloboków o 3072 bokach ustalił przybliżoną wartość liczby π na 3,1415.

Zu Chongzhi, chiński cesarski astronom około 500 roku n.e. podał dwa przybliżenia liczby π – wcześniejsze – \pi \approx \tfrac{22}{7}, oraz późniejsze, wynoszące \tfrac {355}{113}, które do XV wieku było najlepszym znanym ludzkości przybliżeniem wartości liczby π (na szczególną uwagę zasługuje łatwość jego zapamiętania: 11-33-55). Wartości te zanotowano w pochodzących z tego okresu kronikach dworskich. Użył on metody Archimedesa, lecz najprawdopodobniej nie miał dostępu do jego prac.

Brahmagupta, hinduski matematyk, sto lat później (około 600 r.n.e.), podał inne przybliżenie wartości π – \sqrt{10} \approx 3{,}162\cdots , stosując własności 12,24,48 i 96-boków, których długości obwodów wynosiły odpowiednio

\sqrt{9{,}56} , \sqrt{9{,}81} ,\sqrt{9{,}86}, \sqrt{9{,}87}.

W rzeczywistości

\! \pi ^2 \approx 9{,}8696.

W 1400 roku hinduski matematyk Madhava jako pierwszy w historii do obliczenia wartości π użył ciągów nieskończonych. W istocie odkrył on wzór, do którego Leibniz i Gregory (autorstwo przypisuje się obu) doszli w 1674. Natomiast pierwszym z Europejczyków, który użył metody aproksymacji π przy pomocy ciągów nieskończonych był John Wallis, który w 1656 roku w dziele Arithmetica infinitorum podał bardzo zgrabny – aczkolwiek niezbyt użyteczny – wzór na π. Od tego czasu do obliczania wartości π zaczęto używać ciągów nieskończonych – zazwyczaj przy pomocy rozwinięcia funkcji arcus sinus lub arcus tangens w szereg potęgowy.

Ludolph van Ceulen stosując jeszcze metodę Archimedesa obliczył wartość π z dokładnością do 20 miejsc po przecinku i opublikował wynik w dziele Van den Circkel (1596). Według biografów Ceulen większość swojego życia poświęcił próbom coraz lepszego przybliżenia π, zwanej niekiedy od jego imienia Ludolfiną, pod koniec życia podając π z dokładnością do 35 miejsc po przecinku (użył do tego wieloboku o 2^{62} bokach) – wartość ta została wyryta na jego płycie nagrobkowej.

Przybliżanie liczby π w czasach nowożytnych[edytuj | edytuj kod]

Z biegiem lat uzyskiwano coraz lepsze przybliżenia wartości π sięgające kilkuset miejsc po przecinku. W 1853 William Rutherford podał liczbę Pi z dokładnością 440 miejsc po przecinku. Rekordzistą w ręcznych obliczeniach liczby Pi jest William Shanks, któremu w 1874 udało się uzyskać 707 miejsc po przecinku. Zajęło mu to 15 lat. Później okazało się, że 180 ostatnich cyfr obliczył błędnie (wynik, który uznano za prawidłowy uwzględnia 527 miejsc po przecinku)[3]. W 1946 roku Ferguson podał wartość π do 620. miejsca po przecinku. W końcowych obliczeniach wspomagał się już kalkulatorem. Od 1949, kiedy to przy pomocy komputera ENIAC obliczono 2037 miejsc po przecinku, dokładniejsze aproksymacje liczby π uzyskiwano już tylko przy użyciu komputerów. We wrześniu 1999 roku obliczono π z dokładnością 2,0615·1011 miejsc po przecinku. Dokonał tego Takahasi przy pomocy komputera Hitachi SR8000.

31 grudnia 2009 r. Fabrice Bellard ogłosił, że udało mu się obliczyć π z dokładnością do 2 699 999 990 000 miejsc po przecinku. Obliczenia ze sprawdzeniem zajęły 131 dni, a do obliczeń użyto komputera z procesorem Intel Core i7 (2,93 GHz) i 6 GB RAM. Sam zapis dziesiętny liczby zajmuje około 1137 GB[4].

W roku 2010 obliczono cyfrę będącą na 2 000 000 000 000 000 miejscu po przecinku w rozwinięciu dziesiętnym liczby pi i wynosi ona zero. Obliczenia trwały 23 dni[5].

W październiku 2011, Alexander J. Yee i Shigeru Kondo uzyskali dokładność ok. 10 bilionów (10^13) miejsc po przecinku[6]. Obliczenia zajęły 371 dni.

Szacowanie liczby π przy pomocy całek[edytuj | edytuj kod]

Przy pomocy całki Riemanna można dowodzić szacowań liczby π przez pewne liczby wymierne. Jednym z przykładów jest zależność znaleziona przez Dalzella[7]:

 0 < \int_0^1 \frac{x^4(1-x)^4}{1+x^2} \, \mbox{d}x = \frac{22}{7} - \pi ,

z której wynika, że 22/7 > π. Zachodzi ponadto

\frac{1}{1260} = \int_0^1\frac{x^4 (1-x)^4}{2}\,\mbox{d}x < \int_0^1\frac{x^4 (1-x)^4}{1+x^2}\,\mbox{d}x < \int_0^1\frac{x^4 (1-x)^4}{1}\,\mbox{d}x = {1 \over 630},

skąd wynika, iż

{22 \over 7} - {1 \over 630} < \pi < {22 \over 7} - {1 \over 1260}.

Wzory do obliczania liczby π[edytuj | edytuj kod]

  • Powierzchnia koła jednostkowego:
2\cdot\int\limits_{-1}^{\ 1} \sqrt{1-x^2}\,dx = \pi
  • Obwód okręgu jednostkowego:
\int\limits_{-1}^{\ 1}\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \pi
\frac{\sqrt2}2 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}2 \cdot \ldots = \frac2\pi
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{2n+1} = \frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots = \frac{\pi}{4}
\prod\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{2n}{2n-1}}\cdot \frac{2n}{2n+1}=\frac{2}{1}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{4}{5}\cdot \frac{6}{5}\cdot \frac{6}{7}\cdot \frac{8}{7}\cdot \frac{8}{9}\cdots =\frac{\pi }{2}

Powyższe metody są wolno zbieżne. Do szybkich obliczeń komputerowych stosuje się przybliżenie wynikające z tożsamości:

\frac{\pi}{4} = 4 \arctan\frac{1}{5} - \arctan\frac{1}{239}

Funkcję arcus tangens należy rozwinąć w szereg Taylora. Twórcą tej formuły jest angielski matematyk John Machin (1680—1751).

Szybkozbieżnych formuł postaci :\frac{\pi}{4} = \sum_{n}^N a_n \arctan\frac{1}{b_n} pojawiło się więcej, m.in:

 \frac{\pi}{4} = 12 \arctan\frac{1}{49} + 32 \arctan\frac{1}{57} - 5 \arctan\frac{1}{239} + 12 \arctan\frac{1}{110443}
  • F. C. W. Störmer (1896):
 \frac{\pi}{4} = 44 \arctan\frac{1}{57} + 7 \arctan\frac{1}{239} - 12 \arctan\frac{1}{682} + 24 \arctan\frac{1}{12943}
  • S. Klingenstierna (1730):
 \frac{\pi}{4} = 8 \arctan\frac{1}{10} - \arctan\frac{1}{239} - 4 \arctan\frac{1}{515}

Zbiór innych formuł typu zaproponowanego przez Machina można znaleźć np. na stronie http://numbers.computation.free.fr/Constants/Pi/piclassic.html

Inne metody:


\frac{\pi}{2}=
\sum_{k=0}^\infty\frac{k!}{(2k+1)!!}=
1+\frac{1}{3}\left(1+\frac{2}{5}\left(1+\frac{3}{7}\left(1+\frac{4}{9}(1+...)\right)\right)\right)
  • Ramanujan:
 \frac{1}{\pi} = \frac{2\sqrt{2}}{9801} \sum^\infty_{k=0} \frac{(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^4 396^{4k}}
  • David Chudnovsky i Gregory Chudnovsky:
 \frac{1}{\pi} = 12 \sum^\infty_{k=0} \frac{(-1)^k (6k)! (13591409 + 545140134k)}{(3k)!(k!)^3 640320^{3k + 3/2}}
\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{16^k}\left(\frac {4}{8k+1} - \frac {2}{8k+4} - \frac {1}{8k+5} - \frac {1}{8k+6}\right) = \pi

Istnieją także rozwinięcia w ułamki łańcuchowe:

  • W. Brouncker (ok. 1600)[8]
1+\cfrac{1^2}{2+\cfrac{3^2}{2+\cfrac{5^2}{2+\cfrac{7^2}{2+...}}}}=\frac{4}{\pi}
  • L. Euler (ok. 1755)[8]
1+\cfrac{2}{3+\cfrac{1\cdot 3}{4+\cfrac{3\cdot 5}{4+\cfrac{5\cdot 7}{4+...}}}}=\frac{\pi}{2}

Kultura π[edytuj | edytuj kod]

Liczba Pi

Liczba π ma swoich licznych wielbicieli. Obchodzą oni Dzień Liczby π (14 marca; amerykański sposób zapisu tej daty to "3.14") oraz dzień aproksymacji π (22 lipca) (europejski sposób zapisu daty to 22/7 ≈ 3,1428).

Tworzone są też wierszyki i opowiadania, w których długość każdego kolejnego słowa jest równa kolejnej cyfrze w rozwinięciu dziesiętnym liczby π.

Niemcom w zapamiętaniu aproksymacji π uzyskanej przez van Ceulena może być pomocny wiersz napisany przez Clemensa Brentano, który jest przypuszczalnie pierwszym tego typu tekstem:

Nie, o Gott, o guter, verliehst Du meinem Hirne die Kraft mächtige Zahlreihn dauernd verkettet bis in die spaetere Zeit getreu zu merken. Drum hab ich Ludolph mir zu Lettern umgeprägt.
Nigdy, o dobry Boże, nie użyczysz mi mocy spamiętania po wsze czasy potężnego, ze sobą trwale sprzężonego szeregu cyfr. Dlatego przyswoiłem sobie ludolfinę w słowach. (przekład Witolda Rybczyńskiego)

Pierwszym polskim wierszem tego typu jest wiersz Kazimierza Cwojdzińskiego z 1930 roku, zamieszczony w październikowym wydaniu czasopisma Parametr, poświęconemu nauczaniu matematyki. Należy jednak pamiętać, że tekst powstał przed reformą ortografii z 1936 roku. Wtedy pisano „nie ma” w znaczeniu „nie posiada” i „niema” w znaczeniu „nie jest”.

Kuć i orać w dzień zawzięcie,
Bo plonów niema bez trudu!
Złocisty szczęścia okręcie,
Kołyszesz...
Kuć! My nie czekajmy cudu.
Robota to potęga ludu!

Rymowany wiersz, w którym liczba liter w kolejnych wyrazach odpowiada rozwinięciu dziesiętnemu liczby pi do 20 miejsca po przecinku:

Kto w mgłę i słotę wagarować ma ochotę?
Chyba ten który ogniście zakochany, odziany wytwornie
Gna do nóg Bogdanki paść kornie

Wiersz pozwala zapamiętać 32 cyfry składające się na liczbę pi:

Kto w mózg i głowę natłoczyć by chciał cyfer moc,
Ażeby liczenie ludolfiny trudnej spamiętać móc,
To nam zastąpić musi słówka te litery suma,
Tak one trwalej się do pamięci wszystkie wsuną.

Inne przykłady:

Jaś o kole z werwą dyskutuje
bo dobrze temat ten czuje
zastąpił ludolfinę słowami wierszyka
czy Ty już odgadłeś, skąd zmiana ta wynika?
Kto i bada i liczy,
Myśliciel to wielki.
Mylić się zwykł jednakże
Matematyk wszelki.
Oto i wiem i pomnę doskonale…
Kto z woli i myśli zapragnie Pi spisać cyfry, ten zdoła

Oto limeryk opublikowany kiedyś w miesięczniku Delta:

Raz w maju, w drugą niedzielę
Pi liczył cyfry pan Felek.
Pomnożył, wysumował,
Cyferki zanotował,
Ale ma ich niewiele...

Są nawet wiersze białe:

Źle w mgle i snach bolejącym do wiedzy progu iść.

Kolejny, dłuższy przykład, w formie inwokacji do bogini pamięci (myślnik po „pauza” zastępuje zero):

Daj, o pani, o boska Mnemozyno, pi liczbę, którą też zowią ponętnie Ludolfiną, pamięci przekazać tak, by jej dowolnie oraz szybko do pomocy użyć; gdy się problemu nie da inaczej rozwiązać, pauza − to zastąpić liczbami. Witold Rybczyński w miesięczniku "Problemy" (nr 8/1949)

Jest to wersja poprawiona. Pierwotnie tekst zawierał błąd "zadania" zamiast "problemu", czyli 7 zamiast 8 na 27 miejscu.

Najbardziej znany przykład angielski jest autorstwa sir Jamesa Jeansa:

How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics!
Jakże chciałbym się napić, czegoś mocnego oczywiście, po trudnych wykładach dotyczących mechaniki kwantowej!

Po francusku:

Que j'aime a faire apprendre un nombre utile aux sages. Immortel Archimede, artiste ingenieux, qui de ton ton jugement put prise la valeur! Pour moi ton problème eut de pareils avantages.

Po rosyjsku:

Раз и шутя, и скоро пожелаешь пи узнать число – так знаешь

Popularny jest także następujący wierszyk:

How I wish I could recollect Pi easily today!
Jakże bym chciał dzisiaj łatwo przypomnieć sobie Pi!

Popularny jest również polski wierszyk:

Był i jest i wieki chwalonym ów będzie, który kół obwód średnicą wymierzył; sławcie Archimeda, aby ów mąż wszędzie imię sławne na zawsze jako syn muz dzierżył.

Liczba π była inspiracją wielu artystów i reżyserów. Darren Aronofsky poruszył jej temat w swoim filmie Pi. W literaturze Pi jest imieniem bohatera powieści Yanna MartelaŻycie Pi oraz tematem jednego z wierszy Wisławy Szymborskiej. Rozwinięcie binarne liczby π (jako zaszyfrowana informacja dotycząca sensu wszechświata) odgrywa kluczową rolę w zakończeniu znanej powieści s-f Kontakt Carla Sagana. Fascynacja π jako kluczem czy ważnym elementem „wiedzy tajemnej” bywa obecna w wielu paranaukowych czy ezoterycznych sektach i stowarzyszeniach, poczynając od XVIII w.

W latach 80. XX w. w Polsce emitowany był telewizyjny program edukacyjny przeznaczony dla dzieci i młodzieży pt. Przybysze z Matplanety, w którym jednym z bohaterów był nieśmiały i tchórzliwy Pi.

Księga Guinnessa zawiera listę ludzi którzy zapamiętali najwięcej cyfr liczby Pi. Należy do nich np. Rajan Mahadevan (40 000 zapamiętanych cyfr), Daniel Tammet[potrzebne źródło]. Aby ją zapamiętać, korzystają często z mnemotechniki GSP i pałacu pamięci[9].

Znak π[edytuj | edytuj kod]

Znak π jest oznaczeniem matematycznym wywodzącym się z litery alfabetu greckiego powszechnie używanym do oznaczenia liczby, której wartością jest stosunek długości obwodu koła do długości jego średnicy.

Jej pierwszego utożsamienia z wartością 3{,}14159 \cdots dokonał w dziele Synopsis Palmariorum Matheseos (1706) William Jones, walijski matematyk i pisarz. Oznaczenie to nie zdobyło uznania ani rozgłosu wśród matematyków, do czasu użycia go przez Leonarda Eulera w 1737 roku, w dziele Analiza, chociaż można znaleźć je we wcześniejszych pracach matematyków Williama Oughtreda, Isaaca Barrowa i Davida Gregory'ego. Oznaczenie pochodzi najpewniej ze związku wartości pi i długości obwodu, którego grecka nazwa to περιμετρον.

W Introductio in Analysin Infinitorum (1748) Euler pisze:

Satis liquet Peripheriam hujus Circuli in numeris rationalibus exacte exprimi non posse, per approximationes autem inventa est .. esse = 3,14159 [itd do 128 cyfr], pro quo numero, brevitatis ergo, scribam pi, ita ut sit π = Semicircumferentiae Circuli, cujus Radius = 1, seu pi erit longitudo Arcus 180 graduum.

Prawdopodnie znaczący wpływ na popularyzację symbolu π miało jego pojawienie się w Mathematical Tables (1742) Henry'ego Sherwina.

Porzucone oznaczenia[edytuj | edytuj kod]

  • Euler w wydanym przed Analizą dziele De summis serierum reciprocarum (1734) używa oznaczenia p dla π. Co ciekawe, używa on też tego oznaczenia w napisanym już po wydaniu Analizy liście do Jamesa Stirlinga z 16 kwietnia 1738.
  • W liście, napisanym do Eulera w 1739 roku przez Johanna Bernoulli, używa on oznaczenia c dla liczby pi, jednak już w następnym liście do Eulera, z początku 1740 stosuje on oznaczenie π.

Niektóre wzory zawierające π[edytuj | edytuj kod]

Geometria[edytuj | edytuj kod]

Analiza matematyczna[edytuj | edytuj kod]

Teoria liczb[edytuj | edytuj kod]

  • Prawdopodobieństwo tego, że dwie losowo wybrane liczby całkowite są liczbami względnie pierwszymi wynosi \frac{6}{\pi^{2}}.
  • Średnia liczba sposobów na zapisanie liczby naturalnej jako sumy dwóch liczb całkowitych, których pierwiastki też są liczbami całkowitymi, wynosi \frac{\pi}{4}.

W powyższych przypadkach prawdopodobieństwo i średnią rozpatruje się w sensie granicznym np. rozważamy prawdopodobieństwo dla zbioru liczb {1, 2, 3,…, N} a następnie obliczamy granicę przy N dążącym do nieskończoności.

Fizyka[edytuj | edytuj kod]

Ciekawostki[edytuj | edytuj kod]

  • Światowy potwierdzony rekord w zapamiętywaniu ciągu cyfr liczby {\pi} należy aktualnie do Japończyka Akiry Haraguchi, który podał ją z dokładnością do 100 tysięcy miejsc po przecinku bijąc własny rekord 83 431 cyfr po przecinku z roku 1995[10]. Starszy rekord należał do Chińczyka Lu Chao, który powtórzył ponad 67 tysięcy znaków po przecinku[11].

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. pi. W: WolframAlpha Computational Knowledge Engine [on-line]. A Wolfram Research Company. [dostęp 2014-03-30].
  2. I. Niven, A simple proof that π is irrational, Bulletin of the American Mathematical Society 53, 6 (1947), 509.
  3. Rzeczpospolita.pl: Wszystkiego najlepszego, Pi. [dostęp 2010-03-13].
  4. F. Bellard, Computation of 2700 billion decimal digits of Pi using a Desktop Computer
  5. Co jest po 3,14?
  6. Alexander J. Yee, Shigeru Kondo Round 2... 10 Trillion Digits of Pi. Same program, same computer, just a longer wait...
  7. D.P. Dalzell, On 22/7, J. London Math. Soc. 19 (1944), 133–134.
  8. 8,0 8,1 "Tablice matematyczne" praca zbiorowa pod redakcją W. Mizerskiego, wyd. Adamantan Warszawa 1999
  9. Krzysztof Galos: Program 2Know dla GSP i przy okazji jak zapamiętać liczbę π. [dostęp 2013-02-26].
  10. Rekordowa pamięć do liczby Pi RMF FM[Dostęp 2012-09-20]
  11. Światowy Dzień liczby Pi. Rzeczpospolita.pl, 14-03-2012.

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]