Prawo powszechnego ciążenia

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Prawo powszechnego ciążenia, zwane także prawem powszechnego ciążenia Newtona, głosi, że każdy obiekt we wszechświecie przyciąga każdy inny obiekt z siłą, która jest wprost proporcjonalna do iloczynu ich mas i odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości między ich środkami. Jest to ogólne prawo fizyczne, bazujące na empirycznych obserwacjach Newtona, które nazwał on indukcją (wpływem)[1]. Wchodzi ono w skład podstaw mechaniki klasycznej i zostało sformułowane w pracy sir Isaaca Newtona pt.: Philosophiae naturalis principia mathematica, opublikowanej po raz pierwszy 5 lipca 1687 r. W języku współczesnym prawo to brzmi następująco[2]:

Między dowolną parą ciał posiadających masy pojawia się siła przyciągająca, która działa na linii łączącej ich środki, a jej wartość rośnie z iloczynem ich mas i maleje z kwadratem odległości.
Mechanizmy prawa powszechnego ciążenia Newtona; masa punktu m1 przyciąga masę innego punktu m2 z siłą F2, która jest proporcjonalna do iloczynu obu mas i odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości (r) między nimi. Niezależnie od masy lub odległości, wielkość |F1| i |F2| będzie zawsze równa. G jest stałą grawitacyjną
Egzemplarz dzieła Newtona wydanego 5 lipca 1687 r. pod tytułem Philosophiae Naturalis Principia Mathematica

Matematycznie związek ten wyraża się wzorem:

F^{i} =G \frac{ m_1 m_2}{r^2} e^i,

gdzie:
Gstała grawitacji,
m_1 – masa pierwszego ciała,
m_2 – masa drugiego ciała,
x^i – wektor łączący środki mas obu ciał, a
r jest długością tego wektora,
e^i=\frac{x^i}{r} jest wersorem (wektorem jednostkowym) (|e^i| =1) osi łączącej środki mas obu ciał.
Siła F^i jest wektorem, a jej wartość (długość tego wektora F=F^i e^i) jest równa:

F = G \frac{ m_1 m_2}{r^2}.
Mechanika klasyczna
Rownia tarcie.svg
\mathbf F = \frac{\mathrm d\mathbf p}{\mathrm dt}
II zasada dynamiki Newtona
Wprowadzenie
Historia
Aparat matematyczny
Koncepcje podstawowe
Przestrzeń · Czas · Prędkość · Szybkość · Masa · Przyspieszenie · Grawitacja · Siła · Popęd · Moment siły / Moment / Para sił · Pęd · Moment pędu · Bezwładność · Moment bezwładności · Układ odniesienia · Energia · Energia kinetyczna · Energia potencjalna · Praca · Praca wirtualna · Moc · Zasada d’Alemberta
Znani uczeni
Isaac Newton · Jeremiah Horrocks · Leonhard Euler · Jean le Rond d’Alembert · Alexis Clairaut · Joseph Louis Lagrange · Pierre Simon de Laplace · Henri Poincaré · Pierre Louis Maupertuis · William Rowan Hamilton · Siméon Denis Poisson

W swym dziele Newton przedstawił spójną teorię grawitacji, opisującą zarówno spadanie obiektów na ziemi, jak i ruch ciał niebieskich. Angielski fizyk oparł się na zaproponowanych przez siebie zasadach dynamiki oraz prawach Keplera dotyczących odległości planety od Słońca.

Dla uproszczenia załóżmy, że dwie planety poruszają się po kołowej orbicie. Prawo Keplera przyjmie dla nich postać:

\left (\frac{R_1}{R_2}\right)^3=\left (\frac{T_1}{T_2}\right)^2 (1),

gdzie: R_1,R_2 – promienie orbit, T_1, T_2 – okresy obiegu planet.

Zgodnie z rachunkiem wektorowym ciało poruszające się po okręgu jest poddane przyspieszeniu:

a=\frac{v^2}{R} (2),

gdzie: a – przyspieszenie, v – prędkość, R – promień okręgu, co według drugiej zasady dynamiki oznacza, że musi działać na nie siła dośrodkowa:

F_d=\frac{m_b v^2}{R} (3),

gdzie m_b to masa bezwładnościowa ciała.

Przy ruchu planet ta siła dośrodkowa jest równa sile grawitacyjnej F_g. Prędkość orbitalna może być wyliczona jako:

v=\frac{2\pi R}{T} (4)

Jeżeli podstawimy zależność (4) do (3) to otrzymamy:

F_g=\frac{m_b 4 \pi^2 R}{T^2} (5),

Stosunek sił grawitacyjnych dla planet można rozpisać jako:

\frac{F_{g1}}{F_{g2}}=\frac{m_{b1} R_1 T_2^2}{m_{b2} R_2 T_1^2} (5),

Jeżeli teraz do równania (5) podstawimy (1) to pozbędziemy się okresów obiegu:

\frac{F_{g1}}{F_{g2}}=\frac{m_{b1} R_2^2}{m_{b2} R_1^2} (5),

Otrzymana zależność oznacza tyle, że stosunek sił grawitacyjnych jest proporcjonalny do odwrotności stosunku kwadratów odległości. Jeżeli planeta jest dwa razy dalej od Słońca, to siła grawitacji jest cztery razy mniejsza. Kiedy ciało ma dwa razy mniejszą masę, wtedy siła jest dwa razy mniejsza.

Newton uznał, że ta sama siła powoduje ruch planet po orbitach oraz spadanie jabłka z drzewa. W ten sposób ten wielki fizyk położył podwaliny pod mechanikę klasyczną. W tym ujęciu grawitacja jest siłą, z jaką oddziałują na siebie wszelkie ciała obdarzone masą.

Zmiany przyspieszenia grawitacyjnego w funkcji wysokości

Masy grawitacyjne m_1 i m_2 nie muszą być równe masom bezwładnościowym występującym w II zasadzie dynamiki Newtona. Zaobserwowana równość tych wartości oznacza, że ruch ciała w polu grawitacyjnym nie zależy od jego masy. Postulat ten jako pierwszy wysunął Galileusz. Równoznaczność mas bezwładnościowych i grawitacyjnych, zupełnie przypadkowa z punktu widzenia mechaniki klasycznej, jest podstawą ogólnej teorii względności.

Równoważność masy bezwładnościowej i grawitacyjnej czekała na potwierdzenie eksperymentalne aż do roku 1798. Angielski fizyk Henry Cavendish jako pierwszy wykonał doświadczenia z wykorzystaniem oscylujących mas, dzięki którym określił wartość stałej grawitacyjnej G z niepewnością 1%. W tym samym eksperymencie potwierdził też równoznaczność masy grawitacyjnej i bezwładnościowej.

Stała grawitacji została uznana za jedną z podstawowych stałych fizycznych. Z pomiarów wynika, że jej wartość wynosi:

G \approx 6,6732(\pm 0,0031)10^{-11}\operatorname{m}^3 \operatorname{kg}^{-1}\operatorname{s}^{-2}.

Pole grawitacyjne jest polem potencjalnym. Praca wykonywana w tym polu nie zależy od drogi po jakiej przemieszczają się ciała, tylko od różnicy potencjałów w punkcie początkowym i końcowym. Możliwe jest zatem zdefiniowanie funkcji U, która opisuje potencjał pola grawitacyjnego. Spełnia ona następującą zależność:

F^{i} =-\frac{\partial U}{\partial x^i},

Korzystając z tego równania można obliczyć energię potencjalną pola grawitacyjnego.

Przypisy

  1. Isaac Newton: "In [experimental] philosophy particular propositions are inferred from the phenomena and afterwards rendered general by induction": "Principia", Book 3, General Scholium, at p.392 in Volume 2 of Andrew Motte's English translation published 1729.
  2. Proposition 75, Theorem 35: p.956 - I.Bernard Cohen and Anne Whitman, translators: Isaac Newton, The Principia: Philosophiae naturalis principia mathematica. Preceded by A Guide to Newton's Principia, by I.Bernard Cohen. University of California Press 1999 ISBN 0-520-08816-6 ISBN 0-520-08817-4