Geometria nieprzemienna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Geometria nieprzemienna to dział matematyki, badający przestrzenie topologiczne, w których istnieje co najmniej jedna nieprzemienna para funkcji (ściśle: dystrybucji) ciągłych. Cechą charakterystyczną przestrzeni nieprzemiennych jest nieistnienie pojęcia punktu przestrzeni. Funkcje można badać tylko na dostatecznie dużym obszarze.

Wyprowadzenie[edytuj | edytuj kod]

Rozważmy przestrzeń topologiczną złożoną z punktów. Topologii takiej przestrzeni można jednoznacznie przyporządkować zbiór wszystkich funkcji liczbowych ciągłych określonych dla każdego punktu. Będziemy je nazywać polami. Topologia wyznacza zbiór pól, a zbiór pól wyznacza topologię. Podanie zbioru wszystkich liczbowych pól ciągłych jest więc wygodnym sposobem określania topologii.

Na polach ciągłych można określić działania - dodawania, odejmowania, mnożenia, dzielenia itd. Można teraz traktować pola jako obiekty algebraiczne, zapominając o ich interpretacji jako przyporządkowanie liczby do punktu. Aby określić zbiór wszystkich pól na danej topologii wystarczy podać kilka pól (baza, zbiór generatorów) i założyć, że wszystkie pola mogą być z nich otrzymane przy pomocy działań.

Pole ciągłe staje się teraz pojęciem podstawowym. Punkty można zdefiniować jako takie pola, które prawie wszędzie są równe 0 a tylko w jednym miejscu mają niezerową wartość (teoria dystrybucji pozwala traktować takie pola jako ciągłe). Jeżeli jednak zdefiniujemy parę pól nieprzemiennych względem mnożenia, to określenie funkcji wyznaczającej punkt może stać się niemożliwe.

Geometria nieprzemienna ma zastosowanie w nowoczesnej fizyce.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • Najprostszym przykładem przestrzeni nieprzemiennej jest przestrzeń, której topologia jest określona zbiorem pól generowanych przez takie dwie funkcje P i Q, że PQ - QP = 1.
  • Przykładem przestrzeni nieprzemiennej jest ośmiowymiarowa przestrzeń fazowa mechaniki kwantowej z jedną cząstką: pierwsze cztery wymiary to położenie cząstki, drugie cztery to jej pęd. W tej przestrzeni nie ma punktów, czyli stanów z dokładnie określonym pędem i położeniem.
  • Supersymetria w jednym ze sformułowań postuluje istnienie obok zwykłych "bozonowych" wymiarów (B_{n}) specjalnych wymiarów "fermionowych" (F_{n}). Kwadraty wszystkich pól ciągłych mają zerowe składowe fermionowe (F_{n}^{2} = 0). Operatory różniczkowania w takich przestrzeniach mają skomplikowane reguły przemienności z funkcjami.