Zbiór rzutowy

Zbiory rzutowe – podzbiory przestrzeni polskiej które mogą być otrzymane ze zbiorów borelowskich przy użyciu skończenie wielu operacji ciągłych obrazów i dopełnienia.

Zbiory rzutowe były wprowadzone niezależnie w latach 20. XX wieku przez rosyjskiego matematyka Nikołaja Łuzina i polskiego matematyka Wacława Sierpińskiego.

Hierarchia zbiorów rzutowych

Niech ${\mathcal N}$ oznacza przestrzeń Baire'a (jest to przestrzeń homeomorficzna z przestrzenią liczb niewymiernych). Przez indukcję po liczbach naturalnych $n\in {\mathbb N}$ dla każdej przestrzeni polskiej X definiujemy klasy Łuzina $\Sigma^1_n(X)$ i klasy dualne $\Pi^1_n(X)$

• $\Sigma^1_1(X)$ jest rodziną tych wszystkich podzbiorów A przestrzeni X, że dla pewnego zbioru borelowskiego $B\subseteq X\times{\mathcal N}$ mamy $A=\{x\in X:(\exists r\in {\mathcal N})((x,r)\in B)\}$,
• $\Pi^1_1(X)$ jest rodziną tych podzbiorów A przestrzeni X, że $X\setminus A\in \Sigma^1_1(X)$,
• $\Sigma^1_{n+1}(X)$ jest rodziną tych podzbiorów A przestrzeni X, że dla pewnego $B\in\Pi^1_n(X\times{\mathcal N})$ mamy $A=\{x\in X:(\exists r\in {\mathcal N})((x,r)\in B)\}$,
• $\Pi^1_{n+1}(X)$ jest rodziną tych podzbiorów A przestrzeni X, że $X\setminus A\in \Sigma^1_{n+1}(X)$.

Definiujemy również $\Delta^1_n(X)=\Sigma^1_n(X)\cap \Pi^1_n(X)$.

Jeśli wiadomo w jakiej przestrzeni polskiej pracujemy (albo jeśli nie jest to istotne), to piszemy $\Sigma^1_n,\Pi^1_n,\Delta^1_n$ (zamiast $\Sigma^1_n(X),\Pi^1_n(X),\Delta^1_n(X)$). Elementy tych klas noszą wspólną nazwę zbiorów rzutowych.

Głównie w starszych podręcznikach topologii i teorii mnogości dla początkowych klas rzutowych używa się następującej terminologii:

• elementy klasy $\Sigma^1_1$ nazywane są zbiorami analitycznymi, a zbiory z $\Pi^1_1$ są określane jako zbiory koanalityczne; czasami te klasy zbiorów oznacza się A i CA,
• klasy $\Sigma^1_2$ i $\Pi^1_2$ oznaczane są też przez PCA i CPCA, etc.

Przykładowe własności

Poniżej przedstawiamy tylko parę przykładowych własności klas rzutowych. Teoria tych klas jest bardzo rozbudowana i zainteresowany czytelnik może bliżej zapoznać się z nią czytając np monografię Yiannisa Moschovakisa lub książkę Tomka Bartoszyńskiego i Haima Judaha.

Niech X będzie przestrzenią polską.

• Zachodzą następujące inkluzje (gdzie "$\subseteq$" jest reprezentowane przez strzałkę "$\longrightarrow$"):

$\Sigma^1_1$

$\Sigma^1_2$

$\ldots$

$\Sigma^1_n$

$\Sigma^1_{n+1}$

$\ldots$

$\nearrow$

$\searrow$

$\nearrow$

$\searrow$

$\nearrow$

$\searrow$

$\nearrow$

$\Delta^1_1$

$\Delta^1_2$

$\Delta^1_3$

$\ldots$

$\Delta^1_n$

$\Delta^1_{n+1}$

$\searrow$

$\nearrow$

$\searrow$

$\nearrow$

$\searrow$

$\nearrow$

$\searrow$

$\Pi^1_1$

$\Pi^1_2$

$\ldots$

$\Pi^1_n$

$\Pi^1_{n+1}$

$\ldots$

• $\Delta^1_1$ jest rodziną wszystkich borelowskich podzbiorów przestrzeni X.
• Każda klasa Łuzina $\Sigma^1_n$ jest zamknięta na przeliczalne sumy i przekroje i podobnie dla klas dualnych $\Pi^1_n$.
• Każda klasa $\Delta^1_n$ jest σ-ciałem zbiorów.
• Jeśli Y jest przestrzenią polską, $f:X\longrightarrow Y$ jest funkcją ciągłą oraz $A\in \Sigma^1_n(X)$, to $f(A)\in\Sigma^1_n(Y)$.
• Jeśli Y jest przestrzenią polską, $f:X\longrightarrow Y$ jest funkcją ciągłą oraz $B\in \Sigma^1_n(Y)$ ($B\in \Pi^1_n(Y)$), to także $f^{-1}(B)\in\Sigma^1_n(Y)$ ($f^{-1}(B)\in\Pi^1_n(Y)$).
• Wszystkie zbiory z $\Sigma^1_1\cup \Pi^1_1$ mają własność Baire'a.
• Wszystkie zbiory z $\Sigma^1_1({\mathbb R})\cup \Pi^1_1({\mathbb R})$ są mierzalne w sensie miary Lebesgue'a.
• Jeśli założymy MA oraz ¬CH, to wówczas wszystkie zbiory z $\Sigma^1_2\cup \Pi^1_2$ są mierzalne i mają własność Baire'a.
• Jeśli założymy aksjomat konstruowalności, to

(a) istnieje $\Sigma^1_2$-dobre uporządkowanie prostej rzeczywistej,

(b) istnieje $\Delta^1_2$-podzbiór prostej który nie jest mierzalny w sensie Lebesgue'a i który nie ma własności Baire'a,

(c) istnieje nieprzeliczalny koanalityczny podzbiór prostej który nie zawiera żadnego podzbioru doskonałego

• Jeśli istnieje liczba nieosiągalna, to istnieje model teorii mnogości w którym wszystkie rzutowe podzbiory prostej są mierzalne w sensie Lebesgue'a..
• Można zbudować pojęcie forsingu które forsuje że wszystkie zbiory rzutowe mają własność Baire'a, ale mierzalność wszystkich zbiorów klasy $\Sigma^1_3$ implikuje, że $\omega_1$ jest liczbą nieosiagalną w uniwersum zbiorów konstruowalnych (Kurta Gödla).
• Jeśli istnieje liczba mierzalna, to wszystkie gry nieskończone na zbiory z $\Sigma^1_1({\mathcal N})$ są zdeterminowane. Przy założeniu istnienia znacznie większych dużych liczb kardynalnych można wykazać, że gry na zbiory z wyższych klas rzutowych też są zdeterminowane.

Zobacz też

• teoria mnogości,
• opisowa teoria mnogości,
• zbiór analityczny,
• zbiór borelowski