Zbiór rzutowy

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Zbiory rzutowe – podzbiory przestrzeni polskiej które mogą być otrzymane ze zbiorów borelowskich przy użyciu skończenie wielu operacji ciągłych obrazów i dopełnienia.

Zbiory rzutowe były wprowadzone niezależnie w latach 20. XX wieku przez rosyjskiego matematyka Nikołaja Łuzina[1][2][3] i polskiego matematyka Wacława Sierpińskiego[4].

Hierarchia zbiorów rzutowych[edytuj | edytuj kod]

Niech {\mathcal N} oznacza przestrzeń Baire'a (jest to przestrzeń homeomorficzna z przestrzenią liczb niewymiernych). Przez indukcję po liczbach naturalnych n\in {\mathbb N} dla każdej przestrzeni polskiej X definiujemy klasy Łuzina \Sigma^1_n(X) i klasy dualne \Pi^1_n(X)

  • \Sigma^1_1(X) jest rodziną tych wszystkich podzbiorów A przestrzeni X, że dla pewnego zbioru borelowskiego B\subseteq X\times{\mathcal N} mamy A=\{x\in X:(\exists r\in {\mathcal N})((x,r)\in B)\},
  • \Pi^1_1(X) jest rodziną tych podzbiorów A przestrzeni X, że X\setminus A\in \Sigma^1_1(X),
  • \Sigma^1_{n+1}(X) jest rodziną tych podzbiorów A przestrzeni X, że dla pewnego B\in\Pi^1_n(X\times{\mathcal N}) mamy A=\{x\in X:(\exists r\in {\mathcal N})((x,r)\in B)\},
  • \Pi^1_{n+1}(X) jest rodziną tych podzbiorów A przestrzeni X, że X\setminus A\in \Sigma^1_{n+1}(X).

Definiujemy również \Delta^1_n(X)=\Sigma^1_n(X)\cap \Pi^1_n(X).

Jeśli wiadomo w jakiej przestrzeni polskiej pracujemy (albo jeśli nie jest to istotne), to piszemy \Sigma^1_n,\Pi^1_n,\Delta^1_n (zamiast \Sigma^1_n(X),\Pi^1_n(X),\Delta^1_n(X)). Elementy tych klas noszą wspólną nazwę zbiorów rzutowych.

Głównie w starszych podręcznikach topologii i teorii mnogości dla początkowych klas rzutowych używa się następującej terminologii:

  • elementy klasy \Sigma^1_1 nazywane są zbiorami analitycznymi, a zbiory z \Pi^1_1 są określane jako zbiory koanalityczne; czasami te klasy zbiorów oznacza się A i CA,
  • klasy \Sigma^1_2 i \Pi^1_2 oznaczane są też przez PCA i CPCA, etc.

Przykładowe własności[edytuj | edytuj kod]

Poniżej przedstawiamy tylko parę przykładowych własności klas rzutowych. Teoria tych klas jest bardzo rozbudowana i zainteresowany czytelnik może bliżej zapoznać się z nią czytając np monografię Yiannisa Moschovakisa[5] lub książkę Tomka Bartoszyńskiego i Haima Judaha[6].

Niech X będzie przestrzenią polską.

  • Zachodzą następujące inkluzje (gdzie "\subseteq" jest reprezentowane przez strzałkę "\longrightarrow"):
\Sigma^1_1 \Sigma^1_2 \ldots \Sigma^1_n \Sigma^1_{n+1} \ldots
\nearrow \searrow \nearrow \searrow \nearrow \searrow \nearrow
\Delta^1_1 \Delta^1_2 \Delta^1_3 \ldots \Delta^1_n \Delta^1_{n+1}
\searrow \nearrow \searrow \nearrow \searrow \nearrow \searrow
\Pi^1_1 \Pi^1_2 \ldots \Pi^1_n \Pi^1_{n+1} \ldots
  • \Delta^1_1 jest rodziną wszystkich borelowskich podzbiorów przestrzeni X.
  • Każda klasa Łuzina \Sigma^1_n jest zamknięta na przeliczalne sumy i przekroje i podobnie dla klas dualnych \Pi^1_n[7].
  • Każda klasa \Delta^1_n jest σ-ciałem zbiorów.
  • Jeśli Y jest przestrzenią polską, f:X\longrightarrow Y jest funkcją ciągłą oraz A\in \Sigma^1_n(X), to f(A)\in\Sigma^1_n(Y).
  • Jeśli Y jest przestrzenią polską, f:X\longrightarrow Y jest funkcją ciągłą oraz B\in \Sigma^1_n(Y) (B\in \Pi^1_n(Y)), to także f^{-1}(B)\in\Sigma^1_n(Y) (f^{-1}(B)\in\Pi^1_n(Y)).
  • Wszystkie zbiory z \Sigma^1_1\cup \Pi^1_1 mają własność Baire'a.
  • Wszystkie zbiory z \Sigma^1_1({\mathbb R})\cup \Pi^1_1({\mathbb R}) są mierzalne w sensie miary Lebesgue'a.
  • Jeśli założymy MA oraz ¬CH, to wówczas wszystkie zbiory z \Sigma^1_2\cup \Pi^1_2 są mierzalne i mają własność Baire'a.
  • Jeśli założymy aksjomat konstruowalności, to
(a) istnieje \Sigma^1_2-dobre uporządkowanie prostej rzeczywistej,
(b) istnieje \Delta^1_2-podzbiór prostej który nie jest mierzalny w sensie Lebesgue'a i który nie ma własności Baire'a,
(c) istnieje nieprzeliczalny koanalityczny podzbiór prostej który nie zawiera żadnego podzbioru doskonałego
  • Jeśli istnieje liczba nieosiągalna, to istnieje model teorii mnogości w którym wszystkie rzutowe podzbiory prostej są mierzalne w sensie Lebesgue'a.[8].
  • Można zbudować pojęcie forsingu które forsuje że wszystkie zbiory rzutowe mają własność Baire'a, ale mierzalność wszystkich zbiorów klasy \Sigma^1_3 implikuje, że \omega_1 jest liczbą nieosiagalną w uniwersum zbiorów konstruowalnych (Kurta Gödla)[9].
  • Jeśli istnieje liczba mierzalna, to wszystkie gry nieskończone na zbiory z \Sigma^1_1({\mathcal N}) są zdeterminowane[10]. Przy założeniu istnienia znacznie większych dużych liczb kardynalnych można wykazać, że gry na zbiory z wyższych klas rzutowych też są zdeterminowane[11][12].

Przypisy

  1. Lusin, N.: Sur un problème de M. Emile Borel et les ensembles projectifs de M. Henri Lebesgue; les ensembles analytiques, "Comptes Rendus Acad. Sci. Paris" 180 (1925), 1318-1320.
  2. Lusin, N.: Sur les ensembles projectifs de M. Henri Lebesgue, "Comptes Rendus Acad. Sci. Paris" 180 (1925), 1572-1575.
  3. Lusin, N.: Les propriétés des ensembles projectifs, "Comptes Rendus Acad. Sci. Paris" 188 (1925), 1817-1819.
  4. Sierpiński, W.: Sur une classe d'ensembles, "Fundamenta Mathematicae" 7 (1925), 237-243.
  5. Moschovakis, Yiannis N.: Descriptive set theory. "Studies in Logic and the Foundations of Mathematics", 100. North-Holland Publishing Co., Amsterdam-New York, 1980. ISBN 0-444-85305-7.
  6. Bartoszyński, Tomek; Judah, Haim: Set theory. On the structure of the real line. A K Peters, Ltd., Wellesley, MA, 1995. ISBN 1-56881-044-X
  7. Sierpiński, W.: Sur les produits des images continues des ensembles C(A), "Fundamenta Mathematicae" 11 (1928), 123-126.
  8. Solovay, Robert M.: A model of set-theory in which every set of reals is Lebesgue measurable. "Ann. of Math." 92 (1970) 1-56
  9. Shelah, Saharon: Can you take Solovay's inaccessible away? "Israel J. Math." 48 (1984), s. 1-47
  10. Martin, Donald A.: Measurable cardinals and analytic games. "Fund. Math." 66 (1969/1970), s. 287-291.
  11. Woodin, W. Hugh: Supercompact cardinals, sets of reals, and weakly homogeneous trees. "Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A." 85 (1988), s. 6587-6591.
  12. Martin, Donald A., Steel, John R.: A proof of projective determinacy. "Journal of the American Mathematical Society" 2 (1989), s. 1, 71-125.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]